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title: 博奕論

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# 博奕論
## 參考資料:【【公开课】耶鲁大学：博弈论（中英双语字幕）】 
https://www.bilibili.com/video/BV1Kt411h7Ep/?share_source=copy_web&vd_source=d48736c0ae75060b52431e05e6b42041
~~考古~~
## 共24集
<!-- (希望能做完 2023/10/14) -->

### 1. 導論-五個入門結論
<!-- (2023/10/14) -->
- 甚麼是博奕論?
研究策略形勢
    - 什麼是策略形勢?
    不完全競爭的情況下，就是策略形勢
    行為影響結果，但結果不僅取決於你的行為，還取決於其他人的行為
- 博奕論適用於什麼領域?
經濟學、政治學、法學、生物學、體育
- 遊戲1:成績博弈
    你需要選擇A或B，然後會跟跟陌生人配對，你們雙方都無法得知對方的選擇，而你們的選擇會決定你們的成績(存屬娛樂)

    | 你/陌生人 | A     | B     |
    |:-------:| ----- | ----- |
    |    **A**    | B-/B- | A/C   |
    |    **B**    | C/A   | B+/B+ |

    - 選A的理由1:感覺其他人也會選A，如果選B的話會吃虧，因此不如一起選A
    - 選A的理由2:不管其他人選什麼，選A的成績都會比選B的好
    - 選B的理由1:選B的分數波動會小一點(OS:我可不這麼覺得)
    - 選B的理由2:相信人心中的善
    
    上面分析了行為、策略、參與人
    但還缺少了動機和收益

    - 將成績改用數字表示，更能直接顯示收益
        | 你/陌生人 | A    | B    |
        |:---------:| ---- | ---- |
        |   **A**   | 0/0  | 3/-1 |
        |   **B**   | -1/3 | 1/1  |
        
        將問題從 "做了什麼" 換成 "應該怎麼做"
        應該選什麼才能拿到較好的成績?
        
        如果選A的話，不管另一個人選什麼都會比選B好
        - 假設另一個人選A，選A得到0>選B得到-1
        - 假設另一個人選B，選A得到3>選B得到1
        
    ## **如果選A的結果一定比選B好(無論另一個人選什麼)，那麼A相對於B是個嚴格優勢策略**
    ## 結論一:不要選擇嚴格劣勢策略
    **選擇嚴格優勢策略才能得到更好的結果**
    
    如果我們都選擇B呢?
    你不可能這麼做
    - 原因1:你無法跟陌生人達成一致
        你們都無法得知雙方的選擇，所以無法達成一致
    - 原因2:即便對方選擇了B，你也因該選A，因為選A可以拿到對你來說更好的結果
        當對方選B時，你選B可以得到B+，但選A的話可以拿到A
    ## 結論二:理性的選擇(選擇嚴格優勢策略)，使總結果變得更加糟糕
    - 案例1:囚徒困境
        兩名囚犯被關進不同的牢房接受審訊，它們將會面對以下幾種情況
        一人供出對方:一人無罪，一人被關五年
        兩人都供出對方:兩人被關兩年
        兩人皆沒有供出對方:兩人被關一年
        
    - 案例2:大學宿舍
        我跟我室友都覺得環境很髒，但我們希望對方打掃
        先動的人就輸了
        
    - 案例3:離婚
        我受夠他/她了，但我死也不分財產給他/她
        來互相傷害阿
        
    - 案例4:價格戰
        堅持久一點，他一定會倒，如果他沒倒，那價格就在低一點
        消費者的勝利
    
    如果我們事先溝通好一起選B呢?
    - 一樣行不通
        缺乏強制力(我選A了，你打我啊)
    
    回到前面囚徒困境跟價格戰
    他們是如何用強制力約束合同的?
    囚徒為何不招供?企業為何能串通好?
    答:暴力(你敢招供，我出來後就打死你/你降價，我免費送)
    
    - 回到遊戲1，假設我同樣關心其他人的成績呢?
        我們把成績的收益改成以下
        | 你/陌生人 | A    | B    |
        |:---------:| ---- | ---- |
        |   **A**   | 0/0  | -1/-3 |
        |   **B**   | -3/-1 | 1/1  |
        
        假設我得到A而另一人得到C，我會良心不安睡不著覺，導致我的收益是-1
        架設我得到C而拎一人得到A，我不僅成績糟糕而沮喪的同時，也想扁害我成績是C的人，導致我的收益是-3
        **這時你會怎麼選?**
        
        - 選A的理由1:我的損失會是最小，選A的話0+(-1)=-1，選B的話-3+1=-2
        - 選B的理由1:選A的話最高只能拿到0，但選B的話最高可以拿到1
        這種情況下沒有優勢策略，我們稱為"協和謬(ㄇ一ㄡˋ)誤"
    ## 結論三:如欲得知，必先知之
    
    **改變收益(目的)的同時也會改變博弈(結果)**
        
    
    - 現在假設在同樣的狀況下，你只在乎自己的成績，而另一個人不只在乎自己的成績，同樣也在乎你的成績
        首先我們先分析一下收益
        | 你/陌生人 | A    | B    |
        |:---------:| ---- | ---- |
        |   **A**   | 0/0  | 3/-3 |
        |   **B**   | -1/-1 | 1/1  |
        - 選A的理由1:選A是優勢策略，無論另一個人選什麼，都比我選B還要好

    - 現在腳色互換，你在乎雙方的成績，而對方是個冷血無情的王八蛋
        這時你們的收益長這樣子
        | 你/陌生人 | A    | B    |
        |:---------:| ---- | ---- |
        |   **A**   | 0/0  | -1/-1 |
        |   **B**   | -3/3 | 1/1  |
        - 選A的理由1:雖然沒有優勢策略，但我們都知道那個小王八蛋的優勢策略是選A，因此我們根據他選A的結果去做選擇
    ## 結論四:站在別人的立場上去分析他們會怎麼做
    
    回到遊戲一，現實中有做過類似的實驗，而實驗結果有30%的人選擇了B
    而在耶魯大學則是238:36，大約13%
    ## 結論五:耶魯大學的學生都很自私(他真的是這樣說的)
    
- 遊戲2:選數字
    從1到100選一個數字，不要讓其他人看到，最後用所有人的數字計算出平均數，越接近2/3平均數的人是贏家，贏家的獎金是5 - ( | 平均數 - 選的數字 | * 0.01)美元
    下一集會用到
    
<!-- (2023/10/15) -->
    
### 2. 學會換位思考
<!-- (2023/10/17) -->
- 上一節課的遊戲最一開始並不算是博弈，因為我們只知道我們拿到的成績，而非我們獲得的收益，當我們將成績轉為收益後，這個遊戲才算是一個標準的博弈

- 本集主題:
    1.不要選擇劣勢策略
    2.站在別人的立場上去分析他們會怎麼做

- 囚徒困境
    案例1:合作項目(例如小組報告)
        大家都想偷懶
    ![](https://hackmd.io/_uploads/BJli23i-a.png)
    案例2:價格競爭
    你降價，我降價，大家一起沒得賺
    案例3:可利用的公共資源，這裡以魚群為例
    這是我附近的魚群，結果被人偷偷撈走了，為了避免再被他們撈走，我只好先全部撈完
    案例4:全球暖化議題
    大家都不環保，我為什麼要跟著環保，你好環保你很好(敷衍)
    
    這些案例的失敗原因跟溝通不足無關，溝通並無法解決囚徒困境
    解決方式:簽定協約、制定規章制度等方式改變收益
    (改變收益->改變動機->改變結果)
    or 把單次博弈轉化成重複博弈(後面的內容)
    or 通過教育來改變收益

- 以上節課的猜數字遊戲為例
    博弈的要素有哪些?怎麼樣的情況下才能形成博弈?
    1.     參與人
        - 所有猜數字的學生都是參與人
        - 以i跟j表示
    2.     策略
        - 以s<sub>i</sub>表示參與人i的策略
            在猜數字遊戲中，假設我選擇了1，則s<sub>i</sub> = 1
        - 以S<sub>i</sub>表示參與人i的所有可能的策略的集合
            在猜數字遊戲中，S<sub>i</sub> = { 1 , 2 ... 99 , 100 }
        - 以s來表示某一次博弈的策略組合(or策略向量or策略列表)
            在猜數字遊戲中，每個人都選了一個數字，把所有人的選擇組合在一起就是s
        - 以s<sub>-i</sub>表示除了某一人以外的策略組合
            s<sub>-i</sub> = s-s<sub>i</sub>
    3.     收益
        - 以U<sub>i</sub>(s)表示參與人i在策略s之下的收益
            在猜數字遊戲中，U<sub>i</sub>(s)代表兩種可能
            - 猜中數字:獲得獎金(五美元減去誤差)
            - 沒猜中數字:0
    
- 範例:
    
1. 
    - | A/B | 左   | 中   | 右  |
        | ----- | ---- | ---- | --- |
        | **上**    | 5,-1 | 11,3 | 0,0 |
        | **下**    | 6,4  | 0,2  | 2,0 |

        參與人:A,B
        S<sub>A</sub>={上,下}
        S<sub>B</sub>={左,中.右}
        U<sub>A</sub>(上,中)=11
        U<sub>B</sub>(上,中)=3
    
        A與B都沒有優勢策略
        - A選下時，B選中會使A得到較差的結果
        - A選上時，B選左或右會使A得到較差的結果
        
        - B選右的結果一定比選中的差(但右邊並不是劣勢策略，因為我們沒有相對的優勢策略存在)
        - 但B選中時，A選下會導致B得到較差的結果
        - 而B選左時，A選上會導致B得到較差的結果
    
        假設上述的條件都是已知的（假設我們知道其他人的策略跟收益）

    - **嚴格優勢策略的定義：
        參與者 i 的策略s'<sub>i</sub>嚴格劣於另一個策略s<sub>i</sub>
        在所有s<sub>-i</sub>情況中，U<sub>i</sub>(s<sub>i</sub>)的收益都嚴格優於U<sub>i</sub>(s'<sub>i</sub>)**
2. 一個侵略者打算侵略另一個國家，他有兩條路線可以選擇，但只能選擇一條路線，你身為防禦者，必須決定在哪一條路線上布署防禦
一條路崎嶇，需要翻越山脈，另一條平坦，只需要沿著海岸線走
如果侵略者遇到妳防禦的路線，那他會損失一個營的兵力
如果侵略者選擇崎嶇的路，那他會損失一個營的兵力

- 收益:

    | 防衛者\入侵者 | 平坦 | 崎嶇 |
    | ------------- | ---- | ---- |
    | 平坦          | 1,1  | 1,1  |
    | 崎嶇          | 0,2  | 2,0  |
    
    入侵者收益:保留兵力來進攻
    防衛者收益:入侵者損失兵力
    
    雖然在平坦路線防禦並不是嚴格優勢策略，但大部分的人還是選擇平坦
    - 理由:雖然以防禦者的角度來看並沒有嚴格優勢策略，但是以侵略者的角度來看有弱優勢策略
        因為入侵者選擇平坦的策略弱優於入侵的策略，因此我們選擇平坦度線才能拿到最大收益(換位思考後的選擇)
        
    - **弱優勢策略的定義：
        參與者 i 的策略s'<sub>i</sub>弱劣於另一個策略s<sub>i</sub>
        在所有s<sub>-i</sub>情況中，U<sub>i</sub>(s<sub>i</sub>)的都至少等於U<sub>i</sub>(s'<sub>i</sub>)，並且在某些情況下U<sub>i</sub>(s<sub>i</sub>)的收益是嚴格優於U<sub>i</sub>(s'<sub>i</sub>)**
        (嚴格優勢-大於，弱優勢-大於等於(其中必定有大於))

- 猜數字遊戲
    如果要選擇的話，選擇99會使收益最大化，但要拿到獎金則要猜平均的2/3，所以"應該"要猜66，但所有人都這樣想的話那就要再乘以2/3，也就是44，重複下去最後的最優解"應該"是1
    44到66之間的數字原本並不示弱劣勢策略，但因為我們把66~99的數字排除了，所以44~66成為了弱劣勢策略
    共同知識 : 我知道大於66的數字沒有人會選，其他人也知道，所以沒有人會選大於66的數字，因此我知道沒有人會選大於44的數字......
    以上全是理論，不是現實，最後的平均數是$13 \frac13$，乘以$\frac23$後大約是9
    你是理性的，並不代表其他人也是
    
- 在重玩一次遊戲，會發現雖然有幾個來亂的還是選了比67大的數字，但大部分的人都選了1~5之間的數字，同時也比第一次選的數字小
    因為所有人都知道這個遊戲越小越好，也知道其他人知道....(共同知識)
    站在兩個人背後並替他們戴上黑色帽子，他們雖然看的到另一個人的帽子顏色，但因為看不到自己的帽子，因此並不知道自己的帽子的顏色，因此帽子的顏色並不算是共同知識
    但他們可以知道至少有一頂黑色帽子，這被稱為相互知識
    公同知識是所有人都知道，且確定其他人也知道的知識
<!-- (2023/12/09) -->
    
### 3. 迭代剔除和中位選民定理 
<!-- (2023/12/10) -->
- 上一章的重點:剔除劣勢策略
    迭代剔除劣勢策略:找出劣勢策略，將其剔除，再次檢查，找出新的劣勢策略，再次剔除...不斷重複下去

#### 中位選民定理:
- 假設有兩個候選人，為了選舉，他們必須在一系列的政治主張中選擇政治立場，政治立場被共有10個，分別是1~10，數字越小越靠近左翼，數字越大越靠近右翼，假設每一個政治立場都有10%的投票，選民會選擇鈄給政治立場最相近(數字差最小)的候選人，如果數字差相同則平分選票
    - 參與人:候選人
    - 策略:選擇政治立場
    - 收益:最大化的選票
    - 劣勢策略:選擇1跟10的政治立場
        選擇2到9的政治立場都會比選擇1或10的收益還要高，除非對方也選擇1或10
* 以下證明
1.     - 假設對手選擇1
        u<sub>i</sub>(1,1)=50%
        u<sub>i</sub>(2,1)=90%
        
2.     - 假設對手選擇2
        u<sub>i</sub>(1,2)=10%
        u<sub>i</sub>(2,2)=50%
        
3.     - 假設對手選擇3
        u<sub>i</sub>(1,3)=15%
        u<sub>i</sub>(2,3)=20%
        
4.     - 假設對手選擇4
        u<sub>i</sub>(1,4)=20%
        u<sub>i</sub>(2,4)=25%
        
5.     - 假設對手選擇5......

* 從以上的假設可以得知，選擇2的收益一定會比選擇1的收益高
    那麼，選擇立場3會由於選擇立場2嗎?
1.     - 假設對手選擇1
        u<sub>i</sub>(2,1)=90%
        u<sub>i</sub>(3,1)=85%
    對手選擇立場1時，立場2會比立場3更好
    但如果將劣勢策略(1跟10)剔除掉的話，則立場2會變成新的劣勢策略
    不斷重複下去，最後會只剩下5跟6
* 中位選民定理:越中間的立場可以獲得越多的選票
* 這個模型沒有考慮到一些情況，例如:每個立場的人部會剛好是10%、部是所有人都會投票、政治立場不是投票的唯一決定因素、候選人不會只有2個...

#### 最佳對策
- 假設有一個博弈，參與人分別是i跟j，i的策略分別是上、中、下，j的策略是左、右，收益如下
    |  | 左 | 右 |
    | -------- | -------- | -------- |
    | **上**     | 5,1     | 0,2     |
    | **中**     | 1,3     | 4,1     |
    | **下**     | 4,2     | 2,3     |
    
    這個博弈沒有劣勢策略，因次不能跟前面的博弈採用相同方法(避免劣勢策略、迭代剔除)
- 假設你是參與人i，你應該選擇?
    *   如果對手選擇左，則選上的收益最高
    *   如果對手選擇右，則選中的收益最高
    *   選下的好處呢?
        假設對手選擇左跟右的機率相同，則期望值如下
        * 上:$5*\frac{1}{2}+0*\frac{1}{2}=2.5$
        * 中:$1*\frac{1}{2}+4*\frac{1}{2}=2.5$
        * 下:$4*\frac{1}{2}+2*\frac{1}{2}=3$
    
        在無法確定對手選擇的情況下，選擇下的期望值最高
    
- 以上假設對手選擇左跟右的機率相同，如果對手選擇左的機率是選擇右的2倍呢?
    * 與其慢慢算，不如直接用圖表表示
    X軸:對手選擇右的概率
    Y軸:預期收益
    ![螢幕擷取畫面 2024-01-03 180308](https://hackmd.io/_uploads/BJxxZhzup.png)
    經由這張圖可以知道對手選右的概率以及不同的對策的期望值
<!-- (2024/01/03) -->
    
    
### 4. 足球比賽與商業合作之最佳對策
<!-- (2024/01/03) -->
#### 最佳對策
* 在對對手已經有一定了解下所做出的最好的選擇

#### 罰球遊戲(penalty kick game)
* 你是負責罰球的隊員，可以選擇3種進攻方式，分別是左路、右路、中路
* 對手是守門員，可以選擇防守左路或右路
* 收益如下
    |  | 左 | 右 |
    | -------- | -------- | -------- |
    | **左**     | 4,-4     | 9,-9     |
    | **中**     | 6,-6     | 6,-6     |
    | **右**     | 9,-9     | 4,-4     |
    
    u<sub>1</sub>(中,左)=6代表罰球員從中路進攻，守門員防守左路時，罰球員的收益，其中6代表有60%的得分概率
    u<sub>2</sub>(中,左)=6代表罰球員從中路進攻，守門員防守左路時，守門員的收益，其中-6代表有60%的失分概率
* 劣勢策略並不存在，因此我們使用上一堂課的方法-畫圖
  X軸表示守門員防守右邊的機率
  Y軸表示收益(得分機率)
    ![螢幕擷取畫面 2024-01-03 201928](https://hackmd.io/_uploads/HkX1W0zda.png)
  根據圖片可以得知，無論守門員的概率如何，選擇中間的期望值都比較低
  
 **結論:不要選擇一個在任何情況下都不是最佳策略的策略**

* 這個模型沒有考慮到一些情況，例如:球員的慣用手會影響他的選擇、球員可能會有事前的戰術、守門員可能會選擇中路、球速、高度...

#### 最佳對策(Best Response)
定義1
* 在對手的策略S<sub>-i</sub>底下，如果我有一個策略Ŝ<sub>i</sub>的最大化了我的收益，則Ŝ<sub>i</sub>是一個最佳對策BR

定義2
* 參與人i的策略Ŝ<sub>i</sub>是一個在對手可能採取的策略持信念P時的最佳策略BR
* 在參與人i持信念P時，策略Ŝ<sub>i</sub>的預期收益是所有的策略中最高的
* 預期收益:所有的 策略收益\*策略概率 相加

#### 合夥人博弈(Partnership Game)
* 你與另一個人都是公司的股東，你們各自持有50%的股份，賺到的錢平分
* 股東必須選擇要為公司投入多少時間，最少為0，最多為4，可以選擇任意實數，例如:3.5
* 假設公司的利潤是$4*(S_i+S_j+B*S_i*S_j)$，B為$0$到$\frac{1}{4}$
* 公司的利潤在兩人合作的情況下會較高(因為有B的存在)
* 你的收益為公司的利潤跟另一個人平分後再減去成本$S_i^2$，也就是$\frac{1}{2}*4*(S_i+S_j+B*S_i*S_j)-S_i^2$
  $=2*(S_i+S_j+B*S_i*S_j)-S_i^2$
  * 因為這一次的參與人的選擇是連續的，因此我們無法直接用畫圖來表達
  * 但我們可以先用微積分求出$S_i$的導數來進行分析
    $2*(S_i+S_j+B*S_i*S_j)-S_i^2$
    求導數後變為
    $2*(1+B*S_j)-2*S_i$
  * 為了確認是最大值還是最小值，我們需要求出二階導數
    $2*(1+B*S_j)-2*S_i$
    求導數後變為
    $-2$
  * 由於二階導數是負數，因此當一階導數$2*(1+B*S_j)-2*S_i$等於0的時候
    $2*(S_i+S_j+B*S_i*S_j)-S_i^2$可以獲得最大值，也就是最大收益
    我們將S<sub>i</sub>的最佳對策Ŝ<sub>i</sub>帶入，可以發現$\hat{S}_i=1+B*S_j$
  * 同樣的方式在算一次，我們也可以得知參與人j的最佳對策$\hat{S}_j=1+B*S_i$
* 現在我們可以畫圖了，假設$B=\frac{1}{4}$
  ![螢幕擷取畫面 2024-01-25 040037](https://hackmd.io/_uploads/H14dnJycT.png)
  * 當參與人j選擇0時，參與人i的最佳對策要大於1
    當參與人j選擇4時，參與人i的最佳對策要小於2
    換句話說，最佳對策一定是在1到2之間
    所以我們可以在畫一張範圍在1到2之間的圖
    ![螢幕擷取畫面 2024-01-25 040916](https://hackmd.io/_uploads/SkGK01J5a.png)
    可以發現跟前一張圖幾乎形狀相同，不斷重複這個步驟後，最佳對策會歸為一點，也就是兩條線的相交處$\frac{1}{1-B}=\frac{4}{3}$
  我們稱這兩條線的交點維納什均衡(Nash Equilibrium)，在這個點下，參與人都選擇了最佳策略
<!-- (2024/01/25) -->

### 5. 納什均衡之壞風氣與銀行擠兌
<!-- (2024/05/27) -->
#### 納什均衡(NE)
* 定義:策略組合是一個集合，其中包含了每個參與人所選擇的一個策略(以S1*,S2*...SM*表示)
    * 納什均衡是滿足以下條件的策略組合
        * 任一參與人i的策略Si*，是其他參與人所選策略的最佳對策(所有人的選擇都是最正確的，多一點少一點都不行)
    
    (並非所有情況都可以滿足納什均衡，尤其並不是每個人都可以隨時做出最正確的選擇)
    
* 納什均衡是怎麼達成的?
    * 當雙方都認為對方會採取納什策略，怎雙方都會採取納什策略

##### 練習1
* 有兩個參與人，他們的策略及收益如下
  |   1\2    |  左  |  中  |  右  |
  | ------- | --- | --- | --- |
  | **上**  | 0,4 | 4,0 | 5,3 |
  | **中**  | 4,0 | 0,4 | 5,3 |
  | **下**  | 3,5 | 3,5 | 6,6 |
  * 參與人1有以下3種情況
      * 參與人2選擇左
          最佳策略是選擇中
      * 參與人2選擇中
          最佳策略是選擇上
      * 參與人2選擇右
          最佳策略是選擇下
    沒有一個策略需要被剃除
    
  * 參與人2也有以下3種情況
      * 參與人1選擇上
          最佳策略是選擇左
      * 參與人1選擇中
          最佳策略是選擇下
      * 參與人1選擇下
          最佳策略是選擇右
    沒有一個策略需要被剃除
    
  這個博弈中的納什均衡在右下，因為只有在右下的時候所有參與人都選擇了最佳對策
  在這個博弈中，納什均衡只代表某一個特定情況下的最佳解，並不代表所有情況

##### 練習2
* 有兩個參與人，他們的策略及收益如下
  |   1\2    |  左  |  中  |  右  |
  | ------- | --- | --- | --- |
  | **上**  | 0,2 | 2,3 | 4,3 |
  | **中**  | 11,1 | 3,2 | 0,0 |
  | **下**  | 0,3 | 1,0 | 8,0 |
  * 參與人1有以下3種情況
      * 參與人2選擇左
          最佳策略是選擇中
      * 參與人2選擇中
          最佳策略是選擇中
      * 參與人2選擇右
          最佳策略是選擇下
    
    
  * 參與人2也有以下3種情況
      * 參與人1選擇上
          最佳策略是選擇中or右
      * 參與人1選擇中
          最佳策略是選擇中
      * 參與人1選擇下
          最佳策略是選擇左
          
  這個博弈中的納什均衡在正中間，因為在正中間的時候所有參與人都選擇了最佳對策
  在這個博弈中，納什均衡只代表某一個特定情況下的最佳解，並不代表所有情況
  
  因為最佳對策可以不只一個，所以納什均衡也有可能不只一個
  * EX:協調博弈（Coordination Games）
    假設有兩個駕駛者在相對方向上行駛並且必須選擇靠左或靠右行駛。如果兩人都選擇靠左或都選擇靠右，則不會發生碰撞，這樣的情況下就有兩個納什均衡。
    (By ChatGPT)
  

#### 納什均衡與優劣
* 囚徒困境
  | 你/陌生人 | A    | B    |
  |:---------:| ---- | ---- |
  |   **A**   | 0/0  | 3/-1 |
  |   **B**   | -1/3 | 1/1  |
  
  在這個博弈中，選擇A嚴格優於B
  * 當我選A時
    對面的最佳對策是選A
  * 當我選B時
    對面的最佳對策是選A
    
  * 當對面選A時
    對面的最佳對策是選A
  * 當對面選B時
    對面的最佳對策是選A
    
* 這個博弈中的納什均衡是(A,A)，因為在正中間的時候所有參與人都選擇了最佳對策
  在這個博弈中，納什均衡只代表某一個特定情況下的最佳解，並不代表所有情況
* Q:但(A,A)的結果並沒有優於(B,B)，為什麼(B,B)不是納什均衡?嚴格劣勢策略為什麼不能達成納什均衡?
  A:因為嚴格劣勢策略永遠不會誠為最佳對策，因此無法達成納什均衡
  (對方選擇了B，那我選A就可以得到3，所以我一定會選A)

* Q:那弱劣勢跟弱優勢呢?
  | 1/2 | 左    | 右    |
  |:---------:| ---- | ---- |
  |   **上**   | 1/1 | 0/0  |
  |   **下**   | 0/0 | 0/0  |
  
  這個博奕中的納什均衡毫無疑問是左上或右下，即便左上的收益明顯優於右下，右下依舊是一個納什均衡，因為在右下的情況發生時，即便我們改變選項也不會獲得更好的收益
  
#### 投資博弈
* 參與人:很多(不只2人)
* 策略:甚麼都不做 or 為一個項目投資100元
* 收益:不投資=>收益為0
       投資而且投資人數多於90%總人數=>收益為150(減去投資的話，收益為50)
       投資但投資人數少於90%=>收益為0(100元也會消失)
* 參與人之間無法互相溝通
* 投資方觀念:老子有錢、有投資才有回報
* 不投資方觀念:90%的標準太高了，傻子才丟錢
* 在這個博弈中有兩個納什均衡:
  所有人都不投資也沒有損失
  or
  所有人都投資都有收益
* Q:納什均衡是如何被找到的?
  A:先猜測後驗證
* 在第一次進行這個博弈時，投資跟不投資的人數接近
  但如果將博弈在重複進行幾次，會發現投資的人會不斷減少，因為會有越來越多的人知道他們會血本無歸
* 博弈的結果會不斷趨近於納什均衡
* 都投資的收益嚴格優於都不投資的收益，我們會說都不投資的收益相對於都投資的收益處於帕雷托劣勢，而都投資的收益相對於不投資的收益處於帕雷托優勢
* 假設第一次博弈時有91%的人選擇了投資，那後面的幾次博奕中選擇投資的人就會不斷增加
* 儘管這跟囚徒困境很像，但這並不是囚徒困境，因為這個博弈中的選擇並沒有嚴格劣勢策略
* 我們稱呼這為協調博弈
  如果協調成功，則所有人都投資
  如果失敗，則沒有人投資

#### 協調博弈
##### 案例1:校園派對
如果參加的人少=>大家玩得不開心=>繼續參加的人更少...
##### 案例2:戰爭時期的和平協議
你先把槍放下
不，你先放下
想吃子彈是吧
當我會怕你嗎
##### 案例3:微軟壟斷
越多人使用微軟的產品，就會越有優勢
##### 案例4:銀行擠兌
當人們對銀行失去信心時，他們便會把錢領出來，導致銀行破產

協調博弈的結果是可以被改變的，但囚徒困境不行，因為囚徒困境有一個策略是嚴格劣勢策略，

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