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title: 始位相と終位相
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# 始位相と終位相

この記事では, 始位相と終位相と定義と性質, そしてその具体例 (直積位相と相対位相, 直和位相と商位相) について見ていきます.

## 始位相

まず, **始位相** (initial topology) について説明します.

:::info
def 始位相

$\{(Y_\lambda, \mathcal O_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族,$X$を集合, $(f_\lambda : X \to Y_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$を写像の族とする. このとき, 各$f_\lambda$を連続にする$X$上の最弱の位相のことを **始位相** という.

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特に, $\Lambda$が一元集合のとき, つまり$f : X \to (Y, \mathcal O)$を連続にする最弱の位相のことを *逆像位相* と言います.

始位相を用いることで, (位相空間の) 部分集合や直積集合などに, 然るべき位相を (統一的に) 定義することができます.

:::info
def 相対位相

$(X, \mathcal O)$を位相空間とし,$S \subseteq X$をその部分集合とする. このとき, 包含写像$i_S : S \to X$に関する逆像位相$\mathcal O_{S}$を **相対位相** といい, $(S, \mathcal O_S)$のことを部分空間という.

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:::info
def 直積位相

$\{(X_\lambda, \mathcal O_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族とし, $X := \prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$とする.

このとき, 代入写像 (射影) $p_\lambda : X \to X_\lambda; x \mapsto x(\lambda)$ ($\lambda \in \Lambda$) に関する始位相$\mathcal O_X$のことを **直積位相** といい, $(X, \mathcal O_X)$のことを直積空間という.

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相対位相と直積位相という一見あまり関連がなさそうな位相を統一的に定義することができるのは面白いですよね.

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さて, 始位相の定義から明らかに$(f_\lambda : X \to (Y_\lambda, \mathcal O_\lambda))_{\lambda \in \Lambda}$に関する始位相の開集合系は$\mathcal S := \{f_\lambda^{-1}(U_\lambda) : U_\lambda \in \mathcal O_\lambda, \lambda \in \Lambda\}$によって生成された位相になります. 従って, この$\mathcal S$は始位相における準開基になります. このことから, 終位相の連続性の特徴付けと同様の方法で始位相でも連続性が確認できることが分かります.

:::info
prop 始位相における連続性

$(X, \mathcal O_X)$を族$(f_\lambda : X \to (Y_\lambda, \mathcal O_\lambda))_{\lambda \in \Lambda}$に関する始位相 (空間) とする. このとき, 位相空間の間の写像$g : (W, \mathcal O_W) \to (X, \mathcal O_X)$について, 次は同値 :

1. $g$は連続.
2. 全ての$\lambda \in \Lambda$に対して,$f_\lambda \circ g : W \to Y_\lambda$は連続.

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:::info
prf

連続写像の合成は連続なので, 1 ならば 2 は明らかである. 逆を示す.

$w \in W$を任意に取り, $N \in \mathcal O_X$を$f(w) \in X$の開近傍とする. このとき, $\mathcal S$は$\mathcal O_X$の準開基なので, ある有限個の$V_i := f_{\lambda_i}^{-1}(U_{\lambda_i})\ (1 \le i \le n)$が存在して, $f(w) \in V := V_1 \cap \dots \cap V_n \subseteq N$となる. すると, 各$f_{\lambda_i} \circ g$は連続であることから, $g^{-1}(V_i) = g^{-1}(f_{\lambda_i}^{-1}(U_{\lambda_i})) = (f_{\lambda_i} \circ g)^{-1}(U_{\lambda_i}) \in \mathcal O_W$となるので, $g^{-1}(V) = \bigcap_{i=1}^n g^{-1}(V_i) \in \mathcal O_W$が得られる. よって, $w \in g^{-1}(V) \subseteq g^{-1}(N)$より, $g^{-1}(N)$は$w \in W$の近傍なので, $N$と$w$の任意性から$g$が連続であることが分かる. $\Box$

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始位相に関する一般論は以上です.

## 部分空間の性質

まず, 部分空間の性質をいつくか見ていくことにします. この節では以降, $(X, \mathcal O)$を位相空間とし, その部分集合$S \subseteq X$を相対位相$\mathcal O_S$によって位相空間とみなします.

まず, 包含写像の連続性から, 制限写像の連続性が直ちに分かります.

:::info
lem 制限写像の連続性

$f:(X, \mathcal O_X) \to (Y, \mathcal O_Y)$を連続写像とする. このとき, 写像$f$の$S$への制限$f\!\upharpoonright_S = f \circ i_S : (S, \mathcal O_S) \to (Y, \mathcal O_Y)$は連続である.

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また, 命題1から次の性質も直ちに分かります.

:::info
lem 相対位相における連続性

$f : (W, \mathcal O_W) \to (X, \mathcal O_X)$を連続写像とする. このとき, $f$の$W$による像$f[W] = \{f(w) : w \in W\}$が$S$に含まれるならば, $f$は$(S, \mathcal O_S)$への写像としても連続になる.

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## 直積空間の普遍性

次に, 直積空間の普遍性について説明します.

:::info
prop 直積空間の普遍性

$\{(X_\lambda, \mathcal O_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族とし, $X := \prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$とし, $\mathcal O_X$をその直積位相とする. (ただし, 射影は $p_\lambda : X \to X_\lambda; x \mapsto x(\lambda)\ (\lambda \in \Lambda)$で表す) このとき, 任意の位相空間$(W, \mathcal O_W)$と連続写像の族$(f_\lambda : (W, \mathcal O_W) \to (X_\lambda, \mathcal O_\lambda))_{\lambda \in \Lambda}$に対し, $p_\lambda \circ f = f_\lambda\ (\lambda \in \Lambda)$を満たす連続写像$f : (W, \mathcal O_W) \to (X, \mathcal O_X)$が一意に存在する.

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直積位相の普遍性は直和位相の普遍性の双対的な主張になっています.

:::info
prf

一意存在性は直積集合に関する (集合論の) 一般論から得られる. (存在性 : $f(w) : \lambda \mapsto f_\lambda(w)\ (w \in W)$と定めればよい. 一意性 : 写像の相等性の定義を確かめれば良い) $f$の連続性は先ほどの終位相における連続性から分かる. $\Box$

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実は, 直積空間上で素朴に考えられる位相として直積位相の他に[箱位相](https://en.wikipedia.org/wiki/Box_topology)と呼ばれるものがあるのですが, この普遍性を鑑みると箱位相よりも直積位相を考えたくなる理由が頷けると思います.

この記事は直和位相と商位相の定義とそれらがもつ性質 (普遍性) に関する備忘録です.

## 終位相

次に, **終位相** (initial topology) について説明します. 終位相とは, 位相空間上の写像族に対してその終域に適切に定めた位相のことでしたが,

:::info
def 終位相

$\{(X_\lambda, \mathcal O_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族,$Y$を集合, $(f_\lambda : X_\lambda \to Y)_{\lambda \in \Lambda}$を写像の族とする. このとき, 各$f_\lambda$を連続にする$Y$上の最強の位相のことを **終位相** という.

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特に, $\Lambda$が一元集合のとき, つまり$f : (X, \mathcal O) \to Y$を連続にする最強の位相のことを *像位相* と言います.

終位相を用いることで, (位相空間の) 商集合や直和集合などに, 然るべき位相を (統一的に) 定義することができます.

:::info
def 商位相

$(X, \mathcal O)$を位相空間とし, $\sim$を$X$上の同値関係とする. このとき, 商写像$q : X \to X/{\sim}$に関する像位相$\mathcal O_{\sim}$を **商位相** といい,$(X/{\sim}, \mathcal O_{\sim})$のことを商空間という.

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次に, 直和位相を定義します. 商位相が商集合$X/{\sim}$上に定義された位相であったのと同様に, 直和位相は直和集合上の位相として定義されます.

:::info
def 直和位相

$\{(X_\lambda, \mathcal O_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族とし, $X$を$\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$の直和集合

$$X := \bigsqcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{\lambda\} \times X_\lambda$$

とする. このとき, 包含写像$\iota_\lambda : X_\lambda \to X; x \mapsto (\lambda, x)$ ($\lambda \in \Lambda$) に関する終位相$\mathcal O$を **直和位相** といい, $(X, \mathcal O)$のことを直和空間という.

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定義を与えただけでは扱い辛いので, 簡単な性質を確認しておきます.

:::info
prop 終位相の開集合系

$(f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to Y)_{\lambda \in \Lambda}$に関する終位相の開集合系は次の形で表すことができる :

- $\left\{ U \subseteq Y : \forall \lambda \in \Lambda. f_\lambda^{-1}(U) \in \mathcal O_\lambda \right\}$

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:::info
prf

$\mathcal O$を$(f_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$に関する終位相の開集合系とし,$\mathcal O' := \left\{ U \subseteq Y : \forall \lambda \in \Lambda. f_\lambda^{-1}(U) \in \mathcal O_\lambda \right\}$とする.

このとき, 各$f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to (Y, \mathcal O)$が連続であることから, 任意の$U \in \mathcal O$は$f^{-1}(U) \in \mathcal O_\lambda$となる. 故に, $\mathcal O \subseteq \mathcal O'$である.

一方, 逆像を取る操作が和集合や共通部分を取る操作と可換であることから,$\mathcal O'$が$Y$上の開集合系を成し, その定め方から各$f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to (Y, \mathcal O')$は連続になる. 従って,$\mathcal O$の定義から$\mathcal O' \subseteq \mathcal O$となる.

よって, $\mathcal O = \mathcal O'$である. $\Box$

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この表示から, 商位相や直和位相の (一般的な定義で用いられる) 開集合系の具体的な表示を得ることが出来ます. (今回は使わないので省略します) また, ここから次の終位相に関する写像の連続性を特徴付けることが出来ます.

:::info
prop 終位相における連続性

$(Y, \mathcal O_Y)$を族$(f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to Y)_{\lambda \in \Lambda}$に関する終位相 (空間) とする. このとき, 位相空間の間の写像$g : (Y, \mathcal O_Y) \to (Z, \mathcal O_Z)$について, 次は同値 :

1. $g$は連続.
2. 全ての$\lambda \in \Lambda$に対して, $g \circ f_\lambda : X_\lambda \to Z$は連続.

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:::info
prf

連続写像の合成は連続なので, 1 ならば 2 は明らかである. 逆を示す.

$U \in \mathcal O_Z$を任意に取る. このとき, 任意の$\lambda \in \Lambda$について, $g \circ f_\lambda$は連続なので$(g \circ f_\lambda)^{-1}(U) = f_\lambda^{-1}(g^{-1}(U)) \in \mathcal O_\lambda$である. よって, 終位相の開集合系の表示から$g^{-1}(U) \in \mathcal O_Y$となる. 故に, $g$は連続である. $\Box$

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終位相に関する一般論は以上です.

## 商空間の普遍性

まず, 商空間の性質について説明します. 先ほどの連続性の特徴付けから, 次が直ちに分かります.

:::info
lem 商空間における連続性

$(X/{\sim}, \mathcal O_{\sim})$を位相空間$(X, \mathcal O_X)$の同値関係${\sim}$に関する商空間とする. このとき, 写像$f : (X/{\sim}, \mathcal O_{\sim}) \to (Y, \mathcal O_Y)$について, $f$が連続であることと, 合成写像$f \circ q : (X, \mathcal O_X) \to (Y, \mathcal O_Y)$が連続であることは同値である. (ただし, $q : X \to X/{\sim}$を商写像とする)

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ここから, 次の商空間の普遍性と呼ばれる性質が得られます.

:::info
prop 商空間の普遍性

${\sim}$を位相空間$(X, \mathcal O_X)$の同値関係とし, $f : (X, \mathcal O_X) \to (Y, \mathcal O_Y)$を連続写像とする. このとき, $f$が「任意の$x, x' \in X$について, $x \sim x'$ならば$f(x) = f(x')$」を満たすならば, 連続写像$\tilde f : (X/{\sim}, \mathcal O_{\sim}) \to (Y, \mathcal O_Y)$であって, $f = \tilde f \circ q$を満たすものが一意に存在する.

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:::info
prf

$\tilde f$の一意存在性は商集合に関する (集合論の) 一般論から得られる. (よくあるwell-defined性の議論なので省略する) $\tilde f$の連続性は先述の補題から分かる. $\Box$

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## 直和空間の普遍性

次に, 直和空間の普遍性について説明します.

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prop 直和空間の普遍性

$\{(X_\lambda, \mathcal O_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族とし, $X$を$\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$の直和集合

$$X := \bigsqcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{\lambda\} \times X_\lambda$$

とし, $\mathcal O_X$をその直和位相とする. (ただし, 包含写像は$\iota_\lambda : X_\lambda \to X; x \mapsto (\lambda, x)\ (\lambda \in \Lambda)$で表す) このとき, 任意の位相空間$(Y, \mathcal O_Y)$と連続写像の族$(f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to (Y, \mathcal O_Y))_{\lambda \in \Lambda}$に対し, $f \circ \iota_\lambda = f_\lambda\ (\lambda \in \Lambda)$を満たす連続写像$f : (X, \mathcal O_X) \to (Y, \mathcal O_Y)$が一意に存在する.

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:::info
prf

一意存在性は直和集合に関する (集合論の) 一般論から得られる. (存在性 : $f(\lambda, x) := f_\lambda(x)$ ($(\lambda, x) \in X$) と定めればよい. 一意性 : $X = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \iota_\lambda(X_\lambda)$であることから確かめられる) $f$の連続性は先ほどの終位相における連続性から分かる. $\Box$

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## おわりに

商空間と直和空間の普遍性において, 条件を満たす写像の一意存在性は集合論の一般論によって得られました. ここから, 商位相や直和位相はこれらの集合の性質を位相空間に拡張する為の最も自然な位相だと思えます.