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# 2022/09/03復習 (kaito)

## 内容

- **Prop.1 雪江整数論 命題 5.2.27** 準同型の合成
- **Prop.2 雪江整数論 命題 5.2.27** 同型の合成
- **Prop.3 雪江整数論 演習問題 5.2.14** 正規部分群と $N_1N_2$
- **Prop.4** 正規部分群と部分群
- **Prop.5 宿題** $H_1H_2$が部分群をなすための必要十分条件
- **Prop.6** $\varphi$を群の準同型とする。$\operatorname{Ker}(\varphi)$ が正規部分群
- **Prop.7 雪江整数論 定理 5.2.39** 準同型定理 第一同型定理

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- $G$: 群

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> **Prop.1 (雪江整数論 命題 5.2.27)** 準同型の合成
> 準同型 $f\colon G_1 \to G_2$, $g\colon G_2 \to G_3$ について、 $g\circ f$ は $G_1$ から $G_3$ への準同型である。

**Proof**. $\forall x,y\in G_1$, $f(xy) = f(x)f(y)$. $f(x), f(y)\in G_2$より、 $g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y))$. よって、 $(g\circ f)(xy) = (g\circ f)(x)(g\circ f)(y)$. $\Box$

**メモ**:

- もし$f(x) \notin G_2$ なら $g(f(x))$ は存在しないので $g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y))$ の変形ができない。
- $(g\circ f)$ のかっこは必要らしい？がなぜか分からず(はっきり合成であることを明示したい？)

> **Prop.2 雪江整数論 命題 5.2.27** 同型の合成
> 同型 $f\colon G_1 \to G_2$, $g\colon G_2 \to G_3$ について、 $g\circ f$ は $G_1$ から $G_3$ への同型である。

**Proof**. $f, g$ は準同型でもあるのでProp.1より $g\circ f$ は準同型。 $f, g$ はそれぞれ全単射であるから、 $g\circ f$ も全単射。したがって $g\circ f$ は同型。 $\Box$

証明の流れとして Prop.4 が先に来るので先に示す。

**雪江整数 定義 5.2.29 正規部分群** $H$ を群 $G$ の部分群とする。すべての $g\in G, h\in H$ に対し $ghg^{-1} \in H$ となるとき、 $H$ を $G$ の正規部分群といい、 $H\triangleleft G$ あるいは $G\triangleright H$ と書く。

> **Prop.4** 正規部分群と部分群
> $N_1, N_2$ を群 $G$ の正規部分群とする。$N_1N_2 := \lbrace n_1n_2 \mid n_1\in N_1, n_2\in N_2 \rbrace$ とする。 $N_1N_2$ は $G$ の部分群。

**Proof**. $n_1\in N_1, n_2\in N_2$について、$n_1, n_2\in G$, $n_1n_2\in G$. $N_1N_2\subset G$
$N_1N_2$ が $G$ の部分集合であるから、以下を示せば良い。
(1) $1_G\in N_1N_2$
(2) $\forall x,y\in N_1N_2$, $xy\in N_1N_2$
(3) $\forall x\in N_1N_2$, $x^{-1}\in N_1N_2$

(1) $1\in N_1, 1\in N_2$, $1 \in N_1N_2$

(2) $\forall n_1, n'_1\in N_1, \forall n_2, n'_2 \in N_2$ について $n_1n_2\in N_1N_2, n'_1n'_2\in N_1N_2$であり、結合法則を用いて $(n_1n_2)(n'_1n'_2) = n_1(n_2n'_1)n'_2$.
ここで、$n_2N_1 = N_1n_2$ より、 $\exists n\in N_1, n_2n_1 = nn_2$. よって $n_1(n_2n'_1)n'_2 = n_1(nn_2)n'_2 = (n_1n)(n_2n'_2)$. $n_1n \in N_1, n_2n'_2\in N_2$, $(n_1n_2)(n'_1n'_2)\in N_1N_2$

(3) $\forall n_1\in N_1, \forall n_2\in N_2, (n_1n_2)^{-1} = n_2^{-1}n_1^{-1}\in n_2^{-1}N_1$. $n_2^{-1}N_1 = N_1n_2^{-1}$ より、 $\exists n\in N_1, n_2^{-1}n_1^{-1} = nn_2^{-1}$. (ここで $n = n_2^{-1}n_1^{-1}n_2$ より $n$ は一意に定まる) よって、 $(n_1n_2)^{-1} = nn_2^{-1} \in N_1N_2$

以上で(1)~(3)が示せた $\Box$

**メモ**:

- 雪江整数論 命題 5.2.14 (p.109) に群の部分集合が部分群となる必要十分条件が書いてある
- 結合法則は群だから使える？と思ったが、結合法則は $G$ で成り立っていて、同じ演算を使っているため、 $G$ の部分集合でも結合法則が成り立つので良い。
- ある $n$ だけだと複数ある可能性がある。$n$ は一つに定まることに言及して、逆元がただ一つ存在することを言っておく

> **Prop.3 雪江整数論 演習問題 5.2.14** 正規部分群と $N_1N_2$
> $N_1, N_2$ が群 $G$ の正規部分群ならば、 $N_1N_2$ も $G$ の正規部分群

**Proof**. Prop.4より $N_1N_2$ は $G$ の部分群。 $N_1, N_2$ が正規部分群であるから、 $\forall g\in G, \forall n_1\in N_1, \forall n_2\in N_2$, $gn_1g^{-1}\in N_1, gn_2g^{-1}\in N_2$ が成り立つ。(ここで、 $g$ は $N_1, N_2$ で同じものをとっている。) $N_1N_2$ の定義から、 $(gn_1g^{-1})(gn_2g^{-1})\in N_1N_2$, $gn_1n_2g^{-1}\in N_1N_2$. ここで $n_1n_2$ は $N_1N_2$ の任意の元であるから、正規部分群であることが言えた。 $\Box$

> **Prop.5 宿題** $H_1H_2$が部分群をなすための必要十分条件
> $G$を群, $H_1$, $H_2$を $G$ の部分群とする. このとき$H_1H_2$が $G$ の部分群をなすための必要十分条件は$H_1H_2 = H_2H_1$である.

**Proof.**
**必要条件 ($\implies$)**: $\forall h_1\in H_1, \forall h_2\in H_2, h_1^{-1}h_2^{-1}\in H_1H_2$. その逆元をとり、 $(h_1^{-1}h_2^{-1})^{-1} = h_2h_1 \in H_1H_2$. $h_2h_1$ は明らかに $H_2H_1$ の元であるから、 $H_1H_2\subset H_2H_1$.
同様にして、 $\forall h_1\in H_1, \forall h_2\in H_2, h_2^{-1}h_1^{-1}\in H_2H_1$. その逆元をとり、 $(h_2^{-1}h_1^{-1})^{-1} = h_1h_2 \in H_2H_1$. $h_1h_2$ は明らかに $H_1H_2$ の元であるから、 $H_2H_1\subset H_1H_2$. 以上で $H_1H_2 = H_2H_1$

**十分条件　($\impliedby$)**: $H_1, H_2$ は $G$ の部分群であるから、 $1\in H_1, 1\in H_2$, $1\in H_1H_2$. より $G$ の単位元が $H_1H_2$ に含まれる。

$\forall h_1, h'_1\in H_1, \forall h_2, h'_2\in H_2, (h_1h_2)(h'_1h'_2) = h_1(h_2h'_1)h'_2$. ここで、 $H_1H_2 = H_2H_1$ より $\exists h\in H_1, \exists h'\in H_2, h_2h'_1 = hh'$. したがって $h_1(h_2h'_1)h'_2 = h_1(hh')h'_2 \ (h_1h)(h'h'_2)\in H_1H_2$. 演算は閉じていることが言えた。

$\forall h_1\in H_1, \forall h_2\in H_2, (h_1h_2)^{-1} = h_2^{-1}h_1^{-1} \in H_2H_1 = H_1H_2$ より逆元の存在が言えた。 $\Box$

> **Prop.6** $\varphi$を群の準同型とする。$\operatorname{Ker}(\varphi)$ が正規部分群
> $\varphi\colon G_1\to G_2$を群の準同型であるとする. このとき, $\operatorname{Ker}(\varphi)$は$G_1$の正規部分群.

**Proof.** まず、$\operatorname{Ker}(\varphi)$ が $G_1$ の部分群であることを示す。 $\varphi (1) = 1$ より単位元が含まれ、 $\varphi (xy) = \varphi (x) \varphi (y) =1$ より演算が閉じていて、 $\varphi (x^{-1}) = \varphi (x)^{-1} = 1$ から逆元も含まれる。以上で $\operatorname{Ker}(\varphi)$ は $G_1$ の部分群であることが言えた。

続いて、 $\forall g\in G_1, \forall n\in \operatorname{Ker}(\varphi), gng^{-1}\in \operatorname{Ker}(\varphi)$ を示す。 $\varphi(gng^{-1}) = \varphi(g)\varphi(n)\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)\varphi(g)^{-1} = 1$ より $gng^{-1}\in \operatorname{Ker}(\varphi)$. $\Box$

> **Prop.7 雪江整数論 定理 5.2.39** 準同型定理 第一同型定理
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