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title: 10- Individuazione guasti con equazioni di parità
tags: Misure
info: A partire da video 10-14 minuto 18.50
description: Blocco slide parte 10
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# Introduzione

Un modo relativamente semplice per individuare un guasto in un processo è di confrontare il comportamento del processo con quello di un relativo modello in grado di descrivere il comportamento nominale del processo.
Le differenze tra i segnali del processo reale e quelli del modello nominale, generalmente definite residui, contengono al loro interno molteplici informazioni:
- incertezze di modello;
- rumore in ingresso (attuatori);
- rumore in uscita (sensori);
- disturbi di processo (e.g. rumore);
- fault.

Le tecniche di individuazione dei guasti basate sulle equazioni di parità sfruttano tali differenze e sono tipicamente basate su due diversi approcci:
- approccio mediante funzione di trasferimento;
- approccio mediante rappresentazione in spazio di stato.

La presente lezione fornisce le conoscenze di base per l’implementazione dell’approccio mediante funzione di trasferimento, e definisce le proprietà fondamentali dei residui con esso creati.

Si chiamano equazioni di parità perchè determinano un confronto tra un'uscita reale e un'uscita modellata, per mettere in evidenza delle discrepanze.

Esistono due approcci principali: **approccio ad errore di uscita** e **approccio ad errore di equazione**.

## Approccio basato su funzione di trasferimento

Esistono due modi per calcolare i residui se si utilizza la funzione di trasferimento: con **l'errore di uscita** e con **l'errore di equazione**. A queste due tecniche corrispondono due modi diversi per calcolare il residuo che distinguiamo con $r'(s)$ per il primo e $r(s)$ per il secondo.
L'obiettivo di calcolare il residuo è ricavare una grandezza che quando non c'è guasto è prossima a zero e che sale in presenza di guasto.
$r^{primo}$ è l'errore di uscita, $r$ è l'errore di equazione



Forma interna: $\Delta G \cdot u(s) + G_p(s)\cdot f_u(s) + n(s) + f_y(s)$


Il residuo nel modello di errore di equazione è l'uscita per il denominatore del modello meno l'ingresso per il numeratore del modello (e anche qui la chiamo forma computazionale).

<!--Nella figura sotto in $G_m$ $\Delta K$ è un guasto sul guadagno e $\Delta T$ è sulla costante tempo. -->
Il processo $G_p$ può avere un guasto sul guadagno $K_m$ o sulla costante tempo $T_m$.



*le varianti con guasti su tempo e ingresso sono state viste molto rapidamente*


### Considerazioni

- **Guasti su K**: Non ci sono differenze nella scelta della soglia tra il caso di residuo costruito mediante errore di uscita e quello di residuo costruito mediante errore di equazione.
- **Guasti su T**: Non sono rilevabili nel caso statico, ma necessitano di una variazione degli ingressi del sistema (caso dinamico): anche in questo caso la loro individuazione non è semplice e, se possibile, è preferibile costruire il residuo come errore di equazione.
- **Guasti additivi ingresso e uscita**: Entrambe le tipologie di residuo reagiscono a guasti additivi e, a regime, entrambi i residui tendono allo stesso valore.
- **Effetti del rumore**: I residui costruiti come errore di uscita sono meno sensibili al rumore in ingresso a causa del loro comportamento passa-basso (le componenti di rumore ad alta frequenza vengono filtrate). Se il rumore in ingresso ha componenti a bassa frequeza allora gli effetti sulle due tipologie di residui sono simili. Nel caso di rumore in uscita è sempre preferibile utilizzare residui calcolati come errore di uscita.

Abbiamo detto che il residuo oltre che a dipendere dai guasti, è influenzato anche dal rumore e dall'incertezza del modello. Questi due fattori complicano l'analisi del residuo, quindi l'obbiettivo è rendere il residuo il più possibile robusto (indipendente) da queste grandezze. Esistono due tecniche principali:

- **robustezza passiva**: creo una soglia intelligente (adattativa) che deve discriminare (e tollerare) quando l'aumento del residuo non è dovuto ad un guasto.
- **robustezza attiva**: creo dei **residui strutturati** che disaccoppiano gli effetti del rumore e del disturbo.

## Residui strutturati

Sono tali per cui un guasto influenza alcuni residui ma non tutti.
Il residuo direzionale è un residuo che risente solo di un guasto. (posso avere un sistema soggetto a 1000 possibili guasti, ma un residuo direzionale aumenterà solo nel momento in cui si presenta un determinato guasto. Situazione ideale)

*residuo strutturato*

Per ricavare più residui devo ragionare per sistemi più complessi con $p$ ingressi e $r$ uscite.

*L'immagine riporta un sistema di sistemi SISO disposti in parallelo in un sistema*

Con una rappresentazione di questo tipo è possibile capire la strategia per annullare gli effetti dei guasti sugli ingressi e sulle uscite: bisogna trovare un'opportuna matrice $W(s)$. Eliminando in maniera opportuna l'influenza dei guasti è possibile isolare i rimanenti. In altre parole, l'obiettivo è scegliere la matrice $W(s)$ affinche il prodotto con le matrici $A$ e $B$ mi restituisca sulla riga di interesse 0.


Sono le condizioni che mi permettono di separare geometricamente i guasti.
La tabella di firma del guasto è la tabella che si genera inserendo in corrispondenza dell'incrocio tra un residuo e un guasto uno 0 o un 1 se il residuo sia andato sopra soglia (1) o sotto soglia (0).


*andamento di un residuo*

*esempio di tabella di firma del guasto. In questo caso abbiamo 2 residui e 3 possibili guasti. Se si attiva solo il primo residuo significa che abbiamo un guasto di tipo 1; se si attiva solo il secondo residuo significa che abbiamo un guasto di tipo 2; se si attivano entrambi abbiamo un guasto di tipo 3*

Più in generale con una politica di tipo binario (0 o 1) e con $n$ residui è possibile isolare (debolmente) $2^{n} - 1$ fault.
Il guasto si dice fortemente isolabile se l'errore nella valutazione di un singolo residuo non comporta l'isolamento di un fault diverso da quello che agisce sul sistema. (la tabella precedente isola in maniera debole)

*comparazione tra isolabilità forte e debole*

Per aumentare il numero di residui isolabili a parità di residui è possibile, ad esempio, introdurre una logica ternaria:


In questo caso con $n$ residui è possibile isolare (debolmente) $3^{n} - 1$ fault.

Più in generale è possibile introdurre una logica a $k$ valori per avere la possibilità di isolare (debolmente) fino a $k^{n} -1$ fault. Tuttavia, più aumentiamo $k$ più aumenta il rischio di commettere errori nella fase determinazione.

# Conclusioni

Le tecniche di individuazione guasti basate sulle equazioni di parità operano un confronto tra il comportamento del processo reale e quello di un modello nominale del processo stesso.
I residui possono essere generati utilizzando approcci basati su funzioni di trasferimento oppure rappresentazioni in spazio di stato.
Entrambi gli approcci permettono di generare residui in
- **forma computazionale**: il residuo viene calcolato a partire dagli ingressi e dalle uscite del processo;
- **forma interna**: esplicita gli effetti del fault sul residuo (che deve essere precedentemente calcolato).

I residui così generati contengono al loro interno molteplici informazioni:
- incertezze di modello;
- rumore in ingresso (attuatori);
- rumore in uscita (sensori);
- disturbi di processo (e.g. rumore);
- fault.

Per poter disaccoppiare le informazioni relative ai fault rispetto a quelle dovute agli errori di modellazione o ai disturbi si utilizzano i residui strutturati: essi sono costruiti in modo tale da essere indipendenti da almeno uno degli ingressi e delle uscite.
I residui strutturati possono essere usati anche per isolare i guasti, tramite l’ausilio di tabelle che contengono al loro interno la firma dei fault sul sistema.

# Domande

- Come è possibile generare equazioni di parità a partire dalla funzione di trasferimento di un processo?
- Vuole per intero i due fogli errore di uscita ed errore di equazione (schema e calcoli)
- Che differenza c’è tra forma computazionale e forma interna?
- Utilizzando un sistema del primo ordine come esempio, descrivere quali effetti provocano sui residui
1. una variazione del guadagno;
2. una variazione della costante tempo;
3. un guasto additivo in ingresso;
4. un guasto additivo in uscita.
- Che cosa si intende per residui strutturati e direzionali? E per firma del fault?
- La firma del guasto è la tabella con cui determino il guasto a partire dalle soglie.
- Come è possibile generare un residuo strutturato?
- Si genera premoltiplicando il mio residuo di base per una matrice tale per cui la riga della matrice per la colonna del residuo mi annulla i componenti che non mi interessano.

# Esercizi

## Quesiti



## Soluzioni



Per quanto riguarda l'esercizio 1, si ha una notevole importanza nell'individuazione dell'ingresso e dell'uscita, che non è sempre immediato da effettuare.