# Baseline, proportional odds model
###### tags: `Categorical data analysis`

## Multicatory logistic
### Nominal(Baseline category)

如果 logistic 的 outcome 有 j 類，則會考慮 baseline-category logit model，即會把其中一種 outcome 當作參考，若以第J類當作參考，此時 model 會寫成

:::success
<font size = 5.5>

$$ln\frac{\pi_j(X)}{\pi_J(X)} = \alpha_j + \beta_j^TX \;\; j = 1, 2, ...J-1$$

</font>
:::

若要比較第 a 類跟第 b 類的 odds ratio，則可由以下算式輕易達成

:::success
<font size = 5.5>

$$ln\frac{\pi_a(X)}{\pi_b(X)} = ln\frac{\pi_a(X)}{\pi_J(X)} - ln\frac{\pi_b(X)}{\pi_J(X)}$$

</font>
:::

由以下計算可得出 $\pi_j(X)$


#### SAS code
以下以此資料作範例，由鱷魚的身體長度來分類他最常吃的食物

proc logistic data = gator;
class choice (ref = "F");
model choice = length / link = glogit;
output out = result predprobs = i;
run;

#### SAS intepretation


基本上解釋的方式都跟 binary data 一樣，只是要分類解釋，這邊的對照組為 F
給定鱷魚攝取的食物為 I or F, 當 length 每增加一，鱷魚攝取食物為 I 的勝算會是 F 的 0.095 倍
給定鱷魚攝取的食物為 O or F, 當 length 每增加一，鱷魚攝取食物為 O 的勝算會是 F 的 1.116 倍


這個表呈現出各個觀察值的預測情況
\_FROM_: 觀察值
\_TO_: 預測值
IP_F: 預測成 F 的機率
IP_I: 預測成 I 的機率
IP_O: 預測成 O 的機率

預測結果會挑機率最大的

### Ordinal(Proportional odds model)

如果 outcome 是 ordinal 的話，則可以考慮使用 propotional odds，假設 outcome 有 J 類且為 ordinal data，則 cumulative logit 定義為

:::success
<font size = 4>

$$logit(P(Y \leq j |X)) = ln \frac{P(Y \leq j|X)}{1 - P(Y \leq j|X)} = ln\frac{\pi_1 + \pi_2 + ...\pi_j}{\pi_{j-1} + ... + \pi_J}$$

</font>
:::

而在 propotioinal odds 當中，其 model 的假設是對於不同的 j 的 cumulative logit，其相對於 x 的變動程度皆相同，故模型為
如果outcome的分配的scale不同的話，則不符合proportional odds的假設

:::success
<font size = 4>

$$logit(P(Y \leq j|X)) = \alpha_j + \beta^TX \;\; j = 1, ...,J-1$$

</font>
:::

在此假設有p個解釋變數, 則此模型會有 $j + (p-1)$ 個參數
由於其模型的假設，我們可以導出以下等式


以圖來表示即
當然這張圖是建立在 $\beta > 0$ 的情況下, 若 $\beta<0$ 的話線就會便遞減
也可以導出以下等式

:::success

<font size = 4>

$$logit(P[Y \leq j | X_1]) - logit(P[Y \leq j | X_2]) = \beta^T(X_1 - X_2)$$

$$P(Y \leq j | X) = \frac{e^{\alpha_j + \beta^TX}}{1 + e^{\alpha_j + \beta^TX}}$$

$$P(Y = j | X) = P(Y \leq j | X) - P(Y \leq j - 1 |X)$$
</font>
:::

第一條式子其含義代表著，不管 j 是甚麼 odds ratio 的差值只跟 x 有關
第二條跟第三條顯而易見

#### SAS code

以下以此資料當作範例，SES是社經地位。1是高0是低，Life events是過去三年內發生重大事件的數量，由這兩個 explanatory variable 來預測 mental 的情況(1表 mental 最健康、4表情況不好)

proc logistic data = impair;
class ses(ref = "0") / param = ref;
model mental = ses life / link = clogit;
run;

#### SAS intepretation
從這裡也可發現 $\alpha_j$ 會隨著 $j$ 增加而增加, 這是一定的, 因為 $j$ 越大代表了累積越多的組別, 因此機率值也會越大
這個模型的建構是從 mental 情況較好的累積上去的，並且以社經地位低的人作為參考組，以 mental = 2來說，model為

:::success
<font size = 4>

$$logit(\hat{P(Y \leq 2)}) = 1.2129 + 1.11ses - 0.3189life$$

</font>
:::

所以社經地位較高的人，mental 情況良好的機率就越高，而過去三年發生越多重大事件的人，mental 情況良好的機率就越低
而在給定其它 x 下，社經地位高的人 mental 情況良好的勝算是社經地位低的人的 3.038 倍，過去三年發生的重大事件每多一件，mental 情況良好的勝算就會變為 0.727 倍

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而由這個檢定可以看出 propotional odds 的假設是否符合，如果拒絕則代表 propotional odds 的假設不符合