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title: 26 - ELEMENTI DI FILTRAGGIO
tags: Misure
description: 1:09:00 Lezione 19 novembre
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### Introduzione alla lezione
L'obiettivo di questa ultima lezione è comprendere come utilizzare i software di filtraggio.

### Introduzione
Le tecniche di individuazione guasti basate su segnale richiedono il filtraggio dello stesso per poter ottenere buoni risultati. Il filtraggio analogico può essere visto come parte integrante del condizionamento del segnale, è sempre richiesto per aumentare il contenuto informativo dei segnali provenienti dai sensori.
Il filtraggio digitale, invece, può essere visto come stadio di elaborazione dei segnali provenienti dai sistemi di acquisizione digitali, e permette di estrarre informazioni utili nel dominio della frequenza.

### Il filtro ideale
La funzione di trasferimento $H(\omega)$ di un filtro ideale possiede le seguenti caratteristiche:
* $H(\omega)$ costante in banda passante e identicamente nullo in banda proibita;
* banda passante e banda proibita sono confinanti;
* < $H(\omega)$ lineare.

Questi filtri non sono causali, quindi possono essere solo approssimati da filtri fisicamente realizzabili.
I filtri si possono distinguere in
* passa basso;
* passa alto;
* passa banda (sovrapposizione di un filtro passa alto con un filtro passa basso).

Noi andremo a vedere nel dettaglio la progettazione del filtro passa-basso, ma gli altri si progettano in modo analogo.


La fase lineare equivale ad imporre che le componenti armoniche nella banda passante sono tutte ritardate della stessa quantità: $$ f(t-t_0) \to F(\omega)e^{-j\omega t_0} $$ con ritardo costante $t_0$ e lineare in $\omega$.
La risposta del filtro ideale è del tipo $\frac{sin(\omega_c t)}{t}$ quindi non causale (risposta impulsiva diversa da zero per $t < 0$)

### Il filtro passa-basso realizzabile
Un filtro realizzabile è caratterizzato da
* $H(\omega)$ non costante in banda passante e non identicamente nullo in banda proibita (con eventuale presenza di ripple nell’una e nell’altra);
* banda passante e banda proibita separati tra loro da una banda di transizione;
* < $H(\omega)$ non lineare.


Da ora in poi ci concentreremo solo sul modulo e non sulla fase, ma bisognerà comunque tenere a mente che **non sarà più lineare come nel caso ideale, ma bensì come rappresentato in figura**.

### Famiglie di filtri causali
Sono riportate di seguito in figura le famiglie di filtri opportunamente parametrizzate e largamente utilizzate in molteplici applicazioni.
Le più importanti sono **Butterworth e Chebyshev**. Quindi, quello che voglio è trovare la risposta in frequenza che soddisfa una maschera che sono andato a definire, cioè voglio che il mio filtro attenui dopo una certa banda e in banda passante faccia passare con un certo errore.

#### Filtro di Butterworth
Costituiscono una famiglia di filtri che soddisfa bene i requisiti in banda passante e meno bene in banda di transizione, e sono tra i filtri più semplici da realizzare.

#### Caratteristiche
* Ha un buon guadagno in banda passante.
* Ha una fase quasi lineare in banda passante.
* La frequenza di taglio $\omega_c$ è indipendente dall’ordine $N$ del filtro.
* L’attenuazione in banda proibita dipende dall’ordine $N$ del filtro.
* È di semplice realizzazione e in fase di progettazione sono a disposizione del progettista 2 gradi di libertà:
* $N$ (ordine del filtro), che determina l’attenuazione in banda proibita.
* $\omega_c$, che determina la pulsazione di taglio.

#### Filtro di Chebyshev
Il filtro di Butterworth ha una funzione guadagno che è monotona decrescente sia in banda passante sia in quella proibita, quindi approssima bene il filtro ideale all’inizio della banda passante e alla fine di quella proibita, male invece alla fine della banda passante e all’inizio di quella oscura. Un modo migliore di approssimazione è quello di “distribuire” l’accuratezza dell’approssimazione uniformemente lungo tutta la banda passante o quella proibita, ad esempio scegliendo un’approssimazione che presenti una oscillazione della stessa ampiezza su tutta la banda passante o quella proibita. Il filtro di Chebyschev ha oscillazioni di ugual ampiezza in banda passante ed è monotono in banda proibita, o viceversa.

Il filtro di Chebyschev, inoltre, è caratterizzato da oscillazioni che in banda passante dipendono solo da $\epsilon$ e hanno tutte la stessa ampiezza e sono contenute nell’intervallo $[\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}, 1]$ indipendentemente dall’ordine $N$ del filtro.

A parità di ordine con un filtro di Butterworth, un filtro di Chebyschev ha:
* banda di transizione più stretta e migliore attenuazione di quello di Butterworth;
* una risposta in fase maggiormente non lineare;
* tre gradi di libertà ($N, \omega_c , \epsilon$) e maggiore complessità realizzativa.

### Filtri passa-alto e passa-banda
* Per realizzare un filtro passa-alto la funzione del filtro è la stessa basta solo scambiare $\frac{\omega}{\omega_c}$ con $\frac{\omega_c}{\omega}$.
* Un passa-banda può essere ottenuto dalla cascata di un filtro passa-basso con taglio $\omega_2$ e un filtro passo-alto con taglio $\omega_1$, con $(\omega_1 < \omega_2)$.

### Note sui filtri digitali
* I filtri digitali che si ottengono con queste tecniche sono Filtri IIR (Infinite Impulse Response), cioè caratterizzati da una risposta di durata infinita.
* Un’altra classe importante di filtri digitali è quella dei Filtri FIR (Finite Impulse Response) che generalmente vengono progettati con metodi “diretti”, dalle specifiche alla funzione di trasferimento in z e quindi alla relativa realizzazione.
* Anche per i Filtri IIR esistono tecniche dirette di sintesi, ma prevalentemente si segue la tecnica di discretizzare un filtro analogico appartenente a “famiglie canoniche e tabellate” di filtri.
* Per l’analisi e la progettazione dei filtri digitali si possono utilizzare i risultati della “Teoria dei Sistemi”, infatti un filtro IIR o FIR è un particolare sistema lineare, stazionario e stabile.

### Procedura per la sintesi diretta di filtri digitali
Risulta essere lo strumento più potente e in grado di ottenere filtri FIR.
La progettazione di un filtro numerico si articola nei seguenti passi:
1) Scelta delle specifiche (es. maschera in frequenza).
2) Individuare la funzione di trasferimento $H(z)$ soddisfacente i requisiti richiesti per il filtro (si passa in $z$ con $z = e^{st}$).
3) Scegliere la struttura tramite la quale implementare la funzione di trasferimento (che ne determina la modalità di esecuzione).
4) Quantizzare i parametri del filtro e verificare le prestazioni del filtro.
5) Verificare la sensibilità della struttura (scelta errori di troncamento/arrotondamento e trabocco, per le implementazioni in virgola fissa).

### Richiami: rappresentazione dei sistemi lineari

* Per l’analisi e la progettazione dei filtri digitali si possono utilizzare i risultati della “Teoria dei Sistemi”, infatti un filtro IIR o FIR (vedremo poi che cosa si intende con tali nomenclature) è un particolare sistema lineare, stazionario, causale e stabile.
* Si possono quindi applicare i risultati sulla realizzazione minima dei sistemi data una funzione di trasferimento (per ottenere la realizzazione più semplice).


### Richiami: nomenclatura
* Due sistemi si dicono compatibili se hanno gli stessi insiemi di ingresso e di uscita.
* Dati due sistemi compatibili, si dice che due stati sono indistinguibili tra di loro se, qualunque sia l’ingresso applicato ai sistemi, le uscite risultanti sono identiche.
* Il significato fisico è che stati indistinguibili portano allo stesso comportamento esterno.
* Due sistemi compatibili si dicono equivalenti se hanno lo stesso comportamento esterno ingresso-uscita.
* Tra le rappresentazioni equivalenti è interessante individuare quelle minimali, cioè rappresentazioni che presentano la minima complessità.
* Per struttura si intende una qualunque combinazione degli elementi base corrispondenti (e.g. sommatore, moltiplicatore, ritardo, ingresso e uscita).
* Data la f.d.t di un sistema (filtro) discreto l’obiettivo è quello di trovare la struttura equivalente.

### Richiami: sistemi a memoria finita
I sistemi a memoria finita sono quelli per i quali la risposta in uscita è indipendente dallo stato iniziale dopo un certo intervallo di tempo finito (i filtri FIR funzionano in questo modo).
I sistemi a memoria finita hanno tutti gli autovalori nulli:

### Richiami: sistemi a memoria infinita
In questi sistemi l’uscita non è mai indipendente dallo stato iniziale; questa dipendenza si perde per tempi molto grandi nei sistemi stabili.
Una classe importante di sistemi a memoria infinita è quella dei sistemi descritti da equazioni alle differenze.

### Richiami: strutture ricorsive e non ricorsive
Sono strutture ricorsive quelle strutture che presentano una retroazione.
Nello specifico si ha che i sistemi FIR (a memoria finita) possono ammettere strutture non ricorsive mentre i sistemi IIR (a memoria infinita) ammettono soltanto strutture ricorsive.
##### struttura non ricorsiva
##### struttura ricorsiva

### Richiami: sintesi (realizzazione) di una funzione di trasferimento
Realizzare una funzione di trasferimento significa trovare una quaterna di matrici A, B, C e D che ne descriva il funzionamento in spazio di stato.
Una funzione di trasferimento è realizzabile con un sistema lineare, stazionario e causale se e solo se è una funzione razionale propria o strettamente propria:

Nota bene: **esistono infinite strutture per rappresentare i filtri, ma si scelgono quelle che contengono meno stati**.
Questo perchè l'aumento degli stati aumenta il numero di ritardi e quindi bisogna cercare di avrene il meno possibile.

### Struttura diretta 1: Infinite Impulse Response (IIR)
Di seguito vedremo due strutture dirette per progettare i filtri IIR.
La struttura diretta 1 dato *m* ordine ha:
* 2*m* + 1 moltiplicatori
* 2*m* ritardi
* 2*m* sommatori

### Struttura diretta 2 (IIR)
La struttura diretta 2 è la preferita quando si va a sintetizzare un filtro di tipo IIR.
A partire dalle strutture canoniche si costruiscono funzioni di trasferimento comunque complesse, ad esempio con la cascata di strutture elementari del 1° o del 2° ordine.
I sottosistemi del 2° ordine sono preferiti in quanto accoppiano poli e zeri complessi coniugati e permettono di avere un'aritmetica con valori reali.

### Sistemi del primo e secondo ordine
In figura di seguito sono mostrati i sistemi per filtri del primo e secondo ordine.
Se devo progettare sistemi di ordine superiore, devo combinare questi sistemi.

### Filtri Finite Impulse Response (FIR)
Può essere ottenuta attraverso la cascata di strutture elementari del 1° e del 2° ordine per avere una realizzazione sempre a coefficienti reali.
Il sistema realizza una media pesata, secondo i valori della risposta impulsiva $h(k), k = 0, 1, . . . , m − 1$, dei più recenti m campioni del segnale, opera cioè come una finestra scorrevole che osserva solo i più recenti M campioni dell’ingresso per produrre l’uscita, dimenticando i campioni precedenti $(x(n−m), x(n−m−1), . . .)$: per questo motivo i sistemi FIR sono anche detti **filtri a media mobile (MA - Moving Average)**.

I filtri FIR presentano vantaggi e svantaggi rispetto ai filtri IIR.
I filtri FIR hanno i seguenti vantaggi principali:
* possono avere una fase esattamente lineare: questo risulta parecchio importante se richiesto nelle specifiche, per esempio uno stereo ha bisogno di non avere alcun tipo di ritardo tra i vari tipi di suoni emessi(bassi, alti, subwoofer, ecc..);
* sono sempre stabili;
* i metodi di progettazione sono generalmente lineari;
* possono essere realizzati in modo efficiente a livello hardware;
* i transitori di avvio del filtro hanno durata finita.

Lo svantaggio principale dei filtri FIR è il tempo necessario per l'esecuzione: essi richiedono un ordine di filtro molto più elevato rispetto ai filtri IIR per ottenere un determinato livello di prestazioni.
Di conseguenza, il ritardo di questi filtri è spesso molto maggiore rispetto a un filtro IIR di eguali prestazioni, e per alcune applicazioni soluzioni FIR potrebbero non essere realizzabili: a parità di di maschera in frequenza richiesta, scegliamo la tipologia IIR per avere un ordine minore.

### Domade di riepilogo
* Descrivere le differenze tra un filtro passa basso ideale e un filtro passa basso fisicamente realizzabile.
* come cambiano le maschere in frequenza?
* Estendere la risposta alla domanda precedente nei casi di filtro passa banda e filtro passa alto (suggerimento: tracciare il diagramma del modulo della risposta in frequenza del filtro e utilizzarlo per descrivere le differenze).
* Elencare quali sono le differenze principali tra la famiglia dei filtri di Butterworth e quella dei filtri di Chebyschev.
* Elencare le diverse tecniche di discretizzazione per realizzare un filtro IIR a partire da un filtro analogico, mettendo in luce vantaggi e svantaggi di ogni soluzione.
* Descrivere i passi principali per la sintesi diretta di un filtro digitale.
* Quali sono le differenze tra la struttura diretta di tipo 1 e la struttura diretta di tipo 2 di un filtro IIR?
* Disegnare lo schema della struttura diretta a complessità minima (detta “canonica”) di un filtro IIR.
* Come è possibile costruire strutture di ordine superiore a 2 utilizzando strutture elementari?

<span style="color: green">**I richiami dei sistemi lineari servono giusto per capire, per i filtri (IIR e FIR) è bene conoscere le differenze tra essi**</span>