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# 保底強化模型

## 命題
給定固定強化成功率x與固定保底值T，求成功強化的期望次數

### 保底強化模型規則
1. 強化成功率 $\in [0,1)$
2. 強化失敗幸運值+1
3. 幸運值超過保底值強化成功

## 解題

### 無保底模型
$E_v = \frac{1}{x}$
#### 證明
$$\begin{align}
E_v &= x + 2x(1-x)+...+nx(1-x)^{n-1} \cr
(1-x)E_v &= x(1-x)+2x(1-x)^2+...+(n-1)x(1-x)^{n-1}\quad\quad\quad\quad\quad \cr
xE_v &= x+x(1-x)+2x(1-x)^2+...= x \frac{1}{1-(1-x)} = 1\cr
E_v &= \frac{1}{x} \cr
\end{align}$$

### 保底模型
期望值=T次內期望值+T*(1-T次內成功機率)

$E_v=\frac{1-(1-x)^T (1+Tx)}{x}+T(1-x)^T$

### 數值展示
| T\x | 10% | 20% | 30% | 40% | 50% | 60% | 70% | 80% | 90% | 100% |
|------|-------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| 2 | 1.90 | 1.80 | 1.70 | 1.60 | 1.50 | 1.40 | 1.30 | 1.20 | 1.10 | 1.00 |
| 3 | 2.71 | 2.44 | 2.19 | 1.96 | 1.75 | 1.56 | 1.39 | 1.24 | 1.11 | 1.00 |
| 4 | 3.44 | 2.95 | 2.53 | 2.18 | 1.88 | 1.62 | 1.42 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 5 | 4.10 | 3.36 | 2.77 | 2.31 | 1.94 | 1.65 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 6 | 4.69 | 3.69 | 2.94 | 2.38 | 1.97 | 1.66 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 7 | 5.22 | 3.95 | 3.06 | 2.43 | 1.98 | 1.66 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 8 | 5.70 | 4.16 | 3.14 | 2.46 | 1.99 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 9 | 6.13 | 4.33 | 3.20 | 2.47 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 10 | 6.51 | 4.46 | 3.24 | 2.48 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 11 | 6.86 | 4.57 | 3.27 | 2.49 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 12 | 7.18 | 4.66 | 3.29 | 2.49 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 13 | 7.46 | 4.73 | 3.30 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 14 | 7.71 | 4.78 | 3.31 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 15 | 7.94 | 4.82 | 3.32 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 16 | 8.15 | 4.86 | 3.32 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 17 | 8.33 | 4.89 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 18 | 8.50 | 4.91 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 19 | 8.65 | 4.93 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 20 | 8.78 | 4.94 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |
| 無限 | 10.00 | 5.00 | 3.33 | 2.50 | 2.00 | 1.67 | 1.43 | 1.25 | 1.11 | 1.00 |