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tags: ELE-21
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# Resumo - Exame - EES-10

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## Relação entre o diagrama de Nyquist de malha aberta (MA) e o pico de ressonância em malha fechada:


$$
T(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{K.G(s)}{1 + K.G(s)} = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2.\xi.\omega_n.s + \omega_n^2}
$$

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No pico de ressonância: $(0 < \xi < \frac{1}{\sqrt{2}})$

$$
M_r = \frac{1}{2.\xi.\sqrt{1 - \xi^2}}
$$

$$
\omega_r = \omega_n.\sqrt{1 - 2.\xi^2}
$$

$$
M_r \overset{\Delta}{=} \overset{max}{\omega} |T(j.\omega)| = \frac{|K.G(j.\omega)|}{|1 + K.G(j.\omega)|}
$$

Obs.: $|1 + K.G(j.\omega)|$ é a distância de $K.G(s)$ ao ponto crítico $(-1)$ no diagrama de Nyquist.

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- Ganho (dB):

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## Circunferências M:

$$
\begin{cases}
K.G(j.\omega) = x + j.y \\
M = |T(j.\omega)|
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
(x - \frac{M^2}{1-M^2})^2 + y^2 = (\frac{M}{1 - M^2})^2;\space M \neq 1 \\
x = -\frac{1}{2};\space M = 1
\end{cases}
$$

Centro em: $(\frac{M^2}{1 - M^2}, 0)$

Raio: $|\frac{M}{1 - M^2}|$

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Ex: $G(s) = \frac{2}{s.(s + 4)};\space$ <span style="color:green">K=30</span>, <span style="color:red">K = 70</span>


Conclusão: $M_r$ de <span style="color:green">K=30</span> e <span style="color:red">K = 70</span> corresponde, respectivamente, a 2 e 3.

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- Diagrama de Bode de $T(s)$ (malha fechada):


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## Carta de Nichols-Black:

É a resposta em frequência traçada em termos de ganho e fase:


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### Traçado aproximado:

Ex: $G(s) = \frac{100}{s.(s + 10)}$

- Trace o diagrama de Bode (ganho e fase)
- Empregando pontos extraı́dos do diagrama de Bode, trace a resposta em frequência na carta de Nichols-Black


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### Obtendo a margem de fase:

Para o exemplo acima, temos:

- K=1:


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- K=10:


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#### Observação importante:

- A introdução de um atraso $\tau_d$ reduz a fase da planta de $\tau_d.\omega$ radianos, sem alterar o ganho (vide slide 33 da aula 25), com isso, os pontos da carta são transladados de $-\tau_d\omega$ radianos e a margem de fase pode ser recalculada:

$$
PM_{com\space atraso} = PM_{sem\space atraso} - \tau_d.\omega_{cp}
$$

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### Obtendo a margem de ganho:

Ex: $G(s) = \frac{1}{s.(s + 2).(s + 5)}; \space K = 10$


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#### Observação importante:

- Aumentando o ganho K para 10, estamos transladando os pontos correspondentes a K=1 em $+20dB$

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#### “Barreiras” associadas a especificações de GM e PM:


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#### Fim