# Práctica Análisis Matemático II

**Prof. Lautaro Simontacchi - Prof. Juan Domingo Gonzalez**

*Las siguientes prácticas están elaboradas en Markdown, utilizando
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# Actividades Unidad II

### Ejercicio 1
Hallar $\sigma'(t)$ y $\sigma'(0)$

1. $\sigma(t) = (t, t^3, 1 + \ln(1+t))$
2. $\sigma(t) = (e^t,\cos(t),sen(t))$
3. $\sigma(t) = \nabla f(t,t^2,t^3)$, donde $f(x,y,z)=xyz$

### Ejercicio 2
Hallar una trayectoria que cumpla
a) $\sigma(0)= (1,3)$ y $\sigma'(t)= (t,3)$
b) $\sigma(0)= (1,3,0)$ y $\sigma'(t)= (e^{-t},t, t^3+1)$

### Ejercicio 3

Sea $\sigma$ $$\sigma(t) = (t+a,t^3, e^{a(t-1)})$$

Determinar el valor de $a$ de manera que

$$\sigma(1) \cdot \sigma'(1) = 0$$

donde el punto $\cdot$ representa el producto interno entre vectores, es decir
$$(x_1,x_2,x_3) \cdot (y_1,y_2,y_3)= x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3$$

### Ejercicio 4

Hallar la longitud las siguientes trayectorias.

a. $$ \sigma(t) = (sen(t),cos(t)) \quad t\in[0,\pi]$$

b. $$ \sigma(t) = (t^4,1,t^4) \quad t\in[0,1]$$

c. $$ \sigma(t) = (e^{5t},1,5) \quad t \in [0,2]$$

### Ejercicio 5

Determinar los extremos locales de las siguientes funciones y clasificarlos con el Criterio del Hessiano

1. $f(x,y)= (2x-1)^2 + 7y^2$
1. $f(x,y)= e^{-(x-1)^2 -y^2}$
1. $f(x,y)= \ln(1 +x^2 + y^2 )$
1. $f(x,y)= x^2 -2xy+2y^2$

### Ejercicio 6

Determinar los puntos críticos y clasificarlos
1. $f(x,y)= e^{1+x^2 -y^2}$
1. $f(x,y)= (x-y)(xy-1)$
1. $f(x,y)= xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

### Ejercicio 7

Sean $h(x)$ y $g(y)$ funciones univariadas desconocidas positivas y derivables 2 veces y cuyas derivadas segundas nunca valen cero. Se sabe que $h$ tiene un único mínimo en $x=1$ y $g(y)$ un único máximo en $y=3$. Se define $f(x,y)=h(x)g(y)$. Calcular los extremos de $f$ y clasificarlos.

### Ejercicio 8
Hallar los extremos de las siguientes funciones

1. $f(x,y,z) = x^4+y^4 + (z-12)^4$
1. $f(x,y,z) = x^2+y^2 + z^2+xy$

### Ejercicio 9
Hallar los extremos restringidos utilizando multiplicadores de Lagrange

1. $f(x,y,z)= x+z,$ sujeto a $x^2 + y^2 + z^2 =1$
1. $f(x,y)=xy,$ sujeto a $(x+1)^2 + y^2 =1$
1. $f(x,y)=xy-y+x-1,$ sujeto a $x^2 + y^2 =1$

### Ejercicio 10

1. El índice de Shannon, de Shannon-Weaver o de Shannon-Wiener se usa en ecología u otras ciencias similares para medir la biodiversidad específica, su definicion para una poblacion con 3 clases, es
$$I(x,y,z)= -x\ln(x) - y\ln(y) - z\ln(z),$$
donde $x$, $y$, $z$ representan proporciones de una poblacion (es decir $x+y+z=1$ y son variables positivas menores o iguales que $1$).
Hallar el valor máximo que puede alcanzar $I$.

1. Especular cual será el máximo del índice para una población con $n$ clases
$$I(x_1,\dots,x_n)=-\sum_{i=1}^n x_i\ln(x_i),$$
donde en este caso se debe satisfacer la condición $$\sum_{i=1}^n x_i=1, \qquad x_i \in (0,1)$$

### Ejercicio 11
1. Hallar la distancia más corta entre el punto (0,0) y los puntos recta $y=2 + x$

1. Hallar la distancia más corta entre el punto (1,1) y los puntos de la parabola $y= (x-1)^2$

### Ejercicio 12

1. Calcular las dimensiones del cilindro de máximo volumen, sabiendo que su superficie es de $300$ cm$^2$.

1. Calcular las dimensiones de un cilindro que tenga mínima superficie, sabiendo que su volumen es $300$ cm$^3$.

### Ejercicio 13

1. Calcular los extremos de $f(x,y,z)= x+y$ restringido al cilindro $x^2+y^2=4$ y al plano $2x-3y+z=6$