## Filtering and Filter Design

數位濾波器的核心運做是透過以下操作實現：

* 乘法-累加運算（MAC）：
將輸入信號的當前或過去的取樣值與濾波係數相乘，並累加結果。

* 延遲（Delay）：
延遲信號的過去取樣值，用於實現濾波器的時間記憶性。

數位濾波器有兩種主要的演算法，Finite Impulse Response (FIR) 和 Infinite Impulse Response (IIR)，通常對於許多應用，FIR濾波器會是優先選擇的，因為他們更穩定且可以容易地被限制來實現線性相位響應。

### FIR Filters

FIR濾波器會以脈衝響應作為輸入訊號，並且可以用數學表示為：

$$ y(k) = \sum_{n=0}^{N-1} h_n x(k-n)$$

$x是輸入訊號，k是樣本索引，h_n是脈衝響應的係數$

FIR $濾波器的輸出信號 y(k) 是輸入信號 x(k) 與濾波器脈衝響應 h 的卷積結果。$

脈衝響應 是濾波器在時域中的描述，表示當濾波器輸入一個單位脈衝信號時的輸出結果。

當濾波器與信號卷積時，脈衝響應的形狀決定了濾波器對不同頻率分量的增益或衰減

脈衝響應是時域的特徵，而濾波器的主要作用（如衰減高頻或低頻）通常體現在頻率域。

單看脈衝響應的形狀，很難準確地判斷濾波器對各頻率的影響


圖中的兩個脈衝響應分別對高頻和低頻進行衰減，但僅靠時域的點值分佈，很難確定它們的頻率響應（如通帶、阻帶和衰減幅度）。

因此脈衝響應是反映在時域，而濾波器的設計則是考慮在頻率方面的應用，因此我們會選擇考慮**頻率響應**。

### 頻率響應

過濾器通常分為四個不同的頻率響應：低通，高通，帶通和帶阻，表示過濾器允許“通過”未更改的頻率，以及哪些頻率被衰減。


### 濾波器特徵

#### 大小響應(Magnitude Response)

濾波器的大小響應通常由三個特徵描述，Passband Ripple,Stopband Attenuation 跟 Transition Bandwidth，以下圖的高通濾波器為例：


* Passband Ripple:
* 描述濾波器在通帶內的幅值變化（波動）幅度。
* 理想情況下，通帶內的增益應該完全平坦（不隨頻率變化），但實際中會有小的波動。
* 波動越大，通帶內信號失真的可能性越高。

* Stopband Attenuation
* 描述濾波器在阻帶內的最大增益（抑制信號的能力）。
* 理想情況下，阻帶的增益應為$-∞dB$，但實際中只能達到有限的衰減值。

* Transition Bandwidth

* 指從通帶到阻帶之間的頻率範圍（過渡區域）。
* 理想情況下，濾波器應該在通帶結束後立即進入阻帶（即過渡區域寬度為 0），但實際中需要一定的過渡寬度。

理想的濾波器應該要是0 passband ripple,無限大 stopband attenuation 以及 無限小的transition bandwidth，如下圖所示：


不幸的是，不可能實現理想的過濾器，因此我們必須在過濾器設計過程中做出一些妥協。提高過濾器質量的一種方法是增加濾波器長度(濾波器係數)。

#### 相位響應 (Phase Response)

對於某些應用，濾波器的相位響應也是同樣重要的因素，濾波器會更改通過他的任何信號的相位。根據率逼氣的設計，濾波器將在不同頻率下有不同量的變化。而且，由於相位變化是時間的延遲，因此他不會影響訊號的大小響應，而是時域中的訊號。

相位的變化在音訊應用中，人耳是難以去感受到變化的，但在無線傳輸中使用相位來表示訊號就有可能導致訊息失真。

對於相位敏感的應用，FIR濾波器是首選的，因為它們很容易限制以實現線性相位響應。如果濾波器表現出線性相為，則意味著相對於每個頻率的相位變化以恆定速率（即線性）變化。相反，對於非線性相濾波器，相移在頻率之間不會恆定，因此會扭曲通過過濾器的時域信號的形狀。

FIR 濾波器可以輕鬆設計為具有線性相位，這是它的重要特性之一。
* 如果 FIR 濾波器的脈衝響應（Impulse Response）滿足特定的對稱性，則它的相位響應為線性。
* 根據對稱性的不同，可以將線性相位 FIR 濾波器分為四種類型。


每種線性相濾波器類型都有自己的特徵，用於各種應用。通常，I型和II型是最常用的。 I型過濾器（奇數係數和對稱性）是最通用的，可用於低通，高通，帶通和帶擋響應。 II型濾波器（甚至係數和對稱的數量）更具限制性，在大多數情況下，只有低通響應和帶通響應。

### 濾波器設計思路

我們現在知道了濾波器是什麼以及它的性能指標，現在可以來看看如何設計濾波器以及他的參數，有各種演算法來設計濾波器，我們這邊介紹三種方法，Window Method，Parks-McClellan Algorithm 和 Least Squares Method。

看"04_digital_filter_design"。