---
# System prepended metadata

title: Đề cương ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán chi tiết

---

Thi học kì 2 là bài kiểm tra kiến thức đánh giá quá trình học tập trong học kì thứ hai của năm học. Để đạt kết quả tốt nhất, các em cần ôn thi học kì 2 đúng trọng tâm bài học. Chính vì vậy, VUIHOC đã tổng hợp kiến thức ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán giúp các em ôn thi dễ dàng hơn.




1. Ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán: Công thức tính nguyên hàm
1.1 Công thức nguyên hàm cơ bản 


1.2 Công thức nguyên hàm nâng cao


1.3. Bảng công thức nguyên hàm mở rộng
Tổng hợp công thức nguyên hàm mở rộng

1.4 Bảng công thức nguyên hàm lượng giác


2. Ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán: Tích phân
2.1 Định nghĩa
- Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b] Hiệu số
F(b) -  F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x). 

\large \int_{a}^{b}f(x)dx

- Ta dùng kí hiệu \large f(x)|_{a}^{b}=f(b)-f(a) để chỉ hiệu số F(b) - F(a).

\large \int_{a}^{b}f(x)dx=f(x)|_{a}^{b}=f(b)-f(a)

2.2 Bảng công thức tính tích phân: 

3. Ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán: Số phức
3.1 Khái niệm
- Tập hợp số phức: C

- Số phức: z = a + bi (a,b \large \in R, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo)

z là số thực nếu phần ảo của z = 0

z là thuần ảo nếu phần thực của z = 0

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 

- Hai số phức bằng nhau: a + bi = a' + bi' khi a = a' và b = b'

3.2 Phép tính số phức 
z + z' = (a + bi) + (a' + b'i) = (a + a') + (b + b')i

z - z' =(a + bi) - (a' + b'i) = (a - a') + (b - b')i

zz' = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i 

\large \frac{z}{z'}=\frac{ab'-a'b}{a'^{2}+b'^{2}}i

3.3 Số phức liên hợp 
- Cho z = a + bi \large \in \mathbb{C}, khi đó số phức liên hợp với z là \large \bar{z} = a - bi

3.4 Mô đun của số phức
- Cho số phức z = a + bi, khi đó \large \sqrt{a^{2}+b^{2}} được gọi là mô đun của số phức z, kí hiệu là |z|. 

Vậy |z| = \large \sqrt{a^{2}+b^{2}}

4. Ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán: Hệ tọa độ trong không gian



5. Ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán: Phương trình mặt phẳng
a. Phương trình mặt phẳng tổng quát của mp (P) đi qua điểm M (xo;yo;zo) có véc tơ pháp tuyến \large \overrightarrow{n} = (A;B;C) là: 

A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0

b.  Triển khai phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0  ( A,B,C không đồng thời bằng 0). 

c. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát: 

(P) qua gốc tọa độ \large \Leftrightarrow D = 0

(P) song song hoặc trùng (Oxy) \large \Leftrightarrow A = B = 0

(P) song song hoặc trùng (Oyz) \large \Leftrightarrow B = C = 0

(P) song song hoặc trùng (Ozx) \large \Leftrightarrow A = C = 0

(P) song song hoặc chứa Ox \large \Leftrightarrow A = 0

(P) song song hoặc chứa Oy \large \Leftrightarrow B = 0

(P) song song hoặc chứa Oz \large \Leftrightarrow C = 0

(P) cắt Ox tại A(a,0,0), cắt Oy tại B(0,b,0) và cắt Oz(0,0,c) \large \Leftrightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

d. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:

- Cho M (xo;yo;zo) và (P): Ax + By + Cz + D = 0

\large d(M,(P))=\frac{|Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} 

e. Góc giữa hai mặt phẳng: 

\large cos((\alpha ),(\beta ))=|cos(\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{n_{\beta }})|=\frac{|\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{n_{\beta }}|}{|\overrightarrow{n_{\alpha }}|.|\overrightarrow{n_{\beta }}|}=\frac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}

6. Ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán: Phương trình đường thẳng trong không gian
a. Phương trình đường thẳng 

- Đường thẳng (d) đi qua Mo(xo;yo;zo) và có véc tơ chỉ phương\large \overrightarrow{u} = (a;b;c) với a,b,c \large \neq 0)

- Phương trình tham số của (d): 

\large \left\{\begin{matrix} x=x_{o}+at & & \\ y=y_{o}+at & & \\ z=z_{o}+at & & \end{matrix}\right. (t\in \mathbb{R})

- Phương trình chính tắc của (d): 

\large \frac{x-x_{o}}{a}=\frac{y-y_{o}}{a}=\frac{z-z_{o}}{a}

b. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian

- Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1(x1,y1,z1) có véc tơ chỉ phương \large \overrightarrow{u_{1}}=(a,b,c) và đường thẳng d2 đi qua điểm M2(x2;y2;z2) và có véc tơ chỉ phương \large \overrightarrow{u_{2}}=(a_{2},b_{2},c_{2}). Khi đó: 

d1 và d2 nằm cùng một mặt phẳng khi: \large [\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}]. \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=0

d1 và d2  cắt nhau khi: \large \left\{\begin{matrix} [\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}]. \overrightarrow{M_{1}M_{2}}=0 & \\ \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}}\neq 0& \end{matrix}\right.

d1 // d2 khi: \large \left\{\begin{matrix} [\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}}]\neq 0 & \\ [\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}]=0& \end{matrix}\right.

d1 trùng d2 khi: \large [\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}}]=[\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}}]=0

d1 chéo d2 khi: \large [\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}}].\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\neq 0

c. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: 

- Cho đường thẳng (d) đi qua Mo(xo,yo,zo) có véc tơ chỉ phương \large \overrightarrow{u}=(a,b,c) và mặt phẳng

(P): Ax + By + Cz + D = 0 có véc tơ pháp tuyến \large \overrightarrow{n}=(A,B,C), khi đó: 

d cắt (P) khi: Aa + Bb + Cc \large \neq 0

d // (P) khi: \large \left\{\begin{matrix} Aa + Bb + Cc=0 & \\ Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D\neq 0 & \end{matrix}\right.

d \large \subset (P) khi: \large \left\{\begin{matrix} Aa + Bb + Cc=0 & \\ Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D= 0 & \end{matrix}\right.

d \large \perp (P) khi: \large \overrightarrow{u}// \overrightarrow{n}\Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}]=\overrightarrow{0}

7. Ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán: Luyện tập
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 + 3. 

Lời giải: 

f(x) = x2 + 3 => F(x) = x3/ 3 + 3x + C

Bài 2: Cho \large \int_{-1}^{2}f(x)dx=3 và \large \int_{2}^{-1}g(x)dx=1. Hãy tính I = \large \int_{-1}^{2}[x+2f(x)-3g(x)]dx

Lời giải: 

\large I=\int_{-1}^{2}[x+2f(x)-3g(x)]dx

\large =\int_{-1}^{2}xdx +2\int_{-1}^{2}f(x)dx-3\int_{-1}^{2}g(x)dx

\large =\frac{x^{2}}{2}|_{-1}^{2}+2\int_{-1}^{2}f(x)dx+3\int_{2}^{-1}g(x)dx

\large =\frac{2^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2}+2.3+3.1=\frac{21}{2}

Bài 3: Tìm các số thực x,y thỏa mãn: x + 2y + (2x - 2y)i = 7 - 4i

Lời giải:

Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau

=> x + 2y + (2x - 2y)i = 7 - 4i

\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2y=7 & \\ 2x-2y=-4 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=3 & \end{matrix}\right.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (-3;4) biểu diễn số phức z. Hãy tìm tọa độ điểm B biểu diễn cho số phức \large \omega =i\overline{z}

Lời giải: 

Có điểm A (-3;4) biểu diễn số phức z => z = -3 + 4i => \large \overline{z}=-3-4i

\large \omega =i\overline{z} = i( -3 - 4i) = 4-3i. 

Vậy điểm biểu diễn số phức \large \omega là B(4;-3)

Bài 5: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: 

\large d: \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-5} 

\large d': \frac{x+1}{3}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-4}{-1}

Lời giải: 

Gọi đường thẳng cần tìm là \large \Delta

Gọi M (2a+2;3a+3;-5a-4) = \large \Delta \large \cap d

Gọi N (3b-1;-2b+4;-b+4) = \large \Delta \large \cap d'

Ta có: \large \overrightarrow{MN}=(3b-2a-3;-2b-3a+1;-b+5a+8)

Đường thẳng d có VTCP là \large \overrightarrow{u_{d}}=(2;3;-5), đường thẳng d' có 1 VTCP là \large \overrightarrow{u_{d'}}=(3;-2;-1)

Vì: \large \left\{\begin{matrix} MN\perp d & \\ MN\perp d' & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} MN.\overrightarrow{u_{d}}=0 & \\ MN.\overrightarrow{u_{d'}}=0 & \end{matrix}\right.

\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5b-38a-43=0 & \\ 14b-50-19=0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} M(0;0;1) & \\ N(2;2;3) & \end{matrix}\right.

\large \Rightarrow \overrightarrow{MN}=(2;2;2)||(1;1;1)

Vậy phương trình đường thẳng \large \Delta: \large \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}

 

 

Trên đây là những kiến thức trọng tâm ôn thi học kì 2 lớp 12 môn toán mà vuihoc đã tổng hợp dựa trên các bài học trong chương trình toán 12. Để làm tốt bài thi giữa kỳ, các em cần ghi nhớ và nắm chắc được các kiến thức và cách giải dạng dạng bài tập liên quan đến kiến thức đó. Chúc các em làm tốt và đạt điểm cao môn Toán trong bài thi học kì 2 nhé! 


Nguồn: 

https://vuihoc.vn/tin/thpt-de-cuong-on-thi-hoc-ki-2-lop-12-mon-toan-chi-tiet-3022.html

