### 7.1
### b)
#### Beweis
Seien $A, B$ beliebige Mengen. Sei $x\in A$. Es bleibt zu zeigen $x \in A\cup B$. Laut der Definition von $\cup$: $x\in A$ oder $x\in B$. Durch den Oder-Beweis folgt $x\in A\cup B$.
Trivial :)

### c)
#### Beweis
$\forall A,B,C : A \subseteq B \rightarrow (B \subseteq C \rightarrow A \subseteq C)$

Nebenbeweis:
$\forall A,B,C : A \subseteq B \rightarrow B \subseteq C \rightarrow A \subseteq C$

### 7.5
### a)
$(a,b)\in \mathbb{N}^2 | a\leq b$
### b)
$(a,b)\in \mathbb{N}^2 | b=a$
### c)
$(a,b)\in \mathbb{N}^2 | a=4 \land \exists k\in \mathbb{N}^*: b=4\cdot k$
### d)
$(a,b,c)\in \mathbb{N}^3 | a+b=c$
### e)
Sei $fib(a)$ die Fibonacci Folge ohne 0.
$(a,b)\in \mathbb{N}^3 | b=fib(a)$

### 7.7

digraph tree {
 
  node [shape=circle]
   1-> 2
   3->4
   1->4
   4->2
   5
}

digraph tree {
 
  node [shape=circle]
   1->1
   2->2
   3->3
   4->4
}

digraph tree {
 
  node [shape=circle]
   1->1
   1->2
   1->3
   1->4
   1->5
   1->6
   2->2
   2->4
   2->6
   3->3
   3->6
   4->4
   5->5
   6->6
   
}

digraph tree {
 
  node [shape=circle]
   1->a
   1->b
   1->c
   2->a
   2->b
   2->c
   3->a
   3->b
   3->c
}

digraph tree {
node [shape=circle]

a->b
b->c
c->d
d->e
}

### 7.8

digraph tree {
 
  node [shape=circle]
   2->1
   4->3
   4->1
   2->4
   5
}

digraph tree {
 
  node [shape=circle]
   1->1
   2->2
   3->3
   4->4
}

digraph tree {
 
  node [shape=circle]
   1->1
   2->1
   3->1
   4->1
   5->1
   6->1
   2->2
   4->2
   6->2
   3->3
   6->3
   4->4
   5->5
   6->6
   
}

digraph tree {
 
  node [shape=circle]
   a->1
   b->1
   c->1
   a->2
   b->2
   c->2
   a->3
   b->3
   c->3
}

digraph tree {
node [shape=circle]

b->a
c->b
d->c
e->d
}

### 7.9

digraph tree {
node [shape=circle]
a1->b1
a1->b2
a2->b3

b3->c1
b2->c2
b3->c2
}

digraph tree {
node [shape=circle]
a1->b2
a2->b4
a3->b4

b4->c4
}

digraph tree {
node [shape=circle]
a11->b22
a12->b21
a12->b31
a31->b41

b12->c34
b32->c11
b22->c23
b31->c44

}

digraph tree {
node [shape=circle]
a1->b0
a2->b1
a3->b2

b0->c1
b1->c2
b2->c3
}

<iframe width="100%" height="500" src="https://webconference.cs.uni-saarland.de/b/fel-r2c-sym-5ia" frameborder="0"></iframe>

# Rip

### 7.10

digraph tree {
node [shape=circle]
    1 -> 2
    2 -> 1
    2 -> 3
}

digraph tree {
node [shape=circle]
    1 -> 1
    2 -> 2
    3 -> 3
}

$R = \{(1,1),(2,1),(1,2),(1,3)\}$

$R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$

### 7.11

#### a)
##### reflexiv
$\forall m_1 \in \{1,2,3\} : (m_1,m_1)\in \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$
$(1,1) \in R \land (2,2) \in R \land (3,3) \in R$
$\top \land \top\land\top$
$\top$

#### b)
##### reflexiv
Beweis durch Widerspruch:
$(4,4) \in R$ müsste gelten. Folglich ist R nicht reflexiv
####

#### c)

digraph tree {
node [shape=circle]
    1 -> 2
    2 -> 3
    3 -> 1
    2 -> 1
    3 -> 2
    1 -> 3
}

##### reflexiv
Beweis durch Widerspruch:
$(1,1) \in R$ müsste gelten. Folglich ist R nicht reflexiv

### 7.13
a)
links-eindeutig (jeder hat genau einen Vater), nicht rechts-eindeutig (Vater kann mehrere Kinder haben), rechts-total, nicht links-total ( jeder genau einen Vater, nicht jeder Vater), irre reflexiv (nicht von sich selbst Vater), antisymmetrisch, nicht transitiv
$\{(x,y) \in Mann~x~Mensch| x~ist~Vater~von~ y\}$
b)
siehe a), aber nicht rechts-total
$\{(x,y) \in Mann~x~Mensch| x~ist~Großvater~von~ y\}$
c)
Äquivalenzrelation (reflexiv,transitiv,symmetrisch)
symmetrisch
nicht rechts, nicht links
$\{(x,y) \in Frau~x~Frau| x~ist~Schwester~von~ y\}$
d)
funktional,
$\{(x,y) \in \mathbb{N}~x~Studenten| x~ist~Matrikelnummer~von~ y\}$
bijektiv
e)
$\{(x,y) \in Studienfach~x~Mensch| x~ist~Studienfach~von~ y\}$
f)
$\{(x,y) \in Mensch~x~Studienfach| x~studiert~y\}$

### 7.17
a)
Quell und Zielmenge 1,2
Wertebereich 1,2
biejtkiv, links-total

b)
Quell und Zielmenge 1,2,3
Wertebereich 1,2,3
bijektiv

### 7.18
a)
ubwagiaowgjpaöjghagoahw3ohöh = w

### 7.19

Äquivalenzrelation

digraph tree {
node [shape=circle]
    1 -> 2
    2 -> 3
    3 -> 1
    2 -> 1
    3 -> 2
    1 -> 3
    1 -> 1
    2 -> 2
    3 -> 3
    1->4
    4->4
    4->1
    3->4
    3->4
    4->2
    2->4
}

Ordnungsrelation:

digraph tree {
node [shape=circle]
    1 -> 2
    2 -> 3
    1 -> 3
    1 -> 1
    2 -> 2
    3 -> 3
    
    4->5
    4->4
    5->5
    4->6
    5->6
    
}

(Wohl/Total-)Ordnung

digraph tree {
node [shape=circle]
    1 -> 2
    2 -> 3
    1 -> 3
    1 -> 1
    2 -> 2
    3 -> 3
    
}

### 7.20
#### a)
$0$, Minimum
#### b)
$NaN SaS$
#### c)
$\emptyset$ Minimum
#### d)
$1$ Minimum
#### e)
$2$,$3$ nicht Minimum

### 7.18
#### b)
$D=\mathbb{N}^+$
$W=\mathbb{N}$

surjektiv, nicht rechtstotal:

Widerspruch:
$\exists m_2 \in \mathbb{N}: (0,m_2) \in R \equiv \bot$

$\forall a\in \mathbb{N} : \exists b \in \mathbb{N}: (a,b)\in R$
allinstanzierung
$\exists b \in \mathbb{N}: (\dot{a},b)\in R$
$\exists b \in \mathbb{N}: (\dot{a},a+1)\in R$
QED
*q.e.d*

### 7.19
#### c)
$D=\mathbb{N}$
$W=\mathbb{N}$

Bijektion

:small_airplane: :house: $\rightarrow$ :boom: pew bumm pew $\rightarrow$ :movie_camera: $\land$ :gun: $\equiv$ :flag-us: FUCK YEAH

### 7.22
##### Beweis durch Gegenbeispiel
6-1=5
1-6!=5

### 7.23
Seien A und B beliebige, aber feste Mengen.
$A\subseteq B$ entspricht $\forall x\in A:x\in B$.
Reflexiv:
$A\subseteq A$
$\forall x\in A:x\in A$ ist trivialerweise wahr.

Antissymmetrisch:
$\forall A,B: (A,B) \in R \land (B,A) \in R \rightarrow A = B$
$\forall A,B: A\subseteq B \land B\subseteq A \rightarrow A = B$
Implikationsbeweis:
Nach Def. 24 ist dies wahr (Def mit Definierbarkeit umschreiben, dann Und Anw)

Transitiv:
Sei C eine beliebige aber feste Menge.
$A\subseteq B \land B\subseteq C \rightarrow A \subseteq C$

### 7.24
$5-5<1$
$1-5<5$

$(5,1)\in R$
$(1,5)\in R$
-> Gegenbeispiel für Antisymmetrie
-> $\neg$Ordnungsrelation

### 7.26
a)$x^3= y$
b)$y=|x-5|$
c)$y=x$
d)$x=y$
e)Wenn diese Abbildung existert gilt : $\forall (a,b),(b,c)\in R:(a,c)$
Somit ist dies aber nichtmehr funktional
f)$x=y$
g)$x=y$

### 7.14
{(1,2),(1,3)}
{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}
--> falsch

digraph tree {
node [shape=circle]
    1 -> 2
    1 -> 3
}

digraph tree {
node [shape=circle]
    1 -> 2
    2 -> 1
    1 -> 3
    3 -> 1
}

### 404 :heart:
Warum Windows kein Virus ist
1.
Einen Virus kriegt man umsonst.
2.
Ein Virus tut etwas.
3.
Ein Virus braucht keine 2 Minuten zum Laden
4.
Kein Virus-Programmier fordert einen zur Onlineregistrierung auf.
5.
Ein Virus installiert sich selbst.
6.
Jedes ordentliche Antivirenprogramm kann ihn restlos von der Platte entfernen.
7.
Virus-Programmierer behaupten nicht, ihr Virus läuft nicht ohne eingebauten WEB-Browser
8.
Es hat noch kein Virus-Programmierer versucht, die Monopolstellung bei der Virusherstellung zu erreichen.
9.
Ein Virus läuft auch mit weniger als 8 GB RAM
## -> Und deswegen ist MacOS das beste Betriebssystem :apple: :iphone: :computer:

[no](https://i.kym-cdn.com/photos/images/newsfeed/001/100/634/ded.jpg)
## Richard Stallman ist bae <3 fsf

### 7.15

a) {(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)}
b) {(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3)}
c) {(1,2),(2,1),(2,3),(1,1),(2,2),(3,3),(3,2),(1,3),(3,1)}
d) {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)}
e) {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(4,1),(1,4),(4,3),(3,4)}

### 7.16

$\emptyset$

### 7.3
Für alle $x \in A$ ist $x$ durch $A=B$ auch Element in $B$. Somit existiert kein $x \in A$, das nicht Element in $B$ ist, woraus folgt, dass $A \subseteq B$.

b)
Nach Def 24 im Skript ist diese Aussage wahr (Mengengleichheit).
$\rightarrow$ trivial
c)
a) SeienA,B,C beliebige Mengen.
⊆: Seix∈A∩(B∩C)beliebig.
Mit der Definition von n folgt:x∈Aundx∈B∩C.
Also x∈Bund x∈C.
Wegen x∈A und x∈B gilt auch x∈A∩B und wegen x∈C folglich auch x∈(A∩B)∩C.

⊇: Seix∈(A∩B)∩Cbeliebig. Mit der Definition von∩folgt:x∈A∩Bundx∈C. Also x∈A undx∈B. Wegen x∈B und x∈C gilt auch x∈B∩C und wegen x∈A folglich auch x∈A∩(B∩C)

### 7.4
Existenzbeweis:
$A=\empyset$
Allinstanzierung
$\emptyset \cup \dot{B} = \emptyset$
Nach Dominanz:
$\emptyset = \emptyset$