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# 2022/09/10回予習

> 定理5.2.34
> $G/N$ は演算 $G/N\times G/N \ni (gN, hN) \to ghN \in G/N$ で群になる。

単位元 $1_GN = N$ が単位元
結合法則 $((gN)(hN))(kN) = (ghN)(kN) = ghkN$, $(gN)((hN)(kN)) = (gN)(hkN) = ghkN$ より成立
逆元 $\forall g\in G, g^{-1}\in G, (gN)(g^{-1}N) = gg^{-1}N = N$ より $gN$ の逆元は $g^{-1}N$

> 命題 5.2.36

> 命題 5.2.38

> 定理 5.2.39

**メモ**: $G, G/\operatorname{Ker}(\varphi), H$ の図を書いて、剰余類($\operatorname{Ker}(\varphi)$ の違いは無視してひとまとめにするまとまり)にまとめてから $H$ に移しても、そのまま $H$ に移しても同じというように捉えると理解できた。

**? 疑問**: well-definedを示す必要があるのはどういうシーン？
例えば今回は、well-definedを示す必要があるのは、$\psi(gN)$ が複数の対象を経由するから。($gN$ としてどれを取っても値が一つに定まることを言う必要がある)

> 定理 5.2.40

**? 疑問**: $H=\pi(K)$ とおいて、 $K = \pi^{-1}(H)$ を示しているが、これを丁寧に示しているのがよく分からない。$K = \pi^{-1}(H)$ は直ちに言えないのか？

以下は直ちに成り立つといえるか？(直ちにと言うのは曖昧なのであまり良くない疑問の持ち方かも)

> $\pi\colon G\to G/N$ を自然な準同型とする。$G$ の $N$ を含む部分群 $K$ について、 $H=\pi(K)$ とおくと、 $K=\pi^{-1}(H)$ である。

> 命題 5.2.41

**? 疑問**: 2段落目の準同型定理5.2.39を適用するところがよく分からない。 $H\to G/N$ の像が $h\in H, hN$ の形まで理解できて、 $hN$ の集まりが $HN/N$ になるというステップが理解できてない。
**? 疑問**: 核が　$H\cap N$ も理解できてない。

> 命題 5.2.42