# Egzamin licencjacki matematyka

## Analiza

### Indukcja matematyczna, dwumian Newtona

EZ

### Liczby wymierne i niewymierne

EZ

### Ciągi liczbowe, zbieżność

- Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieny
- Trzy ciągi
- Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny

### Szeregi liczbowe, kryteria zbieżności, liczba $e$

- $a_n$ malejący i zbieżny do 0, to $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}a_n < \infty$
- Dirichlet: Jeśli $a_n$ malejący i zbiega do 0, a sumy częściowe $b_n$ są ograniczone, to $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n < \infty$
- $a_n$ monotoniczny i zbieżny, a szereg $\sum_{n=1}^{\infty}b_n<\infty$, to $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n < \infty$
- Zagęszczanie Cauchy'ego: $a_n$ malejący, zbieżny do 0, wtedy $\sum_{n=1}^{\infty} a_n< \infty \iff \sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n} < \infty$
- Kryteria:
Cauchy'ego: $a = \lim_{n} \sqrt[n]{|a_n|}$
d'Alemberta: $a = \lim_{n}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}$
$a < 1$, szereg bezwzględnie zbieżny
$a > 1$, szerego rozbieżny
$a = 1$, nie rozstrzyga
### Funkcje

- Granica funkcji
- ciągłość
- twierdzenie Weierstrassa - funkcja ciągła jest ograniczona i osiąga ekstrema na przedziale domkniętym
- własność Darboux - funkcja ciągła osiąga wszystkie wartości pomiędzy f(a) i f(b) na [a, b]

### Pochodna funkcji

### Szeregi potęgowe, wzór Taylora

### Całka nieoznaczona

### Całka oznaczona

### Całki niewłaściwe

### Funkcje wielu zmiennych

### Całki wielokrotne

## Równania różniczkowe

Pojęcia, fakty: proste zastosowania równań różniczkowych zwyczajnych, równania liniowe drugiego rzędu, układy równań różniczkowych liniowych, metoda przybliżona Eulera

### Równiania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Jednorodne:
$ax''(t) + bx'(t) + cx(t) = 0$
$x(t) = e^{rt}$, $x'(t) = re^{rt}$, $x''(t) = r^2e^{rt}$

Podstawiamy:
$ar^2e^{rt} + bre^{rt} + ce^{rt} = (ar^2+ br+ c) e^{rt} = 0$
Równanie charakterystyczne:
$(ar^2+ br+ c) = 0$
Przypadki:
- $\Delta > 0$ - dwa rózne pierwiastki $r_1, r_2$, $x_1(t) = e^{r_1 t}$, $x_2(t) = e^{r_2 t}$
- $\Delta = 0$ - pierwiastek $r_0$, $x_1(t) = e^{r_0 t}$, $x_2(t) = te^{r_0 t}$
- $\Delta < 0$ - dwa sprzężone pierwiastki zespolone $r_1 = \alpha + \beta i$, $r_2 = \alpha - \beta i$

## Algebra

### Grupy

### Pierścienie

### Ciała

### Przestrzenie liniowe nad $\mathbb{R}$

### Macierze i wyznaczniki, układy równań liniowych

### Przestrzenie euklidesowe

## Rachunek prawdopodobieństwa

### Prawdopodobieństwo z użyciem kombinatoryki
EZ

### Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność

Prawdopodobieństwo warunkowe: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Zdarzenia niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

### Zmienne losowe

### Wartość oczekiwana

### Twierdzenia graniczne

Centralne

## Rozwiązania egzaminów

### 2020
1. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^n\cdot x^{n^2}}{n^{n^2}}
$$
Czy szereg jest zbieżny dla $x=2$ ? A dla $x=3$

$\lim_n{\sqrt[n]{|a_n|}} = \lim_n{\sqrt[n]{\frac{(n!)^n\cdot x^{n^2}}{n^{n^2}}}} = \lim_n{\frac{\sqrt[n]{(n!)^n}\cdot \sqrt[n]{x^{n^2}}}{\sqrt[n]{n^{n^2}}}} = \lim_n{\frac{n! \cdot x^n}{n^n}}$