# Binary data, overdispersion
###### tags: `Categorical data analysis`
## Binary data

前面在檢測有無線性關係用的是

:::success
<font size = 5.5>

$\pi_i = \alpha + \beta x_i$

</font>
:::

這個就會有範圍的問題。而如果採用logit link i.e.

:::success
<font size = 5.5>

$ln \frac{\pi_i}{1 - \pi_i} = \alpha + \beta x_i$
$0 < \pi_i = \frac{e^{\alpha + \beta x_i}}{1 + e^{\alpha + \beta x_i}} < 1$

</font>
:::

如此便可以將linear model跟parameter的範圍confine成一樣的了

### Alternative

對於劑量vs.是否死亡的experiment，假設$Y = 1$為死亡，想要test $P(Y = 1| X = x)$，其中$X$為耐受度的分布，也就是說$P(Y = 1| X = x)$其實就等價於$P(X \leq x)$。
若假設耐受度分布為standard normal，則有

<font size = 5.5>

$\pi_i = \Phi(\alpha + \beta x_i)$
$\Phi^{-1}(\pi_i) = \alpha + \beta x_i$

</font>

This is called <b>Probit model</b>

### SAS code

proc genmod data = <data>;
weight count;
model <response> = <explanetory> / dist = <dist of response> link = <link function>;
run;

### SAS implementation

以下用這個data set來做hd = 1的generalized linear model



## Count data

It is a horseshoe crab data, we want to know that whether the size of a female horseshoe will affect the amount of the male horseshoe arround it


為了看出更明顯的趨勢，可以將連續變數分成離散化


### Overdispersion

如此便可以很明顯的看出趨勢，然而，在categorical data裡很常會有over dispersioin的問題，在這個data set裡，可以從下表看出來。因為假設count data是poisson distribution，所以平均應該等於變異數，然而


可以發現sample mean << sample variance

#### diagonostics

<font size = 5.5>

$T = \frac{\chi^2}{df}$
其中$\chi^2$為pearson residual

</font>

如果確定有overdispersion的問題，可以在原本poisson的variance多乘上一個scaling factor來調整
另一種調整方式是把distribution假設成negative binomial，因為其平均為$\mu$, 變異數為$\mu + \frac{\mu^2}{k}$，且當$k \rightarrow \infty$時，negative binomial會收斂到poisson

### Index

count data 常常會是以一個區或一段時間作為count的基準，但這樣population不同，自然就會影響到count的數量。所以需要一個index來scale，使他們的base line都一樣

<font size = 5.5>

考慮r.v. Y的基準為$t$
$ln\frac{\mu(x)}{t} = \alpha + \beta x$
$ln(\mu(x)) = \alpha + \beta x + lnt$

</font>

This is how we adjust count number in terms of the baseline
在程式中只須加上offset = , 即可進行population的scale。稱作位移變數