# Các nội dung bài tập môn XSTK
## Phần 2: Biến ngẫu nhiên
### Bài tập mẫu
#### Bài 1
:::info
Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi X là tổng số chấm ở mặt trên của 2 con xúc xắc.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Trước khi gieo, hãy dự đoán xem tổng số chấm là mấy? Vì sao? Nếu dự đoán là 9 thì có được không? Vì sao?
c) Viết biểu thức hàm phân phối của X.
d) Tính EX, DX, ModX, P(3 < X <7,2), P(4< X < 9,3).
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
Ta lập bằng sau:

a)
(Số có thể: $6.6 = 36$. Số thtl được đếm từ bảng).

b) Ta nên dự đoán tổng số chấm là 7, vì xác suất tương ứng với nó là lớn nhất ($\frac{6}{36}$), khả năng đúng là cao nhất. Vì chỉ được thọn một giá trị để đoán và đã đoán thì ai cũng muốn được đoán đúng, cho nên không nên đoán là 9, mặc dù bnn X có khả năng nhận giá trị 9, nhưng chỉ với xs $\frac{4}{36}$; nếu đoán như vậy thì khả năng đúng thấp hơn, khả năng sai cao hơn so với trường hợp ta đoán tổng số là 7.

c) Hàm phân phối
(Các điểm mà bnn nhận chính là điểm chia miền xác định của $F(x)$. Lưu ý là dấu bằng luôn ở mút bên phải của khoảng, còn giá trị của hàm $F(x)$ thì cứ việc cộng dồn (các xác suất $p_i$) sang phía bên phải).

d) $EX = 2\frac1{36} + 3\frac2{36} + 4\frac3{36} + ... + 11\frac2{36} + 12\frac1{36} = 7$

$EX^2 = 2^2\frac1{36} + 3^2\frac2{36} + ... + 12^2\frac1{36} = \frac{1974}{36} = 54,8333$

$DX = \frac{1974}{36} - 7^2 = 5,8333$

$ModX = 7$

$P(3 \leq X \leq 7,2) = F(7,2) - F(3) = \frac{21}{86} - \frac1{36} = \frac{20}{36} = 0,5556$

> hoặc $= P((X=3) \cup (X=4) \cup (X=5) \cup (X=6) \cup (X=7))$
> $= P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) +P(X=6) + P(X=7)$
> $= 2/86 + 3/36 + 4/36 + 5/36 + 6/86= 20/36$ (do các biến cố xung khắc)

$P(4 \lt X \leq 9,3) = P(4 \leq X \lt 9,3) - P(X=4) + P(X=9,8)$
$= F(9,3) - F(4) - P(X=4) + P(X=9,3)$
$= 30/36 - 3/36 - 3/36 + 0 = 24 /36 = 0,6667$

> hoặc $= P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9)$
> $= 4/36 +5/36 +5/36 +5/36 +4/86= 24/36$
:::

#### Bài 2
:::info
Trong một cái bát có để 5 hạt đậu, trong đó có 2 hạt đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 2 hạt. Gọi $X$ là số hạt đậu đỏ được lấy ra.
a) Mô tả quy luật phân phối xác suất của $X$.
b) Trước khi lấy hãy đoán xem được mấy hạt đỏ?
c) Viết biểu thức hàm phân phối của $X$.
d) Tính $EX$, $DX$, $E(3X-5)$, $D(5-3X)$, $ModX$, $P(0 \lt X \lt 2)$.
e) Lập bảng phân phối xác suất của bnn $2X$, $X^2$.
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
Phép thử ở đây là lấy theo nghĩa tổ hợp. Số có thể là $C^2_{5} =10$

a)
Phân phối của $X$ chính là phân phối siêu bội.

b) Nên đoán được 1 hạt, vì khả năng xảy ra $= 60\%$.

c) Hàm phân phối

d) $EX = 0.0,8 +1.0,6+ 2.0,1 = 0,8$
$EX^2 = 0 + 0,6 + 22.0,1= 1,0$
$DX = 1 - (0,8)^2 = 0,36$

$E(8X-5) = 3EX-5 = 3.0,8 - 5 = -2,6$

$D(5-3X) = D5 + 3^2DX = 9.0,36 = 3,24$

$ModX = 1$

$P(0 \lt X \lt 2) = P(X=1) = 0,60$
Nếu dùng hàm phân phối thì
$P(0 \lt X \lt 2) = P(0 \leq X \lt 2) - P(X=0)$
$= F(2)-F(0)-P(X=0)= 0,9-0—0,3 = 0,6$

e)
Nghĩa là giá trị thì nhân 2, nhưng xác suất thì không thay đổi, bởi vì phép tính nhân 2 là phép tính tất định. Rõ ràng ta có:
$P(kX=kx_i) = P(X=x_i) = p_i$

Ta có: Nếu $P(X=x_i) = p_i$ thì $P(X^2 = x_i^2) = p_i$
:::

#### Bài 3
:::info
Một xạ thủ đem 5 viên đạn để bắn kiểm tra trước ngày thi bắn. Xạ thủ bắn từng viên vào bia với xác suất trúng vòng 10 là 0,85. Nếu bắn được 3 viên liên tiếp trúng vòng 10 thì thôi không bắn nữa. Gọi Y là số đạn xạ thủ này đã bắn.
a) Lập bảng phân phối xác suất của Y.
b) Từ bảng phân phối nhận được cho ta những thông tin gì?
c) Viết biểu thức hàm phân phối của Y.
d) Về trung bình xạ thủ này phải bắn thử bao nhiêu viên đạn?
e) Xét trường hợp xạ thủ bắn được 3 viên trúng vòng 10 thì ngừng bắn. Gọi Z là số đạn còn thừa đem về. Tìm quy luật phân phối của Z.
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
a)

> Để tìm các xs ta dùng công thức nhân.
> Đặt $T_i$ = {Viên thứ $i$ trúng vòng 10}
> $(Y=3) = T_1T_2T_3$
> $(Y=4) = \overline{T_1}T_2T_3T_4$
> Lưu ý $(Y=5)$: Ngoài 2 trường hợp thoả mãn yêu cầu phải kể đến các trường hợp bắn hết 5 viên nhưng không đạt được yêu cầu đặt ra, hết đạn rồi nên không thể bắn thêm được nữa.

b) Nhìn vào bảng phân phối ta thấy khả năng xạ thủ này bắn hết 3 viên là cao nhất, tiếp theo là khả năng xạ thủ này bắn hết cả 5 viên, khả năng bắn hết 4 viên là thấp (9%).

c) Hàm phân phối

d) Về trung bình xạ thủ này phải bắn 3,68 viên; nghĩa là sau nhiều lần dùng 5 viên đạn để bắn kiểm tra thì số viên xạ thủ này đã bắn, tính trung bình là 3,68; vì
$EX = 3.0,614 + 4.0,092 +5.0,294 = 3,68$

e)

Vì:
$(Z=2) = T_1T_2T_3$
$(Z=1) = \overline{T_1}T_2T_3T_4 \cup T_1\overline{T_2}T_3T_4 \cup T_1T_2\overline{T_3}T_4$
$P(Z=0) = 1 - (P(Z=1) + P(Z=2))= 1 - 0,89 = 0,11$
:::

#### Bài 4
:::info
Một lô hàng có tỷ lệ hàng giả là 20%. Đội quản lý thị trường đã lấy ra từng chiếc một để kiểm tra cho đến khi nào phát hiện ra chiếc giả thì thôi. không lấy nữa. Gọi X là số sản phẩm đã lấy ra để kiểm tra; Y là số sản phẩm thật đã được lấy ra để kiểm tra.
a) Hãy mô tả quy luật phân phối xác suất của X, Y.
b) Về trung bình phải lấy ra bao nhiêu sản phẩm, bao nhiêu sản phẩm thật để kiểm tra?
c) Tính $ModX$, $ModY$, $P(X=5)$, $P(X \leq 5)$, $P(X \leq 11)$
Có nhận xét gì qua các kết quả tính được?
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
a) Ta có:
$P(X=m)=0,8^{m-1}0,2$, $m=1,2,3,...$
$P(Y=m)=0,8^m0,2$, $m=0,1,2,...$

> Một số bạn đọc nhầm tưởng đây là dãy Bernoulli! Tại sao không dùng Bernoulli và phân phối nhị thức được?
> Một số bạn đọc sẽ lúng túng không biết $m$ sẽ nhận đến giá trị nào? Lấy mãi cho đến khi nào gặp hàng giả thì mới thôi, mà ở đây bài toán không đề cập đến số sản phẩm của lô hàng, vì vậy phải hiểu là $m$ tiến ra $\infty$).

Phân phối của bnn $Y$ được gọi là phân phối hình học. Đó là phân phối của số phép thử không thành công được thực hiện cho đến khi thành công (có kết quả). Nó là trường hợp riêng của phân phốt Pascal và phân phối nhị thức âm.

b) Để trả lời ta dùng $EX$ và $EY$. Ta có:
$EX=\sum^{\infty}_{m=1}m(0,8)^{m-1}0,2 = 0,2 \frac1{(1- 0,8)^2} = 5 \ (EX=\frac1p)$
(Dùng kết quả sau:
$\sum^{\infty}_{m=1}mq^{m-1}= (\sum^{\infty}_{m=1}q^m)' = (\frac{q}{1-q})' = \frac{1}{(1-q)^2}$
$=\frac{0,2.0,8}{(1-0,8)^2}= 4 (EY = \frac{q}{p}; DY= \frac{q}{p^2})$

Về trung bình (trong nhiều lần kiểm tra hoặc nhiều người thực hiện kiểm tra) ta phải lấy ra 5 sản phẩm và lấy ra 4 sản phẩm thật để kiểm tra.

c) $ModX = 1$ vì $P(X=1) = 0,2$ là lớn nhất

$ModY = 0$

$P(X=5) = (0,8)^40,2 = 0,08192$

$P(X \leq 5) = 0,2 + 0,8.0,2 +... + (0,8)^40,2 =0,67232$

$P(X \leq 11) = 0,2 + 0,8.0,2 +... + (0,8)^90,2 + (0,8)^{10}0,2$
$=0,2(1+0,8 +... + (0,8)^{10})$
$=0,2 \frac{1-(0,8)^{11}}{1-0,8}= 0,91408$

Vì xác suất lớn nhất chỉ là 0,2 cho nên dùng $modX$ để dự đoán thì không có ý nghĩa lắm. Qua các kết quả tính được ta có thể nói khả năng phải lấy đến 5 sản phẩm để kiểm tra là 67,23% và với xác suất 91,4% số sản phẩm phải lấy ra để kiểm tra không vượt quá 11 hay với xác suất 91,4% việc kiểm tra sẽ kết thúc trước khi lấy ra sản phẩm thứ 12.
:::

#### Bài 5
:::info
Khả năng xuất hiện một loại vi trùng (mà ta quan tâm) ở một thí nghiệm là 10%. Một cán bộ nghiên cứu đã làm từng thí nghiệm một cho đến khi nào thành công (nhận được loại vi trùng trên) thì thôi. Nhưng cán bộ này chỉ được cấp kinh phí để làm tối đa 20 thí nghiệm. Gọi Z là số thí nghiệm không thành công mà cán bộ trên đã làm.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của Z.
b) Tính xác suất để cán bộ này thành công trong 10 thí nghiệm đầu tiên.
c) Tính xác suất thành công của cán bộ trong đợt thí nghiệm trên?
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
a) $P(Z=m) = 0,9^m0,1$ nếu $m=0,1,2,...,19$
$P(Z=20)= 0,9^{20}

Dễ đàng kiểm tra lại tổng các xác suất bằng 1:
$\sum_{m=0}^{n-1}p^mq+p^n = q \frac{1-p^n}{1-p}+p^n = 1$; $(q=1-p)$

Phân phối dạng trên được gọi là phân phối hình học bị chặt.

b) $P(Z \leq 9) = 0,1 + 0,9.0,1 +... + 0,9^90,1$
$= 0,1\frac{1-0,9^{10}}{1-0,9} = 1-0,348678 = 0,651322$

c) $P(Z \leq 19) = 1 - 0,9^{20} = 1- 0,121577 = 0,878423 \sim 88\%$
:::

#### Bài 6
:::info
Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong khoảng thời gian t các bộ phận bị hỏng tương ứng bằng 0,2 ;0,3; 0,25. Gọi Y là số bộ phận bị hỏng trong khoảng t.
a) Tìm quy luật phân phối xác suất của Y.
b) Viết biểu thức hàm phân phối của Y.
c) Tính P(0< Y < 4) theo 2 cách.
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
a) Gọi
$B_i$ = {Bộ phận thứ $i$ bị hỏng trong khoảng $t$}, $i = 1,2,3$.
Các $B_i$ độc lập, không xung khắc.
$(Y=0) = \overline{B_1} \ \overline{B_2} \ \overline{B_3}$
$P(Y= 0) = P(\overline{B_1}).P(\overline{B_2}).P(\overline{B_3}) = 0,8.0,7.0,75 = 0,42$
$(Y=1) =$ {Có đúng 1 bộ phận bị hỏng} $=B_1\overline{B_2} \ \overline{B_3} \cup \overline{B_1}B_2\overline{B_3} \cup \overline{B_1} \ \overline{B_2}B_3$
$P(Y=1) = 0,2.0,7.0,75 + 0,8.0,3.0,75 + 0,8.0,7.0,25 = 0,425$
$(Y=3) = B_1B_2B_3$
$P(Y=3) = 0,2.0,3.0,25 = 0,015$
$P(Y=2) = 1 - (0,42 + 0,425 + 0,015) = 0,14$

Vậy

b) và c) làm tương tự như các ví dụ trước, bạn đọc tự làm.
:::

#### Bài 7
:::info
Cho bnn có phân phối đều trên [0;1]. Tìm xác suất sao cho trong 100 lần quan sát về bnn $\xi$ có 60 lần $\xi$ nhận giá trị trong (0,2; 0,7).
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
Thực hiện 100 lần quan sát ở đây chính là 100 phép thử Bernoulli với biến cố $A = \xi \in (0,2; 0,7)$. Ta phải tìm p = P(A).
Vì $\xi$ có phân phối đều trên [0;1] nên $p = P (\xi \in (0,2; 0,7)) = F(0,7) - F(0,2) = 0,7 - 0,2 = 0,5$. Vậy xác suất cần tìm bằng:
$$
P_{100}(60; 0,5) = C^{60}_{100} (0,5)^{100}
$$
:::

#### Bài 8
:::info
Gọi X là trọng lượng một bao phân bón được đóng gói tự động. Giả sử X = N(10;0,052), đơn vị của X là kg.
a) Có thể nói những gì về trọng lượng của một bao từ giả thiết đã cho.
b) Tìm tỷ lệ các bao phân bón có trọng lượng sai lệch so với trọng lượng quy định (10kg) không quá 100 gam.
e) Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một bao, gặp bao có trọng lượng trên 10,1kg.
d) Nếu một máy khác đóng gói tự động cho trọng lượng $Y$ của bao là bnn $N(10; 0,1^2)$ thì ta có thể nói gì về hai máy đóng gói trên? Nói gì về hai lô hàng do hai máy đóng gói?
e) Nếu chọn ngẫu nhiên ra 100 bao từ lô hàng do máy thứ nhất đóng gói thì có thể nói gì về tần số xuất hiện của các bao?
f) Mô tả phân phối xác suất của số bao có trọng lượng $X$ thoả mãn: $|X-10| \lt 0,1$ trong 100 bao lấy ra.
g) Về trung bình trong 100 bao lấy ra có bao nhiêu bao có trọng lượng từ 9,9kg đến 10,1kg? Con số đó có phải là số có khả năng nhất không?
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
a) Từ giả thiết đã cho không thể nói trọng lượng các bao là 10kg, mà chỉ có thể nói trọng lượng trung bình của các bao là 10kg. Còn trọng lượng của các bao dao động quanh 10kg với độ lệch tiêu chuẩn là 50 gam.

b) Tỷ lệ cần tìm chính là
$P(|X-10| \lt 0,1) = P(9,9 \lt X \lt 10,1)$
$= \Phi(\frac{10,1-10}{0,05}) - \Phi(\frac{9,9-10}{0,05})$
$= \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 \approx 0,9545 = 95,45\%$

c) $P(X \gt 10,1) = P(10,1 \lt X \lt 11)$
$=\Phi(\frac{11-10}{0,05}) - \Phi(\frac{10,1-10}{0,05})$
$=\Phi(20) - \Phi(2) = 1 — 0,9773 = 0.0227$

($10,1 \lt X \lt ?$. Về lý thuyết $X < +\infty$. Do đó chọn $+\infty$ cũng
được. Nhưng $\sigma$ = 50 gam, nên ta chỉ cần chọn 11 là đủ. Nói chung nên chọn $> EX + 5\sigma$)

d) Hai máy đóng gói đều cho trọng lượng trung bình của một bao là 10kg, nhưng máy thứ nhất cân đo chính xác hơn máy thứ hai (vì $DX = 0,05^2 < DY = 0,1^2$). Lô hàng đo máy thứ nhất đóng gói là đồng đều hơn, chênh lệch giữa bao nặng và bao nhẹ ít hơn so với lô hàng do máy thứ hai đóng gói.

e) Tần số xuất hiện có tính tập trung và tính đối xứng (một cách tương đối) so với giá trị 10kg. Vì theo luật chuẩn, bnn sẽ nhận các giá trị gần giá trị 10 với xác suất lớn, xa giá trị 10 với xác suất nhỏ, càng xa giá trị 10 xs càng nhỏ. Mà ứng với xs lớn thì số lần xảy ra phải nhiều, còn ứng với xs nhỏ thì số lân xảy ra sẽ ít. (Tính chất tập trung và đối xứng của tần số xuất hiện nêu trên cũng là một dấu hiệu trực giác quan trọng để ta nhận biết xem dãy số liệu mẫu quan sát được (trong phần thống kê ứng dụng sau này) có phù hợp với luật chuẩn hay không).

f) Khi xét 100 bao tức là ta đã có 100 phép thử Bernoulli với $p = 0,9545$ (theo câu b), nên phân phối xác suất cần tìm chính là phân phối nhị thức $B(100; 0,9545)$.

g) Về trung bình có $np = 100.0,9545 = 95,45$ bao có trọng lượng từ 9,9kg đến 10,1kg. Con số trên không phải là số có khả năng nhất, vì $np+p-1 = 95,4045 \Rightarrow m_0 = 96$ (hơn nữa số có khả năng nhất phải là số nguyên chứ không thể là số thập phân được).
:::

#### Bài 9
:::info
Gọi $Z$ là số nhu cầu gọi đến trung tâm điều phối xe taxi của hãng Tân Hoàng Minh V-20 trong thời gian 1 giờ ở Hà Nội. Giả sử $Z$ tuân theo luật Poisson với $\lambda$ = 11.
a) Có thể nói: Mỗi một giờ sẽ có 11 nhu cầu dùng xe taxi của hãng V-20 hay không?
b) Khả năng không có khách trong thời gian 1 giờ là bao nhiêu?
c) Tìm $modZ$.
d) Tính $P(EZ -\sqrt{DZ} \leq Z \leq EZ + \sqrt{DZ})$. Diễn đạt kết quả nhận được bằng lời dưới dạng dễ hiểu.
e) Gọi Y là số xe taxi đã được điều đi phục vụ trong một giờ (để đơn giản ta giả thiết mỗi xe chỉ được điều đi một lần trong thời gian 1 giờ). Hãy mô tả quy luật phân phối xác suất của Y. Giả sử hãng có 11 xe.
f) Nếu hãng chỉ có 15 xe taxi thì khả năng khách phải chờ là bao nhiêu?
g) Muốn nâng cao chất lượng phục vụ, giảm khả năng khách hàng phải chờ xuống dưới 1% thì hãng phải trang bị thêm bao nhiêu xe nữa?

Cho biết: $e^{-11} \approx 0,00002$
Đặt $F(k) = P(Z \leq k) = \sum^k_{i=0}P(Z=i)$
$F(7) = 0,143$; $F(10) = 0,460$; $F(14)= 0,854$
$F(15) = 0,907$; $F(19) = 0,991$
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
a) Không thể nói: Mỗi giờ có 11 nhu cầu dùng taxi của hãng V- 20 được, mà chỉ có thể nói: Trung bình mãi giờ có 11 nhu cầu dùng taxi của V-20.

b) $P(Z= 0) = e^{-11} (11)^0/0! = 0,00002$
c) $ModZ = 10$ và $11$ vì $\lambda=11$
d) $P(EZ - \sqrt{DZ} \leq Z \leq EZ + \sqrt{DZ})$
$=P(11- \sqrt{11} \leq Z \leq 11 + \sqrt{11})$
$= P(7,68 \leq Z \leq 14,32) = F(14) - F(7) = 0,854 - 0,143 = 0,711$
Điều đó có nghĩa là khả năng trong một giờ có từ 8 đến 14 nhu cầu dùng taxi của hãng là 71,1%.

e) (Đây là phân phối bị chặt cụt)
$P(Y = m) = P(Z = m) = \frac{e^{-11}(11)^m}{m!}$ với $m = 0,1,2,...,10$
$P(Y = 11) = P(Z \geq 11) = 1- P(Z \lt 11) = 1- F(11)$
$= 1-0,460 = 0,540$

f) Khả năng khách phải chờ điều xe là:
$P(Z > 15) = 1 - P(Z \leq 15) = 1 - F(15) = 1 - 0,907 = 0,093$

g) Gọi số xe cần có là $m$, khi đó $P(Z > m) \leq 0,01$
$1 - P(Z \leq m) = 1 - F(m) \leq 0,01$
$F(m) \geq 0,99 \Rightarrow m =19$

Vậy hãng phải trang bị thêm 4 xe taxi nữa.

:::spoiler **Lưu ý**
Trong ví dụ trên bnn $Z$ đã được giả thiết tuân theo luật Poisson. Trong Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học người ta đã chứng minh được rằng:
- Giả sử trong khoảng có độ dài $T$ (hoặc trong miền có diện tích là $S$) có $n$ điểm ($n$ biến cố) xảy ra đều trên đó. Số điểm (số biến cố) xảy ra trên các khoảng (miền) rời nhau là độc lập. Khi đó bnn $X$ bằng số điểm (biến cố) xảy ra trong miền $A$ sẽ là bnn có phân phối theo luật Poisson với tham ẩn $\lambda|A|$ trong đó $|A|$ là độ dài hoặc diện tích của miền $A$, $\lambda = \frac nT$ hoặc $= \frac nS$ là số điểm (biến cố) trung bình xảy ra trên 1 đơn vị độ dài (thời gian, diện tích), là cường độ xuất hiện các điểm (biến cố).
- Giả sử biến cố $A$ xuất hiện ở các thời điểm ngẫu nhiên và số lần xuất hiện $A$ trong các khoảng thời gian rời nhau là độc lập, hơn nữa số lần xuất hiện trung bình trong một đơn vị thời gian là như nhau và bằng $\lambda$. Khi đó bnn $X$ chỉ số lần xuất hiện $A$ trong khoảng thời gian $t$ sẽ là bnn có phân phối Poisson với tham ẩn $\lambda t$.
:::

#### Bài 10

:::info
Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 lần gọi trong 1 giờ.
a) Tìm xác suất để trạm đó nhận được đúng 2 lần gọi trong 1 phút cho trước.
b) Tìm xác suất để trạm đó nhận được đúng 5 lần gọi trong 3 phút.
c) Tìm xác suất để trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút trạm nhận được nhiều nhất 1 lần gọi.
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
Gọi $X$ là bnn chỉ số lần gọi đến trạm trong thời gian 1 phút. Rõ ràng $X \cong$ Poisson với $\lambda = \frac{300}{60} = 5$

a) $P(X=2) = e^{-5}\frac{5^2}{2!} \approx 0,09$

b) $Y$ là số lần gọi trong 3 phút. $Y \cong$ Poisson với $\lambda = 5.3 =15$
Do đó $P(Y = 5) = e^{-15} \frac{15^5}{5!} \approx 0,008$

c) $P(X \geq 1) =1 - P (X=0)$
$=1-e^{-5}=1-0,00674= 0,99326$

$P$(Trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút có ít nhất 1 lần gọi)
$P$(Phút thứ 1 có $\geq$ 1 lần gọi, Phút thứ 2 có $\geq$ 1 lần gọi, Phút thứ 3 có $\geq$ 1 lần gọi) = (Do tính độc lập và cùng $\cong$ Poisson với $\lambda = 5$, nên)
$= P(X \geq 1) P(X \geq 1) P(X \geq 1) = 0,99326^3 = 0,9799$
:::

#### Bài 11
:::info
Trung bình trong một phút có 2 xe ô tô qua cầu.
a) Tính xác suất để trong vòng 5 phút có 9 xe qua cầu.
b) Tính xác suất để trong vòng $t$ phút có ít nhất một xe ô tô qua cầu. Xác định $t$ để xác suất này $\geq 0,95$.
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
a) Gọi $X$ là số xe ô tô qua cầu trong vòng 5 phút.
$X \cong$ Poisson với $\lambda = 10$
Do đó $P(X=9) = e^{-10} \frac{10^9}{9!} \approx 0,458$

b) Gọi $Y$ là số xe ô tô qua cầu trong vòng $t$ phút.
$Y \cong$ Poisson với $\lambda = 2t$
Do đó $P(Y \geq 1) = 1 - P(Y=0) = 1 - e^{-2t} \geq 0,95$
Suy ra $2t > 3 \Rightarrow t > 1,5$
:::

#### Bài 12
:::info
Một máy tính cá nhân có thời gian sống (thời gian máy làm việc liên tục cho đến lúc hỏng) tuân theo luật mũ với tham số $\lambda = 0,2$ (đơn vị tính thời gian là năm).
a) Thời gian sống trung bình của máy tính là bao nhiêu năm?
b) Nếu thời gian bảo hành là 1 năm thì tỷ lệ các máy tính phải đưa đến trạm bảo hành là bao nhiêu %?
:::

:::success
:::spoiler :key: **Lời giải**
a) Thời gian sống trung bình của máy tính trên là $\frac1{0.2} = 5$ năm.

b) Tỷ lệ máy tính phải đưa đến trạm bảo hành là xác suất để máy bị hỏng trước 1 năm.
Do đó:
$P$(Thời gian sống < 1 năm) $= F(1) = 1 - e^{-0,2.1} =1 - 0,8187 = 0,1813 =18,13\%$
:::

### Bài tập tự luyện
#### Bài 1
:::info
Cơ quan mua về 15 chiếc máy tính cá nhân, trong đó có 4 chiếc bị khuyết tật. Phòng Z được phân cho 6 chiếc và họ đã nhận một cách ngẫu nhiên 6 chiếc đem về. Gọi X là số chiếc không bị khuyết tật mà phòng Z nhận được.
a) Lập bảng phân phối xs của bnn X.
b) Viết biểu thức hàm phân phối của X
c) Tìm $EX$, $DX$, $ModX$, $\mu X$, $P(3 < X \leq 5,4)$
:::

#### Bài 2
:::info
Một xạ thủ dùng 5 viên đạn để thử súng. Anh ta bắn từng viên vào bia với xs trúng tâm là 0,95. Nếu có 2 viên liên tiếp trúng tâm thì thôi không bắn nữa. Gọi Y là số đạn còn thừa đem về
:::

#### Bài 3
:::info
Cho hai bnn rời rạc, độc lập $X$ và $Y$ với bảng phân phối xs như sau:
a) Hãy lập bảng phân phối xs của các bnn:
$5X$, $X^2$, $X+Y$, $XY$, $X-2Y$, $min(X,Y)$, $max(X,Y)$.
b) Viết biểu thức hàm phân phối của bnn $X + Y$.
c) Tính $E(X+Y)$, $D(X+Y)$, $Mod(X+Y)$, $\mu(X-2Y)$ và $P(-2,1 < X-2Y \leq 3,6)$.
:::

#### Bài 4
:::info
Ta có hai hộp bi. Hộp I có 3 bi trắng và 1 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ra 2 viên bi bỏ vào hộp II đã có sẵn 2 bì trắng và 2 bi đỏ. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên từ hộp II ra 2 bi bỏ vào hộp 1.
Gọi X và Y là số bi trắng ở hộp I và hộp II sau hai lần chuyển bi như trên. Lập bảng phân phối xs của X và Y.
:::

#### Bài 5
:::info
Có 10 lọ hoá chất, trong đó có 4 lọ tốt và 6 lọ kém. Nếu dùng lọ tốt thì thí nghiệm đạt kết quả tốt với xác suất 0,9. Nếu dùng lọ hoá chất kém thì thí nghiệm đạt kết quả tốt với xác suất 0,5.
a) Lấy ngẫu nhiên một lọ hoá chất để làm thí nghiệm và thấy thí nghiệm đạt kết quả tốt. Tìm xác suất để lọ đem sử dụng thuộc loại tốt.
b) Lấy 5 lọ đem sử dụng. Số lọ tốt có khả năng nhất là bao nhiêu?
c) Giả sử kho nhiều vô hạn và tỷ lệ lọ tốt là $p$. Người ta lấy lần lượt từng lọ đem sử dụng cho đến khi thí nghiệm đạt kết quả tốt thì ngừng lại. Tìm phân phối xác suất và số trung bình các lọ đã đem ra sử dụng.
:::

#### Bài 6
:::info
Tuổi thọ của một loài côn trùng nào đó là một đại lượng ngẫu nhiên X (đơn vị đo là tháng) với hàm mật độ như sau:

a) Tìm hằng số $C$ và vẽ đồ thị của $p(x)$.
b) Tìm $modX$, $EX$, $DX$.
c) Tính xác suất để côn trùng chết trước khi nó được 1 tháng tuổi.
:::

#### Bài 10
:::info
Biến ngẫu nhiên $X$ nhận giá trị tập trung trong $[-\frac \pi 2;\frac \pi 2]$ với hàm mật độ có dạng $p(x) = C\ cosx$.
a) Xác định hằng số $C$.
b) Viết biểu thức hàm phân phối của $X$.
c) Tìm $P(0 \leq X \leq \frac \pi 4)$, $EX$, $modX$, $\mu X$, $x_\frac34$.
d) Nếu quan sát bnn $X$ 5 lần thì có bao nhiêu lần $X$ nhận giá trị trong $[0; \frac \pi 4]$ là có khả năng cao nhất? Tính xác suất đó.
:::

#### Bài 11
:::info
Biến ngẫu nhiên $Y$ có phân phối Pareto đặc trưng sự tăng dân số, có hàm phân phối sau:

trong đó $\alpha > 0$, $x_0 > 0$.
a) Tìm mật độ của $Y$.
b) Tìm $EY$, $DY$, $\mu Y$, $x_p$.
:::

#### Bài 12
:::info
Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [0,1]. Hãy tìm hàm phân phối và hàm mật độ của các bnn:
a) $Y=3X + 6$
b) $Y = \sqrt X$
e) $Y=X^2$
:::

#### Bài 13
:::info
Tương tự như bài trên nhưng X có phân phối mũ với tham ẩn $\lambda = 1$.
:::

#### Bài 14
:::info
Tìm quy luật phân phối của bnn $Y = min(X; 2,8)$ và bnn $Z = max(X; 2,8)$, trong đó phân phối của X là
a) phân phối của $X+Y$ trong Bài 3.
b) phân phối nhị thức $B(9; p)$
:::

#### Bài 15
:::info
Cho bnn X với bảng phân phối như sau:
$P(X=a_i) = p_i$, với $i = 1,2,....; a_i$ là dãy tăng
a) Lập bảng phân phối xs của bnn $Y=min(X,b)$.
b) Lập bảng phân phối xs của bnn $Z= max(X,b)$, trong đó $b$ là hằng số nào đó.
c) Áp dụng cho trường hợp $X \cong$ Poisson tham ẩn $\lambda$; $b = 5$.
:::

#### Bài 16
:::info
Trong ca làm việc, một máy tự động sản xuất được 100 sản phẩm. Khả năng để một sản phẩm thuộc loại phế phẩm là 0,02. Ta xem quá trình sản xuất các sản phẩm tiến hành độc lập với nhau.
a) Tìm quy luật phân phối xác suất của số phế phẩm trong ca.
b) Trung bình trong ca có bao nhiêu phế phẩm? Xác suất bị số phế phẩm đó.
:::

#### Bài 17
:::info
Một lô đất được tạo rừng hỗn giao bằng cách gieo trực tiếp hạt bổ đề và keo lai. Tỷ lệ hạt mọc thành cây tương ứng với hai loại hạt giống trên là 75% và 60%. Mỗi hố gieo 2 hạt thuộc cùng một loại hạt giống. Qua kiểm kê cho thấy trên 1 ha đang xét có 2000 hố, trong đó 700 hố được gieo từ hạt bồ đề, 1300 hố được gieo từ hạt keo lai. Gọi X là số cây có thể mọc trên một hố.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X cho từng trường hợp sau:
- Khi biết hố đó được gieo từ hạt bồ đề.
- Khi biết hố đó được gieo từ hạt keo lai.
- Khi chưa biết hố đó được gieo từ hạt loài cây nào.

b) Tính số cây mọc bình quân trên một hố, trên một ha tương ứng với ba trường hợp ở câu a).
c) Quan sát ngẫu nhiên một hố thấy không có cây mọc. Thử đoán xem hố đó được gieo từ hạt loài cây nào?
:::

#### Bài 18
:::info
Chiều cao của nam giới đã trưởng thành là đại lượng ngẫu nhiên Z (cm) có phân phối chuẩn N(163; 25).
a) Từ giả thiết đã cho, hãy tính tỷ lệ nam giới trưởng thành cao từ 1,60m đến 1,70m.
b) Chọn ngẫu nhiên một nam giới, tìm xác suất để chọn được nam giới cao trên 1,65m.
c) Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 5 nam giới thì có ít nhất một người cao trên 1,65m.
:::

#### Bài 19
:::info
Cho hai bnn X và Y độc lập, $X \cong N(2; 0,09)$; $Y \cong$ mũ với $\lambda=\frac15$. Tìm
a) $E(-3X + 2Y — 5)$
b) $D(-3X + 2Y - 5)$
c) $E(2X^2- 3Y^2 + 2XY - 3Y + 2X - 3)$
:::

#### Bài 20
:::info
Tỷ lệ mắc bệnh viêm gan truyển nhiễm ở một vùng dân cư ($X\%$) là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ: $p(X) = \frac1{20}$ nếu $15\% < x < 35\%$.
a) Tính tỷ lệ mắc bệnh trung bình.
b) Tính $P_{|X-20| > 8}$
:::

#### Bài 21
:::info
Mỗi người góp vào x đồng, tham gia trò chơi như sau:
Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối, đồng chất, nếu được 2 mặt lục thì được nhận 14 nghìn đồng; nếu được 1 mặt lục thì nhận 4 nghìn đồng.
a) Hỏi x là bao nhiêu để về trung bình trò chơi là vô thưởng vô phạt (không lỗ, không lãi).
b) Cần tối thiểu bao nhiêu người tham gia chơi để tổng số tiển góp vào $\geq$ 14 nghìn đồng?
:::

#### Bài 22
:::info
Tiêm một loại vắc-xin chống toi gà. Khả năng miễn dịch là 80%. Một tổ kiểm tra bắt ngẫu nhiên ra từng con cho đến khi nào gặp con không miễn dịch thì thôi.
a) Mô tả phân phối xác suất của bnn chỉ số gà mà tổ kiểm tra đã bắt ra.
b) Về trung bình tổ phải bắt ra bao nhiêu con gà?
c) Tính xác suất phải bắt không quá 3 con gà.
:::

#### Bài 23
:::info
Gọi X là số người tới trạm điện thoại trong thời gian 5 phút. Giả sử X tuân theo luật phân phối Poisson với $\lambda = 3$. Cho biết $e^{-3} =0,05$.

a) Nói rằng trong 5 phút có 3 người tới trạm điện thoại có đúng không?
b) Tính xác suất để trong 5 phút có không quá 3 người, có từ 2 đến 5 người, có trên 5 người tới trạm điện thoại.
:::

#### Bài 24
:::info
Gọi Y là thời gian nói chuyện điện thoại của khách (đơn vị tính là phút). Giả sử Y tuân theo luật phân phối mũ với $\lambda = \frac13$
a) Giá trị 3 cho ta thông tin gì?
b) Theo luật trên hãy tính tỷ lệ khách hàng nói chuyện điện thoại dưới 3 phút, từ 3 phút đến 10 phút, trên 10 phút.
:::

#### Bài 25
:::info
Tuổi thọ của người là đại lượng ngẫu nhiên có phân
phối mũ với hàm mật độ:

Biết rằng trung bình trong 1000 người có 500 người sống quá 60 tuổi.
a) Tìm giá trị tham số $\lambda$.
b) Một ông năm nay 60 tuổi. Tính xác suất để ông này sống quá 70 tuổi.
c) Gọi T là tuổi thọ đang xét ở trên.

Đặt $A = (T > 70)$; $B = (T > 80)$; C = $(60 < T <70)$.
Tính $P(B \mid A)$, $P(B \mid C)$. Nêu ý nghĩa thực tế của xs tính được.
:::

#### Bài 26
:::info
Trong 1000 trang sách có 100 lỗi in sai.
a) Tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 1 trang sách thấy không bị lỗi nào.
b) Tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 1 trang sách có không ít hơn 4 lỗi.
c) Tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 3 trang sách có đúng 2 lỗi.
:::

#### Bài 27
:::info
Tại một nhà máy trung bình một năm có 1,8 vụ tai nạn lao động.
a) Tìm xác suất để trong vòng 5 năm xảy ra nhiều nhất 3 tai nạn.
b) Tìm xác suất để trong 5 năm liên tiếp, mỗi năm xảy ra nhiều nhất 1 tai nạn.
:::

#### Bài 28
:::info
Một chi tiết được tiện với bán kính quy định là R = 1 cm.
Giả sử bán kính của các chi tiết sản phẩm là bnn chuẩn. Tìm độ lệch tiêu chuẩn của các bán kính chi tiết sản phẩm sao cho với xác suất 0,90 bán kính chi tiết sản xuất ra lệch khỏi mức quy định không quá 0,01cm (thường được gọi là dung sai).
:::

#### Bài 29
:::info
Khi sản xuất một loại bi, người ta kiểm tra chất lượng như sau: Nếu viên bi không lọt qua lỗ có đường kính $d_1$ nhưng lọt qua lỗ có đường kính $d_2$ ($d_1<d_2$) thì viên bi đó được coi là đạt yêu cầu; nếu không thoả mãn một trong các điều kiện đó thì bi bị coi là phế phẩm. Biết rằng đường kính của viên bi là bnn có phân phối chuẩn với kỳ vọng là $\frac{d_1+d_2}2$ và độ lệch tiêu chuẩn bằng $\frac{d_2 — d_1}4$.
Hãy tính tỷ lệ bi bị phế phẩm của phân xưởng sản xuất.
:::