# Linear Algebra（線性代數）
### Linear transformation（線性/線性轉換）
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我們試以函數觀念來探討兩個向量空間V與W之間的對應關係，假設V、W是Vector Space（向量空間），定義一個函數$T:V \rightarrow W$（指的是V這個向量會對應到W這個向量）。

在前面的章節我們知道Vector Space 的形式不拘於多項式、矩陣、向量…，因此我們在探討上述$T:V \rightarrow W$ 時可以試著考慮這些不同形式的空間向量。

常見的形式如：
* Let $V={\mathbb{R}}^2,W={P_3({\mathbb{R}})},T:{\mathbb{R}}^2 \rightarrow {P_3}({\mathbb{R}})$

> $Definition\;of\;linear\;transformastion$
> $令V,W\;be\;vector\;spaces(over\;Field\;F).\;$若$\forall\;x,y \in V$ 且$c \in F。$，在滿足以下條件的情況，我們稱$T:V\rightarrow W$是一個線姓轉換（linear transformation form V to W），
> $(i) T(x)+T(y)=T(x+y)$
> $(ii)T(cx)=cT(x)$

而我們通常利用linear衍伸出來的四個性質，來檢驗$T是否為linear$。

1. $if\;T\;is\;linear,\;then\;T(0)=0.$
2. $T\;is\;linear\;if\;and\;only\;if\;T(cx+y)=cT(x)+T(y),\forall x,y \;\in V\;and\;c \in F.$
3. $若T是linear，則T(x-y)=T(x)-T(y)\; \forall x,y \in V.$
4. $T\;is\;linear\;if\;and\;only\;if,for\;x_1,x_2...,x_n \in V\;and\;a_1,a_2,...,a_n \in V.$

我們通常會利用第二個性質來檢驗題目給予的transformation是否為linear。

$EX2:$
$T: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3\;defined\;byT(a_1,a_2)=(a_1+a_2,0,2a_1-a_2)$
$(i)先簡單判斷一下這個向量空間的轉換關係，是否為linear（先猜想）$
我認為因為從$\mathbb{R}^2$到$\mathbb{R}^3$的轉換過程，他只涉及純量與向量的加法運算以及0，所以我認為$T$應為$linear$.

$(ii)嘗試證明$
$Let\;X=(a_1,a_2)\;and\;X \in V,c\in F.$
$\Rightarrow cX=(ca_1,ca_2)$,
$\Rightarrow T(cX)=(ca_1+ca_2,c0,2ca_1-ca_2)=(c(a_1+a_2),c0,c(2a_1-a_2))$
$\because我們知道可以提出向量中每個element的相同純量c，使得(ca_1,ca_2)=c(a1,a2)$
$\therefore (c(a_1+a_2),c0,c(2a_1-a_2))=c(a_1+a_2,0,2a_1-a_2),and\;We\;know\;(a_1+a_2,0,2a_1-a_2)=T(a_1,a_2)=T(X)$
$\Rightarrow T(cX)=cT(X)$
$Hence:T\;is\;linear.$

$EX:4$
$T:M_{2\times 3}(F)\rightarrow M_{2\times 2}(F),defined\;by\;:$
$\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2a_{11}-a_{12}&a_{13}+2a_{12}\\0&0
\end{pmatrix}$
$(i)稍微觀察一下這組函數由M_{2\times 3}對應到M_{2\times 2}，有什麼特徵?或者能以什麼方式推演?$
$(ii)Let\;A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}
\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}
b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}\;and\;let\;c\in F.$
$And\;we\;let\;A,B\;both\;are\;matrix$

$\Rightarrow T(cA+B)=T(\begin{pmatrix}ca_{11}+b_{11}&ca_{12}+b_{12}&ca_{13}+b_{13}\\ca_{21}+b_{21}&ca_{22}+b_{22}&ca_{23}+b_{23}\end{pmatrix})$
$\qquad\qquad\qquad\;=\begin{pmatrix}2(ca_{11}+b_{11})-(ca_{12}+b_{12})&(ca_{13}+b_{13})+2(ca_{12}+b_{12})\\0&0\end{pmatrix}$
$\qquad\qquad\qquad\;=\begin{pmatrix}c(2a_{11}-a_{12})+(2b_{11}-b_{12})&c(a_{13}+2a_{12})+(b_{13}+2b_{12})\\0&0\end{pmatrix}$
$\qquad\qquad\qquad\;=c\begin{pmatrix}
2a_{11}-a_{12}&a_{13}+2a_{12}\\0&0
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2b_{11}-b_{12}&b_{13}+2b_{12}\\0&0
\end{pmatrix}$
$\qquad\qquad\qquad\;=cT(A)+T(B)$
$Hence:T是一個linear.(原題需另外計算(compute)N(T)以及R(T)，並且證明T是one to one或者onto)$

### 直角坐標上的性質
1. $rotation\;by\;\theta$
2. $Definition\;T:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R^2}\;by\;T(a_1,a_2)=(a_1,-a_2).$
$\because (a_1,a_2)是 (a_1,a_2)沿著y=0的鉛直線作鏡射，$
$\therefore 表示這個T的函數對應關係，就是將V中的element沿著x軸作鏡射，又稱作xreflection\;about\;the\;x-axis$
1. $Definition\;T:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R^2}\;by\;T(a_1,a_2)=(a_1,0).We\;call\;T\;is\;the\;projection on the x-axis$

### null space & range

假設$T:V\rightarrow W\;is\;a\;linear$，在這裡我們很好奇在$V$射到$W$的這個線性轉換當中關係當中，在$V$中的所有能使$T(x)=0$的這些$x$所成的集合長什麼樣子？

因此我們有了定義，並且以$N(T)$來表示：
> $Definitions$
> $null\;space\;of\;T=N(T)=\{x\in V|\;T(x)=0\}$

假定$T:V\rightarrow W\;is\;a\;linear$，我們也定義了$range\;R(T)$來表示所有在被射到的元素$T(x),x\in V所成的集合，稱作T的值域。$

於是我們有了兩個相關的定義與定理：
> $Definitions$
> $Range\;of\;T=R(T)=\{T(x):x\in V\}$
>
> $Theorem$
> $假定V,W是個向量空間，且T:V\rightarrow W 是linear.\;$
> $\Rightarrow N(T)and\;R(T)分別是V,W的subspaces.$
>
> 此$Theorem$的證明可參考課本P.68的講述。

### nullity and rank and dim
另外，在這邊我們要建立兩個概念、或者稱作為想法。其一是「基底$(通常以\beta表示)$」。在向量空間當中的基底（basis）是一個特殊的子集合，這個基底的元素又稱作基向量。向量空間的任一個元素都可以唯一的表示成基向量的線性組合。

另一個我們需要建構的概念是$span$，我們會以$span$來描述一個由特定向量所能生成的空間。有了這兩個定義，我們可以衍伸用以表示R(T)。

> $Theorem$
> $令V,W是vector\;space，且假設T:V\rightarrow W是linear。$
> $If\;\beta=\{v_1,v_2,v_3,...,v_n\}是V向量空間的一個基底，則我們可得出：R(T)=span(T(\beta))=span(\{T(v_1),T(v_2),T(v_3),...,T(v_n)\}).$

$EX:10$
$Define\;the\;linear\;transformation\;T:P_2(\mathbb{R})\rightarrow M_{2\times2}\;by$
$T(f(x))=\begin{pmatrix} f(1)-f(2)&0\\0&f(0) \end{pmatrix}$

1. 我們令$\beta=\{1,x,x^2\}$是$P_2(\mathbb{R})$的一組基底(basis)。
2. $R(T)=span(T(\beta))=span(\{T(1),T(x),T(x^2)\})$
$=span(\{\begin{pmatrix}0&0\\ 0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3&0\\ 0&0\end{pmatrix}\})$
$=span(\{\begin{pmatrix}0&0\\ 0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&0\end{pmatrix}\})$
$\because \begin{pmatrix}-3&0\\ 0&0\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&0\end{pmatrix}$
3. 所以我們得出了$R(T)，並且得知dim(R(T))=2$

> $Definition$
> $令V和W是向量空間，並且令T:V\rightarrow W是linear$
> $若N(T)和R(T)是有限維度的，那麼我們定義nullity(T)以及rank(T)用以表示其各自分別的維度。$
> * $dim(range(T))=dim(R(T))=rank(T)$
> * $dim(rull space(T))=dim(N(T))=nullity(T)$

> $Dimention Theorem$
> $令V,W是向量空間，且T:V\rightarrow W是linear，若V$

R(T)
N(T)
rank(T)=dim(R(T))
(T)=dim(R(T))

2022109(三)