# Aide pour le DM 2 de spécialité Mathématiques (Terminale) ## Exercice 1 ### 1. b) Effectivement, étudier le signe de la dérivée de $f$ pour obtenir les variations de $f$ sur $]-4;+\infty[$ est une bonne idée. ### 2. b) Revoyez la partie II - C) du chapitre 2 si vous avez un souci. ### 3. Un raisonnement par récurrence est une bonne idée. Le souci est l'hérédité...si on cherche à passer de $0\leq u_n\leq 2$ à $0\leq u_{n+1}\leq 2$ en passant de $u_n$ à $\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$ par opérations élémentaires. Cela va bloquer. Par contre, si vous remarquez que pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$, il suffit d'appliquer la fonction $f$...dont vous connaissez les variations...le passage se débloque en...une étape. Je sais que je n'ai pas donné beaucoup de détails dans ce qui précède...car il est difficile d'en donner un peu plus sans tout dire...mais cela ne me gêne pas. L'important est évidemment que vous ayez compris. Si vous avez appelé votre proposition $\mathcal{P}_n$, on cherche donc à obtenir $\mathcal{P}_{n+1}$ vraie à partir de $\mathcal{P}_n$ vraie. $\mathcal{P}_n$ correspond à $0\leq u_n\leq 2$. $\mathcal{P}_{n+1}$ correspond à $0\leq u_{n+1}\leq 2$. Depuis la question 1.a), on a écrit $u_{n+1}=f(u_n)$ avec une fonction $f$ que vous avez déterminée... Ainsi pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$, il suffit d'appliquer la fonction $f$. Or vous avez normalement montré à la question 1.b) qu'elle était croissante, non ? Par hypothèse de récurrence, vous avez : $0\leq u_n\leq 2$. Comme la fonction $f$ est (strictement) croissante sur l'intervalle $]4;+\infty[$, vous en déduisez : $f(0)\leq f(u_n)\leq f(2)$, soit $f(0)\leq u_{n+1}\leq f(2)$. Je vous laisse calculer $f(0)$ et $f(2)$ pour terminer l'hérédité. ### 4. Une méthode nécessitant peu de calculs est de montrer par récurrence que $u_n\leq u_{n+1}$. D'accord, je vous donne une partie de la réponse : la suite est croissante. D'ailleurs...deux raisonnements par récurrence dans deux questions successives...peuvent peut-être fusionner en une seule, non ? Ce serait drôlement efficace ! ### 5. Pour montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique, il suffit d'exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, puis de remplacer chaque terme $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$. Après simplification de l'expression, on obtient une expression qui correspond à un multiple de $v_n$. J'explicite un peu plus : Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}=\dfrac{\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}+3}=\dfrac{\dfrac{u_n-1}{u_n+4}}{\dfrac{5u_n+15}{u_n+4}}=\dfrac{u_n-1}{u_n+4}\times \dfrac{u_n+4}{5u_n+15}=...=\dfrac{1}{5}\times v_n$ À vous de compléter les pointillés. **6.** Rappel : lorsqu'une suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$, alors, $v_n=v_0\times q^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Une fois que vous avez obtenu une expression de $v_n$ en fonction de $n$, il s'agit d'en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$. Voici le début : Pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$. Donc, $v_n(u_n+3)=u_n-1$. $u_nv_n+3v_n=u_n-1$ $u_n(v_n-1)=-3v_n-1$ $u_n=$... Vous n'avez plus qu'à remplacer $v_n$ par son expression en fonction de $n$... ## Exercice 2 **1. a)** Un petit théorème "du toit" avec des plans bien choisis devrait faire l'affaire... Attention à bien justifier le raisonnement correctement. Il faut faire apparaître TOUS les arguments nécessaires à l'application du théorème. **1.b)** Un plan coupant deux plans parallèles... Attention à bien justifier le raisonnement correctement. Il faut faire apparaître TOUS les arguments nécessaires à l'application du théorème. ## Exercice 3 Je vous rédige le début de la question 1. : Soit $x_0$ et $x_1$ deux réels de l'intervalle I. Les points de coordonnées $(x_0, f(x_0))$ et $(x_1, f(x_1))$ appartiennent à la courbe de $f$. Soit $\lambda\in [0;1]$. Alors $\lambda x_0+(1-\lambda)x_1$ est compris entre $x_0$ et $x_1$. Nous allons le montrer. Quitte à échanger le rôle de $x_0$ et $x_1$, on peut supposer que $x_0\leq x_1$. Alors, comme $x_0\leq x_1$, on a $x_0-x_1\leq 0$. Or $0\leq \lambda \leq 1$. En multipliant chaque membre par $x_0-x_1$, on obtient : $0\geq \lambda(x_0-x_1)\geq x_0-x_1$ En ajoutant à chaque membre $x_1$, on en déduit : $x_1\geq \lambda(x_0-x_1)+x_1\geq x_0$, soit $x_1\geq \lambda(x_0-x_1)+x_1\geq x_0$. Si on a $x_1\leq x_0$, on obtient $x_1\leq \lambda(x_0-x_1)+x_1\leq x_0$. Ainsi, dans tous les cas, $\lambda x_0+(1-\lambda)x_1$ est compris entre $x_0$ et $x_1$. La fonction $f$ étant convexe, sa courbe sur l'intervalle $[x_0;x_1]$ est située en-dessous de sa corde. Ainsi, pour tout $\lambda\in [0;1]$, l'ordonnée du point de la corde d'abscisse $\lambda x_0+(1-\lambda)x_1$ est supérieure à l'ordonnée du point de la courbe de $f$ de même abscisse. Une équation de la corde passant par les points de coordonnées $(x_0, f(x_0))$ et $(x_1, f(x_1))$ est... Je vous laisse poursuivre.