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# 百家樂數學原理

## 總情況數

### 一般算法
$P^{416}_6 = 416 \times 415\times 414 \times 413 \times 412\times 411 =4,998,398,275,503,360$

### 考慮對稱性算法
$C^{416}_2 \times C^{414}_2 \times C^{412}_1 \times C^{411}_1 = 1,249,599,568,875,840$

## 數學精確解

### 八副牌數學討論
項目|牌型組合|機率
---|---:|---:
莊家贏|2292252566437890|45.86%
閒家贏|2230518282592250|44.62%
和局|475627426473216|9.52%
總和|4998398275503360|100%

### 一般開獎機制
B = Banker Win
P = Player Win
T = Tie
項目|機率|Pay_B|RTP_B|Pay_P|RTP_P|Pay_T|RTP_T
---|---|---|---|---|---|---|---
莊家贏|45.86%|1.95|89.43%|0|0.00%|0|0.00%
閒家贏|44.62%|0|0.00%|2|89.24%|0|0.00%
和局|9.52%|1|9.52%|1|9.52%|9|85.68%
總和|100.00%||98.95%||98.76%||85.68%

## Monte Carlo Simulation

- montecarlo_simulation 9h11m53.510047012s
- measure_time = 100000000000
- deck Num = 8

idx|WinZone|Count|Prob|公平賠率|公告賠率|小數賠率|RTP
---|---|---|---|---|---|---|---
1|BankerWin|45859785072|45.86%|2.180559718|0.95|1.95|98.94%
2|PlayerWin|44624639676|44.62%|2.240914453|1|2|98.76%
3|Tie|9515575252|9.52%|10.50908614|8|9|85.64%
4|Big|62113178012|62.11%|1.609964314|0.54|1.54|95.65%
5|Small|37886821988|37.89%|2.639440173|1.5|2.5|94.72%
6|Pair|14939970113|14.94%|6.693453818|5|6|89.64%
7|BankerPair|7469925747|7.47%|13.38701393|11|12|89.64%
8|PlayerPair|7470044366|7.47%|13.38680135|11|12|89.64%
9|PerfectPair|3345108073|3.35%|29.89440037|25|26|86.97%
10|Total|100000000000|100.00%

## 控制開獎機制

控制時，若此局盤口的profit為負值時
洗回牌堆從新發牌，已達成控制效力

### 控制效力情境分析
- 控制機制單純，且隨機
- 下注分布極端的例子，如只有一個下注點有下注項目時，效力最大
- 下注分布分散的例子，如只有下注點都有其期望下注時，效力最小
- 因此遊戲原生RTP已經夠高，故僅做咬的控制

#### 單一下注莊家的情境
RTP = 54.89%
WinZone | Prob
----------|-------------
BankerWin | 21.03%
PlayerWin | 65.08%
Tie | 13.87%

#### 單一下注閒家的情境
RTP = 53.59%
WinZone | Prob
----------|-------------
BankerWin | 66.32%
PlayerWin | 19.91%
Tie | 13.76%

#### 單一下注其他點的情境
WinZone | Prob | RTP
------------|--------|-------
Tie | 0.90% | 8.14%
Big | 38.58% | 59.41%
Small | 14.35% | 35.88%
Pair | 2.23% | 13.39%
BankerPair | 0.55% | 6.69%
PlayerPair | 0.55% | 6.69%
PerfectPair | 0.11% | 2.90%

### 機器人模擬下注