# MMGF20

1. Räkna ut differentialen till $f(x,y) = x + y^2$ i $(a,b)=(1,2)$

Differentialen $df_a$:
$$
f(a+h)\approx f(a) + df_a(h)
$$

$$
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx+\frac{\partial f}{\partial x} dy
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = 1
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = 4
$$

$$
df(1,2) = dx + 4 dy
$$

---

2) Hitta alla lokala max och min för $f(x,y) = x^3+y^3-3xy$.

Då något specifikt område inte är givet så söker vi över hela definitionsmängden till $f$, vilket i det här fallet är $\mathbb{R}^2$. Då $f$ är differentierbar är gradienten nödvändigtvis noll(-vektorn) i alla lokala max och min.

(max/min) -> $\nabla f=0$, men inte tvärtom.

$$
\nabla f(x,y) = (3x^2-3y, 3y^2-3x) = (0,0)
$$

Detta ger följande ekvationssystem

\begin{cases}
3x^2-3y &= 0 \\
3y^2-3x &= 0
\end{cases}

vilket efter lite förenklingar ger

\begin{cases}
x^2 &= y \\
y^2 &= x.
\end{cases}

I vanliga fall är det viktigt att vara lite försiktig när vi har kvadrater i uttryck, men här går allt bra. Substitutionen $y=x^2$ ger i den andra ekvationen
$$
x^4 = x \\
x^4 - x = 0 \\
x^3(x-1) = 0
$$
så $x=y=0$ eller $x=y=1$ är de enda möjliga lösningarna.

För att avgöra karaktären behöver kan vi kika på Taylorpolynomet av grad 2.

$$
f''_{xx} = 6x \\
f''_{xy} = -3 \\
f''_{yy} = 6y
$$

Vi får att $f$ i närheten av $(0,0)$
$$
f(x,y) \approx f(0,0) + \underbrace{\frac{1}{2}\left(0x^2 -6xy + 0y^2\right)} = 0 \underbrace{-3xy}
$$
Vi ser att andragradstermen i polynomet ovan antar både positiva och negativa värden så $(0,0)$ är en sadelpunkt.

För $(1,1)$ har vi
$$
f(x,y) \approx f(1,1) + \frac{1}{2}\left(6x^2 -6xy + 6y^2\right) = -1 + 3x^2 -3xy + 3y^2\\
= -1 + 3((x-y/2)^2 - y^2/4 + y^2) = -1 + 3(x-y/2)^2 + 9y^2/4
$$
Då $3(x-y/2)^2 + 9y^2/4 > 0$ är $(1,1)$ ett lokalt minima!

---

3) Avgör karaktären på $h^2+2k^2+l^2+4hk+2hl-kl$.

Detta är en kvadratisk form i 3 variabler. Ska avgöra om alltid pos/neg eller både. Kvadratkomplettering ger

$$
h^2+2k^2+l^2+4hk+2hl-kl \\
\underbrace{h^2 + 4hk + 2hl} + 2k^2+l^2-kl \\
((h + 2k + l)^2 -4k^2 -l^2 -4kl) + 2k^2+l^2-kl \\
(h + 2k + l)^2 -2k^2 -5kl \\
$$

Nu, om $h=-2k-l$ och $k,l>0$ så försvinner parantesen och vi är kvar med något negativt. Om $k = l = 0$ och $h = 1$ så har vi något positivt. Den är alltså indefinit!