# Neue Vorlesung "Ringe und Moduln" (oder so ähnlich)

Idee: Neue Basis-Vorlesung für die AGAG, ersetzt die *Rolle* der Kommutativen Algebra (nicht die Vorlesung selber, aber deren Umfang kann dann reduziert werden, weil Grundlagen schon vorhanden durch diese neue Vorlesung). Wir können hier stichpunktartig Themen sammeln, die uns jeweils wichtig sind. Ich denke, es wird eine Mischung aus grundlegender Algebra, kommutativer Algebra, Zahlentheorie, Darstellungstheorie. Dabei sollten wir aber nicht vergessen, dass es immer noch anschließende weiterführende Veranstaltungen gibt, es sollte also alles relativ generisch sein. Die Liste muss jetzt noch nicht logisch aufeinander aufgebaut sein.

* Ringe: allgemeiner Begriff, insbesondere nicht notwendig kommutativ. Auch direkt (als Erweiterung) Begriff einer Algebra über einem kommutativen Ring. Beispiele: Matrix-Algebra, Gruppen-Ring, Tensor-Algebra ("nicht-kommutativer Polynomring"), Weyl-Algebra (Differentialoperatoren), und die üblichen kommutativen Beispiele. Evtl. universell Einhüllende einer Lie-Algebra.
* Erzeuger und Relationen für eine Algebra.
* Ideale: links-seitig, rechts-seitig, zweiseitig. Ideale bilden "complete lattice". Quotienten von Ringen/Algebren nach Idealen. Ideale im Quotienten.
* Maximale Ideale und Primideale, Jacobson-Radikal
* Kategorien und Funktoren: einfach nur die Begriffe formal einführen und viele Beispiele geben (keine Kategorien-Theorie, eine Vorlesung dazu nur). Universelle Eigenschaft (und Eindeutigkeit der Lösung, falls existiert) an Beispielen veranschaulichen. Freie Objekte (freie Gruppe, Polynomring, Tensoralgebra).
* Moduln: Links-Moduln, Rechts-Moduln, Bimoduln. Beispiel: Mod(Z) = Ab, Mod(K) = Vec(K), Mod(RG) = Rep_R(G). Übliche Konstruktionen. Erzeuger und Relationen (Syzygyen).
* Tensor-Produkt von Moduln, Skalar-Erweiterung, Hom-Tensor Adjunktion
* Etwas homologische Algebra: exakte Sequenzen, Komplexe, Homologie. Beispiel?
CF: Zentral einfache Algebren und H^2 als Bsp? Quaternionen? Brauer Gruppe? Gruppenerweiterungen? oder geht das dann zu weit in Richtung Gruppen?
U: Ich würde Ext von Moduln auch begrüßen (also elementar als Erweiterungen, nicht als abgeleiteter Funktor). Von Gruppen würde mir persönlich zu sehr Richtung Gruppen gehen, aber ist ja gewissermaßen analog (auch wenn nicht abelsch). Zentral-einfache Algebren (auch Skolem-Noether) klingt gut. Brauer-Gruppe ist evtl. zu speziell schon!?
* frei, projektiv, flach, torsions-frei. Rang freier Moduln wohl-definiert über kommutativen Ringen.
* Noethersche, Artinsche, einfache Ringe/Moduln, Kompositionsreihe, Konstituenten, Jordan-Hölder Theorem.
* Endlich-dimensionale Algebra über einem Körper (z.B. KG für G endlich): sind artinsch, daher haben endlich-dimensionale Moduln Kompositionsreihe. Charaktere von Darstellungen.
* Hilbertscher Basis-Satz
* Klassifikation endlich-erzeugter Moduln über einem Hauptidealring
* Lokalisierung von Ringen und Moduln (für kommutative Ringe, sonst schon zu kompliziert). (Prim-)Ideale in der Lokalisierung.
* Cayley-Hamilton und Nakayama-Lemma

A: Nach aktuellem Studienplan ist kein Platz für eine weitere Vorlesung zur Kommutativen Algebra *vor* der Algebraischen Geometrie (danach als "fortgeschrittene" kommutative Algebra wäre möglich). Es wäre daher eigentlich gut, wenn die für die Algebraische Geometrie grundlegenden Konzepte der Kommutativen Algebra schon in dieser Basisvorlesung wären: Nullstellensatz (in irgendeiner Form, z.B. was sind die maximalen Ideale in K[x1,...,xn] falls K algebraisch abgeschlossen ist; die Einführung von V(.) und I(.) ist sicher nicht nötig), grundlegende Dimensionstheorie (z.B. Definition der Dimension, dim K[x1,...,xn]=n, Krullscher Hauptidealsatz), am besten auch dass K[x1,...,xn] faktoriell ist und was faktorielle Ringe überhaupt sind (evtl. wird das aber auch schon zum größten Teil in der Einführung Algebra gemacht). Wie man das alles am schnellsten bekommt und ob das nicht doch schon den größten (bisher noch nicht genannten) Teil der Kommutativen Algebra nach sich zieht, weiß ich gerade nicht.