距離空間の完備化の構成とその本質的一意性 はじめに この記事はとある記事のコメントで説明した内容を単体で読めるように加筆・修正したものです. 前提知識は簡単な 微積分 ($\mathbb R$または$\mathbb R^n$上の極限の定義 ($\varepsilon$-$N$論法) と その基本的な性質 (極限の順序の保存など)) と 集合論 (点列 や 商集合 といった概念など) とします. (距離空間の定義等は一応書いておきます. また, 本当は位相空間論の基本的な知識があると望ましいですが, これも仮定しないことにします) 本文 諸概念の定義 まずは, 距離空間における点列の収束といった基本的な概念の定義を述べます. 知っている人は適当に読み飛ばして下さい.

始位相と終位相 この記事では, 始位相と終位相と定義と性質, そしてその具体例 (直積位相と相対位相, 直和位相と商位相) について見ていきます. 始位相 まず, 始位相 (initial topology) について説明します. :::info def 始位相 ${(Y_\lambda, \mathcal O_\lambda)}{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族,$X$を集合, $(f\lambda : X \to Y_\lambda){\lambda \in \Lambda}$を写像の族とする. このとき, 各$f\lambda$を連続にする$X$上の最弱の位相のことを 始位相 という.

ultralimitに関するメモ 最近使ったのでメモ. ちゃんとした説明は需要があれば書きます. 諸概念の定義 以下, $\Lambda$を (空でない) 集合とします. $\Lambda$上の ultrafilter を定義する為に, まずは$\Lambda$上の (普通の) filter を定義します. :::info def filter