Made by **Võ Thịnh Phát** - K22 APCS - University of Science

# MATH EXERCISES FOR YOU

## Bài tập ngày 20 / 2 / 2022

**Bài 1. Olympic GGTH Đồng Tháp 2017 - Khối 10.** Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a}{b(a+c)} + \dfrac{b}{c(b+a)} + \dfrac{c}{a(c+b)} \geq \dfrac{3}{2}$$

**Bài 2 (Duyên Hải và Đồng Bằng Bắc Bộ - Khối 10).** Với $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn :
$$\dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{a + b}{c} = 2 \left( \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} \right)$$

Chứng minh rằng : $$a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2(ab + bc + ca)$$

**Bài 3 (Cấp tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu).** Cho ba số thực dương $a , b, c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a}{\sqrt{(b + 2)(c + 2)}} + \dfrac{b}{\sqrt{(c + 2)(a + 2)}} + \dfrac{c}{\sqrt{(a + 2)(b + 2)}} \geq 1$$

**Bài 4 (Đăk Lăk TST).** Cho bất phương trình $x^2 - (a + b)x + ab \leq 0$ trong đó $a > b > 0$. Gọi $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ là $n$ nghiệm nào đó của bất phương trình trên. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{(x_1 + x_2 + ... + x_n)^2}{n(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)} \geq \dfrac{4ab}{(a+b)^2}$$

**Problem 5 (HUS - VNU).** Given three positive real numbers $a, b, c$. Prove that

$$\dfrac{a^3}{b^2 - bc + c^2} + \dfrac{b^3}{c^2 - ca + a^2} + \dfrac{c^3}{a^2 - ab + b^2} + \dfrac{9}{2(ab + bc + ca)} \geq \dfrac{9}{2}$$