# Zadanie domowe nr 1
###### tags: `Algebra`

### Zadanie 6. z listy 5.
W tym zadaniu korzystam z eleminacji Gaussa i na podstawie otzymanej macierzy stwierdzam, jakie są rozwiązania układu równań i czy w ogóle takie rozwiązania istnieją.

#### 1)

$\begin{bmatrix}
2 & 5 & -8 & 8 \\
4 & 3 & -9 & 9 \\
2 & 3 & -5 & 7 \\
1 & 8 & -7 & 12
\end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 8 & -7 & 12 \\
0 & -29 & 19 & -39 \\
0 & -13 & 9 & -17 \\
0 & -11 & 6 & -16
\end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 8 & -7 & 12 \\
0 & -29 & 19 & -39 \\
0 & 0 & \frac{14}{29} & \frac{14}{29} \\
0 & 0 & -\frac{35}{29} & -\frac{35}{29}
\end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 8 & -7 & 12 \\
0 & -29 & 19 & -39 \\
0 & 0 & \frac{14}{29} & \frac{14}{29} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$

Poszczególne kroki:
1.
- zamiana $1.$ i $4.$
- $2. - 4*1.$
- $3. - 2*1.$
- $4. - 2*1.$
2.
- $3. - \frac{13}{29}*2.$
- $4. - \frac{11}{29}*2.$
3.
- $4. + \frac{5}{2}*3.$

Rozwiązanie (istnieje tylko jedno, ponieważ liczba równań jest równa liczbie niewiadomych):
$\frac{14}{29}x_3 = \frac{14}{29}$
$x_3 = 1$

$-29x_2 = -39 - 19x_3 = -58$
$x_2 = 2$

$x_1 = 12 - 8x_2 +7x_3 = 12 - 16 + 7 = 3$

#### 2)

$\begin{bmatrix}
-9 & 6 & 7 & 10 & 3 \\
-6 & 4 & 2 & 7 & 7 \\
-3 & 2 & -11 & -15 & 10
\end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix}
-9 & 6 & 7 & 10 & 3 \\
0 & 0 & -\frac{8}{3} & \frac{1}{3} & 5 \\
0 & 0 & -\frac{40}{3} & -\frac{55}{3} & 9
\end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix}
-9 & 6 & 7 & 10 & 3 \\
0 & 0 & -\frac{8}{3} & \frac{1}{3} & 5 \\
0 & 0 & 0 & -20 & -16
\end{bmatrix}$

Poszczególne kroki:
1.
- $2. - \frac{2}{3}*1.$
- $3. - \frac{1}{3}*1.$
2.
- $3. - 5*2.$

Rozwiązanie ogólne:
$-20x_4=-16$
$x_4 = 0.8$

$-\frac{8}{3}x_3 = 5 - \frac{1}{3}x_4$
$-\frac{8}{3}x_3 = 5 - \frac{1}{3}*0.8$
$x_3 = -\frac{3}{8}*5 + \frac{3}{8}*\frac{1}{3}*0.8 = -\frac{15}{8} + 0.1 = -1.775$

$-9x_1 = 3 - 6x_2 - 7x_3 - 10x_4$
$-9x_1 = 3 - 6x_2 + 12.425 - 8 = 7.425 - 6x_2$
$x_1 = \frac{2}{3}x_2 - 0.825$

$x_1 = \frac{2}{3}x_2 - 0.825$
$x_3 = -1.775$
$x_4 = 0.8$

Jedno rozwiązanie szczególne:

$x_1 = -0.825$
$x_2 = 0$
$x_3 = -1.775$
$x_4 = 0.8$

#### 3)

$\begin{bmatrix}
5 & 3 & 5 & 12 & 10 \\
2 & 2 & 3 & 5 & 4 \\
1 & 7 & 9 & 4 & 2
\end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 7 & 9 & 4 & 2 \\
0 & -12 & -15 & -3 & 0 \\
0 & -32 & -40 & -8 & 0
\end{bmatrix} \rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 7 & 9 & 4 & 2 \\
0 & -32 & -40 & -8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$

Poszczególne kroki:
1.
- zamiana $1.$ i $3.$
- $2. - 2*1.$
- $3. - 5*1.$
2.
- zamiana $2.$ i $3.$
- $3. - \frac{3}{8}*2.$

Rozwiązanie ogólne:

$-32x_2 = 0 + 8x_4 + 40x_3$
$x_1 = 2 - 4x_4 - 9x_3 - 7x_2$

$x_2 = -\frac{1}{4}x_4 - \frac{5}{4}x_3$
$x_1 = 2 - 4x_4 - 9x_3 + \frac{7}{4}x_4 + \frac{35}{4}x_3$

$x_1 = 2 - \frac{9}{4}x_4 - \frac{1}{4}x_3$
$x_2 = -\frac{1}{4}x_4 - \frac{5}{4}x_3$

Jedno rozwiązanie szczególne:

$x_1 = 1$
$x_2 = -5$
$x_3 = 4$
$x_4 = 0$