ultralimitに関するメモ

--- title: ultralimitに関するメモ lang: ja-jp robots: index, follow dir: ltr breaks: true --- # ultralimitに関するメモ最近使ったのでメモ. ちゃんとした説明は需要があれば書きます. ## 諸概念の定義以下, $\Lambda$を (空でない) 集合とします. $\Lambda$上の ultrafilter を定義する為に, まずは$\Lambda$上の (普通の) *filter* を定義します. :::info def filter 次の3条件を満たす$\Lambda$の部分集合族$\mathcal F \subseteq \mathcal P(\Lambda)$を ($\Lambda$上の) **filter** という : - $\Lambda \in \mathcal F$,$\emptyset \notin \mathcal F$である. - 任意の$A \in \mathcal F$,$B \subseteq \Lambda$について$A \cup B \in \mathcal F$である. - 任意の$A, B \in \mathcal F$について$A \cap B \in \mathcal F$である. ::: $\emptyset \notin \mathcal F$などの条件から, $A \in \mathcal F$かつ$A^c \in \mathcal F$となる$A \subseteq \Lambda$は存在しないことに注意します.  今回は一般の (非空) 集合$\Lambda$で考えていますが, 実用上は$\Lambda$として$\mathbb N$を考えることが多いと思います. :::info ex Fréchet filter $\Lambda = \mathbb N$とする. このとき, $\mathbb N$の補有限部分集合全体, すなわち次の集合族$\mathcal F_{\mathrm{fin}}$は$\mathbb N$上の filter になる : $$\mathcal F_{\mathrm{fin}} = \{A \subseteq \mathbb N : \abs{A^c} < \infty \}$$ これを **Fréchet filter** という. ::: 次に, ultrafilter を定義します. :::info def ultrafilter 次の条件を満たす$\Lambda$上の filter $\mathcal U \subseteq \mathcal P(\Lambda)$を **ultrafilter** という : - 任意の$A \subseteq \Lambda$について, $A \in \mathcal U$または$A^c \in \mathcal U$である. ::: ultrafilter の定義として, 次の条件を用いても良いです. :::info prop ($\Lambda$上) の filter $\mathcal U \subseteq \mathcal P(\Lambda)$について, 以下は同値. 1. $\mathcal U$は ultrafilter である. 2. 任意の$A, B \subseteq \Lambda$について, $A \cup B \in \mathcal U$ならば$A \in \mathcal U$または$B \in \mathcal U$である. 3. $\mathcal U$は集合$\Sigma_\Lambda = \{\mathcal F \subseteq \mathcal P(\Lambda) \mid \mathcal F : \text{filter}\}$の包含関係$\subseteq$に関する極大元である. つまり, 任意の filter $\mathcal F \in \Sigma_\Lambda$について, $\mathcal U \subseteq \mathcal F$ならば$\mathcal U = \mathcal F$である. ::: :::info prf 1 ならば 2 : $\mathcal U$を ultrafilter とし, $A, B \subseteq \Lambda$が$A \cup B \in \mathcal U$であるとする. このとき, $A \in \mathcal U$でないと仮定すると, $\mathcal U$が ultrafilter であることから$A^c \in \mathcal U$なので$B \cup A^c \in \mathcal U$となる. よって, $$B = B \cap (A \cup A^c) = (B \cup A^c) \cap (B \cup A) \in \mathcal U$$ である. 2 ならば 1 : $\mathcal U$が条件2を満たすとする. このとき, 任意の$A \subseteq \Lambda$について, $A \cup A^c = \Lambda \in \mathcal U$なので$A \in \mathcal U$または$A^c \in \mathcal U$である. 1 ならば 3 : $\mathcal U$を ultrafilter とし, $\mathcal U \subseteq \mathcal F$なる filter $\mathcal F$を任意に取る. このとき, 任意の$A \in \mathcal F$について, $A^c \notin \mathcal F$であることから$A^c \notin \mathcal U$となる. すると, $\mathcal U$が ultrafilter であることから$A \in \mathcal U$となるので, $\mathcal F \subseteq \mathcal U$である. 3 ならば 1 : $\mathcal U$を$\Sigma_\Lambda$の極大元とする. $A^c \notin \mathcal U$なる$A \subseteq \Lambda$を任意に取る. このとき, $\Lambda$上の filter $\mathcal F_A$を次で定める : $$\mathcal F_A := \{B \subseteq \Lambda \mid \exists U \in \mathcal U. U \cap A \subseteq B \}$$ (ただし, $A^c \notin \mathcal U$から$U \subseteq A^c$となる$U \in \mathcal U$は存在しないので, 任意の$U \in \mathcal U$について$U \cap A = U \setminus A^c \neq \emptyset$となることに注意する) すると, $\mathcal F_A$の定め方から明らかに$\mathcal U \subseteq \mathcal F_A$となっているので, $\mathcal U$の極大性から$\mathcal U = \mathcal F_A$となる. 従って, $A \in \mathcal F_A = \mathcal U$である. $\Box$ ::: 特に, 3つ目の条件 (と *Zornの補題*) から, 任意 filter $\mathcal F$について$\mathcal F$を含む ultrafilter $\mathcal U$が存在することが分かります. :::info def ultralimit $\mathcal U$を ($\Lambda$上の) ultrafilter, $\{x_\lambda\}_{\Lambda}$を ($\Lambda$によって添字付けられた) 位相空間$X$上の点族とする. このとき, $\{x_\lambda\}_{\Lambda}$の **$\mathcal U$-極限** とは, 次の条件を満たす点$x \in X$のことである : - $x$の任意の近傍$N \in \mathcal N(x)$について, $\{\lambda \in \Lambda \mid x_\lambda \in N \} \in \mathcal U$である. この点$x$のことを$\lim_{\lambda \to \mathcal U} x_\lambda$と表す. ::: この極限自体は一般の filter に対して全く同様に定義することが出来ることに注意する. 特に, Fréchet filter による極限は通常の意味での極限になる. ## ultralimit の性質 ### 一意性と存在性通常の点列の極限のときと同様に, 位相空間のHausdorff性といった条件から$\mathcal U$-極限の一意性といった性質が得られます. :::info prop $X$がHausdorff空間のとき, その$\mathcal U$-極限は一意的である. ::: :::info prf $\{x_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$を$X$上の点族とし, $x, x' \in X$をその$\mathcal U$-極限とする. $x$と$x'$の近傍$N \in \mathcal N(x)$と$N' \in \mathcal N(x')$を任意に取る. このとき, $\{x_\lambda\}_\lambda$の収束性から, $A := \{\lambda \in \Lambda \mid x_\lambda \in N\}$と$A' := \{\lambda \in \Lambda \mid x_\lambda \in N'\}$は共に$\mathcal U$の元となる. よって, $A \cap A' \in \mathcal U$となるので, 特に$A \cap A' \neq \emptyset$である. そこで, $\lambda_0 \in A \cap A'$を取ると, $x_{\lambda_0} \in N \cap N'$となるので, $N \cap N' \neq \emptyset$である. よって, $x$と$x'$は分離できないので, $X$のHausdorff性より$x = x'$である. $\Box$ ::: :::info prop $X$がコンパクト空間のとき, $X$上の点族$\{x_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$は (任意の ultrafilter について) $\mathcal U$-極限を持つ. ::: :::info prf (背理法) 点族$\{x_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$が$\mathcal U$-極限をもたないと仮定する. このとき, 各$x \in X$について$A_x := \set{\lambda \in \Lambda}{x_\lambda \in U_x} \notin \mathcal U$となる開近傍 $U_x \in \mathcal N(x)$が存在する. すると$\{U_x\}_{x \in X}$は$X$の開被覆なので, $X$のコンパクト性よりある$n \in \mathbb N$と$x_1, \dots, x_n \in X$が存在して$X = \bigcup_{k=1}^n U_{x_k}$となる. このとき, $\bigcup_{k=1}^n A_{x_k} = \Lambda \in \mathcal U$なので, ultrafilter の特徴付けから$A_{k_0} \in \mathcal U$となる$k_0 \in \{1, \dots, n\}$が存在するが, これは$U_{x_{k_0}}$の取り方に矛盾する. $\Box$ ::: 特に, 存在性の証明では$\mathcal U$が ultrafilter であることが本質的に効いていることに注意します. また, ここからコンパクトハウスドルフ空間上の点族は常に一意的な$\mathcal U$-極限をもつことが分かります. ### 連続性連続写像についても, 通常の極限と同様の性質が成り立ちます. :::info prop $f : X \to Y$を位相空間の間の写像とする. このとき, $f$が点$x \in X$で連続ならば, $x$に$\mathcal U$-収束する任意の点族$\{x_\lambda\}_\lambda$について, $\{f(x_\lambda)\}_\lambda$は$f(x)$に$\mathcal U$-収束する. ::: :::info prf $x$に$\mathcal U$-収束する点族$\{x_\lambda\}_\lambda$を任意に取る. このとき, $f(x)$の任意の近傍$N \in \mathcal N_Y(f(x))$について, $f^{-1}(N)$は$x$の近傍なので $$\{\lambda \in \Lambda \mid f(x_\lambda) \in N \} = \{\lambda \in \Lambda \mid x_\lambda \in f^{-1}(N) \} \in \mathcal U$$ となり, $f(x) = \lim_{\lambda \to \mathcal U} f(x_\lambda)$であることが分かる. $\Box$ :::