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# The Relational Algebra and Relational Calculus
## Relational Algebra Operation from Set Theory

交集，若有兩個Table `R(A1, A2, ... , An)`和`S(B1, B2, ... , Bn)`
包含 UNION、INTERSECTION、SET DIFFERENCE(也叫MINUS或EXCEPT)，皆為二元運算。
- Relatioally Complete: 包含基本集合運算、select、projection。

## Relational Algebra Operations
### 0. ***Select***: $\ \sigma_{select\ condition}(R)$
- SQL CODE

select * from foobar where C1 and C2; #C1, C2為兩相異條件

- 選擇後的Column數量不變，Row數量改變。($deg不變$，但$card$改變。)
### 1. ***Projection***: $\ \pi_{attribute\ list}(R)$
- SQL CODE

select A, B, C from foobar; # A, B, C為三相異attribute

- 限制
1. A, B, C需為`foobar`內所包含的attribute (column)。
2. $deg\searrow$，但$card$不變。
### 2. ***基本集合運算***: (需Union compatible)

#### a. ***Union***: $\ R_1\cup R_2$
- 限制
1. Attribute的數量要對上 $\Longrightarrow deg(A) = deg(B)$
2. 兩對應attribute的domain限制應該要相同,
i.e. $$V \in A\ and\ W \in B \Longrightarrow dom(V) = dom(W)$$
3. $deg$不變，但$card\nearrow$。

#### b. ***Intersection***: $\ R_1 \cap R_2$
- 限制
1. $C = A \cap B \Longrightarrow \forall t \in C,\ t\in A\ and\ t\in B$
2. Attribute的限制也要對上。
3. $deg$不變，但$card\searrow$。

#### c. ***Set difference***: $\ R_1 - R_2$

- 限制
1. 需滿足Attribute的限制
2. $deg$不變，但$card\searrow$。
- 解釋
Given $C = A - B$,

| A | B | -> | C |
| -------- | -------- | ----------| ---- |
| X | X | -> | X |
| X | O | -> | X |
| O | X | -> | O |
| O | O | -> | X |

### 5. ***Cross product***: $A \times B$
卡氏積(只兩資料相乘)
deg(A x B)=deg(A)+deg(B)
card(A x B)=card(A)*card(B)

### 總體對照表(Join的種類) ###
### (下圖拿來對照join) ###

### 6. ***Join***: $A \bowtie B$
deg(A ⋈ B)=deg(A)+deg(B)
0<=card(A ⋈ B)<=card(A)*card(B)

是指將兩關聯表A與B依合併條件合併成一個新的關聯表R ，假設C為合併條件，以A⋈BC表示此合併運算。(有參與的放一起或沒參與的放一起，看題目要求)。


### 7. ***Outer join(s)***: $⟗, ⟕, ⟖$
join的相反，我全都要
A⟗B(非AB條件的R)
outer join = join + 保留不符和

(1)
SELECT * FROM TableA FULL OUTER JOIN TableB ON TableA name = TableB name

A⟕B(非A是B條件的R)
left join = join + 保留左不符合

A⟖B(是A非B條件的R)
right join = join + 保留右不符合


### 8. ***Division***: $A \div B$
R÷S 以第一個表格當被除數，以第二個表格當除數。 第一個關聯表格當作是「被除表」，第二個關聯表格當作是「除表」。此運算是在關聯表格 R中找出包含關聯表格S 中屬性值 的值組。

### 9. ***Outer union(s)***:
把兩個完全不Union compatible的表格硬聯集在一起:
1. 取相異的attributes合成一個新表格。
2. 在原本沒有的屬性上補null。