$%2017/06/12
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\DeclareMathOperator{\vol}{vol}
\DeclareMathOperator\supp{supp}
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# 制御対象
\begin{align}
\dot{x}&=Ax+bu\\
y&=c^Tx
\end{align}

Luenbergerのオブザーバー：
\begin{align}
\dot{\hat{x}}&=F\hat{x}+gy+hu
\end{align}

誤差$\varepsilon:=\hat{x}-x$とすると，誤差システムは以下で得られる．
\begin{align}
\dot{\varepsilon}
=F\hat{x}+gc^Tx+hu-Ax-bu
\end{align}

もし，$gc^T=A-F$かつ$h=b$ならば，
\begin{align}
\dot{\varepsilon}
&=F\hat{x}+(A-F)x-Ax\\
&=F\varepsilon
\end{align}

であり，この解は$\varepsilon(t)=\exp(Ft)\varepsilon(0)$で得られる．すなわち，誤差$\varepsilon:=\hat{x}-x$の収束スピードは$F$の行列で決まる．

$gc^T=A-F$かつ$h=b$を満たすように$g,h$を設計するには，
\begin{align}
g_i&=f_i-a_i\\
h_i&=b_i
\end{align}

がみたされる必要がある．
$f_i$は設計パラメータであるから既知である．
$b_i$も本研究で扱うシステムに対しては既知とみなせる．
その一方で，$a_i$は未知であるため，
$a_i$を推定する機能が必要である．

と，$g$項，$h$項に対応したそれぞれのサブシステムを仮想的につくると，
以下が満たされる．

座標変換に関して議論があり，以下の通り，$\xi_i$は冗長な表現になっていることが指摘されている．

式展開をえて得られる大事な関係式は以下．
観測誤差は，２つの項に分離できる．
また，第１項部分は，オブザーバーの設定値$p$が，$gc^T=A-F$かつ$h=b$を満たすための条件とどれだけズレているのか？で定まる．
それと同時に，第１項は$\xi$部分が$0$に収束していれば，いかにヘッポコな$p=[g^T h^T]^T$の設定であったとしても，状態量推定ができてしまうことも意味している．

#### 記号の使い分け
ハット：パラメータ$p$固定で動かすオブザーバの場合の推定値関係
チルダ：パラメータ$p$を適応制御で時々刻々と変更していく状況下におけるオブザーバの推定値関係
# 可観測可観測正準形を作ろう

以下のシステムを考える．
\begin{align}
\dot{x}=
\begin{bmatrix}
0&1\\
-a_1&-a_2
\end{bmatrix}
x
+
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}
u
\end{align}
#### 変形例１
$\tilde{x}=(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2)=(-a_1x_1,x_2)$とすると，
\begin{align}
\dot{\tilde{x}}
=\begin{bmatrix}
-a_1x_2\\
-a_1x_1-a_2x_2+u
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-a_1\tilde{x}_2\\
\tilde{x}_1 - a_2\tilde{x}_2+u
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0 &-a_1\\
1 &-a_2
\end{bmatrix}
\tilde{x}
+
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}
u
\end{align}
#### 変形例2
$\tilde{x}=(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2)=(Ax_1+Bx_2,x_2)$とすると，
$Ax_1=\tilde{x}_1-Bx_2$より$(x_1,x_2)=(\frac{1}{A}\tilde{x}_1-\frac{B}{A}\tilde{x}_2,\tilde{x}_2)$だから，
\begin{align}
\dot{\tilde{x}}
&=\begin{bmatrix}
A\dot{x}_1+B\dot{x}_2\\
\dot{x}_2
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
Ax_2+B(-a_1x_1-a_2x_2+u)\\
-a_1x_1-a_2x_2+u
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
A\tilde{x}_2
+B(-a_1(\frac{1}{A}\tilde{x}_1-\frac{B}{A}\tilde{x}_2)-a_2\tilde{x}_2+u)\\
-a_1(\frac{1}{A}\tilde{x}_1-\frac{B}{A}\tilde{x}_2)
-a_2\tilde{x}_2+u
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
A\tilde{x}_2
-(Ba_1\frac{1}{A}\tilde{x}_1-Ba_1\frac{B}{A}\tilde{x}_2)
-Ba_2\tilde{x}_2
+Bu\\
-\frac{a_1}{A}\tilde{x}_1
+(\frac{B}{A}a_1
-a_2)\tilde{x}_2
+u
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
-Ba_1\frac{1}{A}\tilde{x}_1
+(
A
+Ba_1\frac{B}{A}
-Ba_2
)\tilde{x}_2
+Bu\\
-\frac{a_1}{A}\tilde{x}_1
+(\frac{B}{A}a_1
-a_2)\tilde{x}_2
+u
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
-\frac{B}{A}a_1
&A+a_1\frac{B^2}{A}-Ba_2\\
-\frac{a_1}{A} &\frac{B}{A}a_1
-a_2
\end{bmatrix}
\tilde{x}
+
\begin{bmatrix}
B\\1
\end{bmatrix}
u
\end{align}

あとは，以下を満たすように$A,B$を設定すればよい
\begin{align}
A+a_1\frac{B^2}{A}-Ba_2&=1\\
\frac{B}{A}a_1-a_2&=0
\end{align}

$A=1$,$B=a_2/a_1$とすると，上記は満たされる．

以上をまとめると，
$\tilde{x}=(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2)=(x_1+\frac{a_2}{a_1}x_2,x_2)$とすると，

\begin{align}
\dot{\tilde{x}}
&=\begin{bmatrix}
-a_2
&1\\
-a_1 &0
\end{bmatrix}
\tilde{x}
+
\begin{bmatrix}
\frac{a_2}{a_1}\\1
\end{bmatrix}
u
\end{align}

となって，論文の形式に落とすことができて．．．いない．（C行列部分があっていない）
$\tilde{x}=(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2)=(x_1,Ax_1+Bx_2)$としてとくとよいようだ．