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title: 保底強化模型
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# 保底強化模型

## 命題
給定固定強化成功率x與固定保底值T，求成功強化的期望次數

### 保底強化模型規則
1. 強化成功率 $\in [0,1)$ 
2. 強化失敗幸運值+1
3. 幸運值超過保底值強化成功

## 解題

### 無保底模型
$E_v = \frac{1}{x}$
#### 證明
$$\begin{align}
E_v &= x + 2x(1-x)+...+nx(1-x)^{n-1} \cr
(1-x)E_v &= x(1-x)+2x(1-x)^2+...+(n-1)x(1-x)^{n-1}\quad\quad\quad\quad\quad \cr
xE_v &= x+x(1-x)+2x(1-x)^2+...= x \frac{1}{1-(1-x)} = 1\cr 
E_v &= \frac{1}{x} \cr
\end{align}$$

### 保底模型
期望值=T次內期望值+T*(1-T次內成功機率)

$E_v=\frac{1-(1-x)^T (1+Tx)}{x}+T(1-x)^T$

### 數值展示
| T\x  | 10%   | 20%  | 30%  | 40%  | 50%  | 60%  | 70%  | 80%  | 90%  | 100% |
|------|-------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| 2    | 1.90  | 1.80 | 1.70 | 1.60 | 1.50 | 1.40 | 1.30 | 1.20 | 1.10 | 1.00 |
| 3    | 2.71  | 2.44 | 2.19 | 1.96 | 1.75 | 1.56 | 1.39 | 1.24 | 1.11 | 1.00 |
| 4    | 3.44  | 2.95 | 2.53 | 2.18 | 1.88 | 1.62 | 1.42 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 5    | 4.10  | 3.36 | 2.77 | 2.31 | 1.94 | 1.65 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 6    | 4.69  | 3.69 | 2.94 | 2.38 | 1.97 | 1.66 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 7    | 5.22  | 3.95 | 3.06 | 2.43 | 1.98 | 1.66 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 8    | 5.70  | 4.16 | 3.14 | 2.46 | 1.99 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 9    | 6.13  | 4.33 | 3.20 | 2.47 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 10   | 6.51  | 4.46 | 3.24 | 2.48 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 11   | 6.86  | 4.57 | 3.27 | 2.49 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 12   | 7.18  | 4.66 | 3.29 | 2.49 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 13   | 7.46  | 4.73 | 3.30 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 14   | 7.71  | 4.78 | 3.31 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 15   | 7.94  | 4.82 | 3.32 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 16   | 8.15  | 4.86 | 3.32 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 17   | 8.33  | 4.89 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 18   | 8.50  | 4.91 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 19   | 8.65  | 4.93 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 20   | 8.78  | 4.94 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 無限 | 10.00 | 5.00 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |