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title: 6 – MODELLAZIONE DI PROCESSI E SEGNALI
tags: Misure
info: dal video 30-09 minuto Inizio fino al video 01-10 minuto 1h:04
description: Blocco slide 6
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# MODELLAZIONE DI PROCESSI E SEGNALI

Il processo è la realizzazione fisica del sistema (il sistema è l'astrazione). Nel processo c'è una sensoristica che permette di misurare quello che sta avvenendo nel processo. Il processo deve poter essere attuato altrimenti è inutile (se misuro ma non ho automatismo non serve a niente).
Le tecniche di rilevamento guasti basate sul modello fanno una copia del processo basata sul modello. La copia deve avere l'informazione che ha il modello, più la copia è vicina al vero più la tecnica sarà robusta. Come sempre però, più il modello sarà complicato e più sarà difficile trattarlo.
Trade off tra complessità del modello e verosimiglianza del modello.
Al modello si danno gli stessi ingressi che vengono dati al sistema reale e il modello deve conoscere le stesse uscite del sistema reale per fare un confronto.
Dal modello vengono generati i segnali diagnostici (blocco Generazione segnale nel disegno) che saranno qualcosa che ha a che fare con i parametri, gli stati o il residuo (che è la differenza tra l'uscita del modello e quella misurata dal sensore del sistema reale).
Quindi, il compito è quello di ottenere un segnale diagnostico.
<s> Dopo che ho il segnale diagnostico, faccio il confronto tra il segnale e la soglia di riferimento. </s>
Cerco di capire, con un algoritmo di change detection (blocco Individuazione cambiamento), se il segnale diagnostico nel comportamento normale (Fault free) sta cambiando oppure no, e in uscita si avrà il sintomo che rappresenta qualcosa all'interno del segnale diagnostico che non va come dovrebbe.

Per attuare questo schema serve conoscere 3 cose:
- Modello del processo
- Generazione delle feature diagnostiche a partire dal modello
- Algoritmi di change detection: confrontare i valori ottenuti con altri valori del comportamento nominale (in assenza di guasti) che rappresentano il funzionamento corretto del sistema.

## Rappresentare un sistema
Si riprende lo schema di prima ma si mettono tutti gli attuatori e i sensori dentro.

### Approccio basato su modello

Matematicamente sarà descritto da una o più equazioni:
$y(t)=f[u(t), u'(t), ... , u^n(t), y'(t), ... ,y^m(t)]$
Questa funzione ha come argomento gli ingressi e tutte le sue derivate e le uscite e tutte le sue derivate.
Un sistema SISO ha un ingresso e un'uscita. La funzione sopra è non lineare e un sistema generico è intrinsicamente non lineare in quanto lo dobbiamo modellare noi.
La linearità è un'approssimazione della realtà.

Per questo, si fa un'**approssimazione lineare** degli ingressi e delle uscite (equazione differenziale ordinaria (ODE)). È una funzione lineare di tutte le combinazioni lineari delle derivate delle uscite e combinazione degli ingressi con tutte le loro derivate.


Successivamente, si fa un'altra approssimazione in quanto i coefficiente nella realtà sono tempo varianti (quindi sono difficili da modellare) e otteniamo un'approssimazione **tempo invariante**.


**Otteniamo così un sistema lineare a tempo invariante (LTI).**

Qualunque sistema reale può essere modellato con un sistema LTI.
Il sistema LTI si risolve con la trasformata di Laplace, che mappa un problema differenziale in un problema di natura algebrica.
Alcune tecniche che vedremo sono in Laplace (funzione di trasferimento) e alcune sono in spazio di stato.

### Rappresentazione mediante la funzione di trasferimento


La proprietà importante è la trasformata di Laplace della funzione derivata n-esima.
<s>Le condizioni iniziali sono nulle solo se consideriamo il sistema FERMO. </s>
Le condizioni iniziali sono nulle perché le considero come dei riferimenti; sono dei punti da cui poi vado a confrontare tutto il resto. L'approssimazione lineare mi fa vedere gli scostamenti rispetto alle condizioni iniziali e tipicamente le assumo nulle. Quindi, nella pratica, questa approssimazione va bene quando il sistema è fermo.
Grazie a questa ipotesi la trasformata diventa: $s^nF(s)$.

Applicandola al modello LTI diventa:

Raccogliendo tutto e dividendo la trasformata di Laplace dell'uscita con la trasformata di Laplace dell'ingresso (a condizioni iniziali nulle) si ha la seguente **funzione di trasferimento (FdT)**:


**Spazio di stato**
Qualunque equazione differenziale ordinaria di ordine $n$ può essere scritta come sistema di $n$ equazione ordinarie del primo ordine:

A è la matrice di transizione dello stato, mappa la dinamica del sistema.
B mappa gli ingressi con gli stati.
C mappa gli stati con le uscite.

Di solito si considera D nulla perchè il sistema viene considerato causale: qualunque variazione dell'ingresso non perturba direttamente l'uscita ma perturba lo stato e l'uscita, in quanto combinazione degli stati, è a sua volta perturbata. In pratica, qualunque cosa entra nel mio sistema, prima di avere un effetto in uscita, dovrà passare per la dinamica del sistema. (non posso perturbare il sistema e vedere istantaneamente l'effetto in uscita)

Di queste formule (ODE, Funzione di trasferimento, Spazio di stato) cambia soltanto la rappresentazione.

La rappresentazione in funzione di trasferimento richiede condizioni iniziali nulle, mentre esistono infinite rappresentazione con lo spazio di stato, in quanto c'è un margine di libertà nel modo in cui viene scelto lo stato.

Vediamo un esempio della derivata di secondo ordine (nella pratica si usa molto spesso la derivata seconda perché è l'accelerazione e i sistemi meccanici costruiti dall'uomo applicano delle forze su qualcosa ($F=ma$)) nella FDT e Spazio di stato nella Equazione di moto di un Accelerometro:
$\ddot{y}(t)+2\alpha\dot{y}(t)+\omega_o^2y(t)=u(t)$

https://i.imgur.com/X94me05.jpg

**FdT**:

**Spazio di Stato**:



Lo stato in questo caso l'ho scelto io in quanto nel modello ho messo $x_2(t)=x_1'(t)= y'(t)$. In base al vincolo che io scelgo cambia la rappresentazione. Scelgo quella con il minor numero di stati

### Modelli per i guasti

- Come visto nelle precedenti lezioni, il fault viene definito come una deviazione non permessa di almeno una proprietà caratteristica o parametro (feature) del sistema dalla condizione accettabile/usuale/tipica.

- Se tale proprietà caratteristica è parte di una legge fisica nella forma di un’equazione

$y(t)= g[u(t),x(t),\theta (t)]$

e le misure di u(t) e y(t) sono disponibili, allora essa si può esprimere a sua volta o come una variabile di ingresso, di uscita, uno stato (tipicamente variabile nel tempo) o un parametro (tipicamente costante).
- I fault possono quindi vedersi come variazioni di segnali e/o parametri.
- Sono classificati tipicamente in base al loro andamento temporale (improvvisi, lenti o discontinui) o in base al modo in cui appaiono nel sistema (additivi o moltiplicativi).

## Classificazione dei guasti
### In base all'andamento temporale

I guasti si possono classificare in base al loro andamento temporale come
- **abrupt fault** (guasti improvvisi con andamento a gradino). Sono più facili da individuare ma con il metodo dei residui non si vedono perchè si deve fare la derivata (del gradino = 0);
- **incipient fault** (guasti lenti con andamento a rampa);
- **intermittent fault** (guasti con andamento intermittente nel tempo).

### In base a come compaiono
I guasti si possono classificare in base a come compaiono nel sistema:
- **guasti additivi**, per i quali il cambiamento subito dalla variabile ad opera del fault, è indipendente da ogni altro segnale. I sensori sono sensibili ai guasti additivi;
- l'uscita è pari a ciò che entra in ingresso al canale più il guasto (offset su un sensore).
- **guasti moltiplicativi**, per i quali il cambiamento subito dalla variabile ad opera del fault dipende dall’ingresso. Gli attuatori sono sensibili ai guasti moltiplicativi;
- il fault moltiplica un altro segnale di ingresso

*a sinistra è additivo e a destra è moltiplicativo*

È più semplice verificare un guasto additivo, in quanto quello moltiplicativo dipende fortemente dall'ingresso e quindi, se ho un piccolo ingresso, il guasto non viene visto (guasto moltiplicativo: motore dei droni che fanno meno forza a causa dell'usura).

#### Esempio di guasto: sensore


Uso il modello statico in questo caso perché lavoro con i sensori. Ipotizzo che sono talmente veloci che assumo istante per istante che il sistema è a regime, il modello statico è del tipo $y=cu$, si è esaurito tutto il transitorio, l'uscita è una qualche variazione dell'ingresso.
Per la parte dinamica si usa la funzione di trasferimento. I sensori e i sistemi elettro-meccanici sono approssimati come equazioni del primo o del secondo ordine, quindi la FdT avrà **uno o due poli**.


Un guasto moltiplicativo in un sistema di primo ordine agisce con una modifica nel guadagno o nella costante tempo. Può variare la $K$ (il guadagno = quanto il sistema attenua o amplifica ciò che ha in ingresso), oppure la costante tempo, che rappresenta quanto velocemente il sistema reagisce a ciò che viene dato in ingresso.
Nel caso di un guasto addittivo si aggiunge un offset a margine del sensore.

<span style="color: green">**La figura successiva non l'ha letta**</span>

## Modelli per processi
Quando modelliamo i processi ne abbiamo di due tipi: teorici o sperimentali
>**Modelli teorici**: il modello è costruito con le leggi fisico/matematiche dei principi fisici coinvolti nel processo. (es. $f=ma$)

Ad esempio con:
- equazioni di bilanciamento massa energia,
- equazioni costitutive (fisico-chimiche),
- equazioni fenomenologiche per processi irreversibili (conduzione termica, diffusione,reazioni chimiche, ecc.)
- equazioni di bilancio dell’entropia (sempre per processi irreversibili)
- equazioni di connessione (serie, parallelo, retroazione, ecc ...).

Qualcosa di quantitativo che è regolato da delle leggi

>**Modelli sperimentali**: il modello è costruito a partire dalle misure delle variabili di processo (identificazione).

Ad esempio con
- coppie ingresso-uscita,
- modelli parametrici.

Non assumo niente di noto del modello. Il modello è accessibile in ingresso e in uscita; vario l'ingresso per guardare l'uscita e cerco sperimentalmente una relazione funzionale che lega ingressi e uscite. A questo modo di operare ci si riferisce con il termine Identificazione del processo.


- **White-box models** sono modelli teorici, ovvero a scatola bianca, cioè posso aprirli e vedere che cosa c'è dentro. Cononsco le leggi fisiche ma i parametri sono sconosciuti. (es. $f=ma$, $m$ va calcolata)
- **Black-box models** sono quelli sperimentali: si utilizzano reti neurali e le risposte impulsive per cercare qualche relazione nei segnali.

<span style="color: green">**Gli altri due tipi non ne parla**</span>

- I modelli teorici sono detti di tipo white-box, mentre quelli sperimentali sono detti di tipo black-box.
- La modellazione teorica e quella sperimentale sono tra loro complementari.
- La modellazione teorica contiene la descrizione funzionale tra i dati fisici del processo e i suoi parametri: è pertanto consigliata se il processo deve essere progettato facendo attenzione al comportamento dinamico o se il processo deve essere simulato prima dello sviluppo.
- La modellazione sperimentale contiene parametri che sono valori numerici la cui relazione funzionale con i parametri fisici del processo non è nota. Tuttavia, i modelli ottenuti per via sperimentale, sono tipicamente più fedeli oppure possono essere determinati con minore sforzo.
- Nella realtà esistono differenti “sfumature di grigio” tra i due approcci, in base alla conoscenza (parziale del processo) e alla possibilità di misurare (parzialmente) alcune delle variabili del processo.

### Modello di processo statico

Se il processo è statico (nella prima formula dell'immagine sotto, l'uscita è la somma di tanti ingressi dove ogni ingresso ha un esponente) posso considerare anche modelli non lineari.

- La caratteristica statica (di regime) di un processo è di solito descritta da una o più curve caratteristiche ottenute sperimentalmente oppure calcolate da modelli di processo statici.
- Nella maggior parte dei casi le relazioni sono di tipo polinomiale e della seguente forma


Un fault additivo è una variazione di $\beta_0$ (che non moltiplica l'ingresso). Un fault moltiplicativo è una variazione di un qualunque altro $\beta$ che moltiplica l'ingresso.

### Modello di processo dinamico (continuo)

In un processo dinamico continuo, i fault additivi vanno direttamente in uscita, mentre quelli moltiplicativi sono una variazione dei parametri $a_i$ o $b_j$ della funzione di trasferimento (nella figura la FdT è $G_p(s)$).

- La descrizione generale di un processo dinamico a parametri concentrati è di solito descritta da equazioni differenziali ordinarie di tipo non lineare.
- Se si considerano piccole deviazioni attorno ad un punto operativo (e.g. Y00|U00) allora il comportamento ingresso-uscita può essere descritto da un’equazione differenziale ordinaria:


### Esempio del sistema di primo ordine stabile

- Un sistema lineare del primo ordine con parametri costanti è rappresentato dall’equazione $a_1\dot{y}(t)+y(t)=b_0u(t)+b_1\dot{u}(t)$
<!---  --->
- Il comportamento di regime permanente (derivate nulle) è $y=b_0u$. Vuol dire che la transizione si è annullata, il transitorio ha avuto fine, quindi il sistema non varia più e le derivate le trascuriamo.
- Se si suppongono cambiamenti lenti dei parametri $a_1,b_0,b_1$, le corrispettive variazioni della variabile di uscita possono essere:
$\Delta y(t)=-\Delta a_1\dot{y}(t)$
$\Delta y(t)=\Delta b_1\dot{u}(t)$
$\Delta y(t)=\Delta b_0 {u}(t)$

<!---  --->

- Da queste relazioni si vede chiaramente che **le variazioni del guadagno del processo** ($b_0$, fault additivo) **possono essere viste senza una variazione dell’ingresso** (a patto che lo stesso ingresso sia diverso da zero), mentre le variazioni dei parametri ($a_1,b_1$, fault moltiplicativo) sono rilevabili solo con andamenti non costanti sull’ingresso e sull’uscita.
È difficile trovare i fault moltiplicativi a regime perché l'ingresso deve variare ma, a regime, le derivate degli ingressi sono nulle. I fault additivi li vedo bene anche a regime perché compaiono direttamente sull'uscita.

Nella seguente figura si riporta un esempio di ingresso costante per il sistema e variazioni delle uscite della FdT:

In questo caso l'ingresso non è costante (è a gradino)

Queste due immagini servono per farci capire che se l'ingresso è costante, dall'uscita $Y$ non si può vedere il guasto, mentre quando l'ingresso varia (ad esempio a gradino), si possono vedere sia i fault additivi che quelli moltiplicativi.

### Modello di processo lineare e stazionario

Nella rappresentazione a spazio di stato il guasto additivo si somma direttamente allo stato e all'uscita mentre nel caso moltiplicativo si mappa con una variazione dei coefficienti delle matrici $A,B,C$.


## Analisi dei segnali

- I metodi per l’individuazione dei guasti basati su modello del processo utilizzano le relazioni tra diverse variabili misurate per estrarre le informazioni sui possibili cambiamenti causati dai guasti.
- Non sempre, tuttavia, è possibile disporre di un modello del processo: in questi casi è necessario analizzare i segnali che sono acquisiti dal processo.
- Molti processi sono caratterizzati da un comportamento oscillatorio o ciclico (e.g. macchine rotanti, correnti alternate, ecc): i segnali risultanti, pertanto, sono di **natura periodica**.
- Altri processi, invece, sono del tutto casuali (e.g. rumore di attuazione, flussi di turbolenza, attività di una rete di utenti, ecc ): i segnali risultanti, pertanto, sono di **natura stocastica**.
- Sia i segnali periodici, sia i segnali stocastici possono essere utilizzati per individuare guasti se esiste una correlazione tra modifica dell’andamento del segnale e guasto del processo.
- In questa lezione sono riportati alcuni modelli basilari dei segnali che saranno poi utili per le lezioni successive.

### Oscillazioni armoniche


### Modulazione

La modulazione è quando si utilizza un segnale e lo si propaga, facendo variare con l'informazione di quel segnale la grandezza di un altro segnale. Ad esempio, vogliamo trasmettere un segnale A, l'informazione di questo segnale la mettiamo dentro la frequenza (modulazione in frequenza), la fase (modulazione in fase), l'ampiezza (modulazione in ampiezza) del segnale che trasmette l'informazione (segnale portante o portante del segnale).

*è troppo bella quest'immagine per essere tagliata*

Se un guasto cambia il comportamento rotatorio di una macchina, fa una sorta di modulazione in ampiezza.

Un guasto può modulare anche la frequenza o la fase.

### Modulazione Ampiezza
Nell'esempio l'ampiezza sale e scende perchè il segnale che modula è un segnale periodo


### Modulazione Fase


### Modulazione Frequenza

Guardando i log temporali è difficile vedere un guasto che modifica ampiezza, fase o frequenza. L'effetto di un guasto su un segnale ne può cambiare completamente ampiezza, fase e frequenza ma questa informazione non si capisce bene dal log temporale del segnale completo. L'analisi del segnale senza modello si può fare, ma il plot del tempo spesso l'informazione non ce la dà.

## Beating - Battimento

> **Beating**: è il segnale che si crea andando a sommare due oscillazioni di frequenza angolare di differenza ridotta (freq. simile) e con la stessa ampiezza, caratterizzato da un andamento sinusoidale di frequenza pari a $\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$, e ampiezza modulata cosinusodalmente con frequenza $\Delta \omega = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2}$


Se c'è un guasto lo riesco a vedere subito, perchè piccole variazioni mi cambiano completamente il segnale.

### Sovrapposizione e caratteristiche non lineari


Un processo lineare su un'onda, come la modifica? **In ampiezza e fase**, viene amplificata se il sistema è attivo, attenuata se il sitema è passivo è ritardata, **ma non viene modificata la frequenza**.
Se il sistema è non lineare possono essere modificate anche le frequenze.
Lo spettro in frequenza in uscita è una combinazione lineare delle frequenze in ingresso.

### Segnali stocastici tempo continuo

- La serie temporale dei segnali stocastici è del tutto casuale e, pertanto, non può essere descritta in maniera precisa: è tuttavia possibile utilizzare metodi statistici, calcolo delle probabilità e algoritmi di media per calcolare alcune proprietà caratteristiche.
- Sotto le ipotesi di
- segnali stazionari (la loro densità di probabilità è indipendente dal tempo),
- segnali ergodici (la loro media statistica converge a quella temporale per periodi di tempo molto lunghi),

Si possono definire le seguenti proprietà caratteristiche:

L'autocorrelazione mi dice quanto il segnale si ripete uguale a se stesso in un intervallo temporale.


Più la **cross-correlazione** tra due segnali è alta e più i due segnali sono simili.

### Modelli di differenti segnali stocastici e periodici


### Segnali stocastici a tempo discreto
Tutti i segnali e formule che abbiamo visto in realtà le usiamo a tempo discreto


Un guasto su un segnale periodico rumoroso può cambiare valor medio o varianza.

## Domande di riepilogo

- Come possono essere classificati i fault in base al loro andamento temporale?
- I fault possono essere lentamente variabili (incipient) o velocemente variabili (abrupt). Questo dipende non da dove compare nel sistema ma dalla funzione che uso per descriverlo (gradino/rampa).
- Quali sono le differenze tra guasti additivi e moltiplicativi?
- Il guasto additivo si somma direttamente al canale che voglio diagnosticare (tipicamente l'uscita). Generalmente, il guasto additivo genera un offset sulla misura che vado a diagnosticare. Sono facili da individuare anche a regime.
- I guasti moltiplicativi sono propri di uno o piu componenti del sistema, si mappano in una variazione dei parametri che descrivono il sistema. Sono difficili da rilevare perchè richiedono che l'ingresso sia variabile perché a regime tendono a non essere visti.
- Di che natura sono tipicamente i guasti nei sensori? E negli attuatori?
- Nei sensori sono additivi, mentre nei attuatori sono moltiplicativi
- Quali sono i vantaggi/svantaggi dei metodi basati su modello per l’individuazione dei guasti?
- I metodi basati su reti neurali hanno pochi dati di training che fanno riferimento a guasti, (il dataset è molto sbilanciato sulla classe non guasta), e se un guasto non è mai stato visto la tecnica non permette di vederlo.
Il modello è concettualmente opposto: ci dice come dovrebbe funzionare idealmente il sistema. Se ho un comportamento diverso tra quello reale e quello ideale me ne accorgo, quindi posso capire se c'è **un guasto anche se questo** **non si è mai verificato nel sistema**.
Lo svantaggio delle tecniche basate sul modello (anche se sono più potenti) è che richiedono uno sforzo di progettazione maggiore.
- Quali sono i vantaggi dei metodi black-box e quali quelli dei metodi white-box?
- I metodi white-box sono più potenti perché danno l'informazione completa del sistema che stiamo analizzando, però richiedono tanto sforzo a monte perché un sistemista ci deve dare le informazioni corrette.
- Nei black-box non ho la conoscenza delle leggi, ma do l'ingressi che voglio, misuro le uscite ed inferisco la regola.
- Se di un processo non è possibile avere un modello matematico e, pertanto, è necessario avvalersi dell’analisi dei segnali acquisiti, quali proprietà caratteristiche sono tipicamente analizzate per prime?
- Posso fare limit checking oppure uso la teoria dei segnali facendo analisi in frequenza e utilizzo i segnali aleatori con la teoria delle probabilità controllando valor medio e varianza. In generale, si controllano per prime ampiezza, frequenza e fase. Se il segnale è stocastico valor medio, varianza e autocorrelazione.
- Che cosa sono le modulazioni di ampiezza, frequenza e fase? Quali effetti hanno sullo spettro del segnale da valutare?
- Che cos’è il beating?
- Quali sono le differenze principali tra una trasformazione lineare e una trasformazione non lineare applicate ad un segnale periodico? Quali proprietà modifica la prima e quali la seconda?
- Quella non lineare modifica anche la frequenza, quello lineare solo ampiezza e fase.
- Come si caratterizzano i segnali stocastici a tempo continuo? E a tempo discreto?
- Valor medio, varianza, autocorrelazione e cross-correlazione
- L’uso di modelli di segnale per la realizzazione di un sistema di individuazione dei guasti è alternativo a quello dei modelli di processo?
- Sì, posso utilizzare in maniera complementare. Posso utilizzare l'analisi sul modello per scoprire delle informazioni e sul segnale per le altre.

...Esercizi...