# Aide pour le DM 6

## Exercice 81 p 235

### Question 2.a.

Vous avez à montrer que si $g$ est solution de l'équation (E), alors $h=\dfrac{1}{g}$ est solution de l'équation (E').

Or $g$ est solution de (E) sur $[0;+\infty[$ ssi $g'=\dfrac{g}{4}-\dfrac{g^2}{12}$.

Comme $h=\dfrac{1}{g}$ et comme $g(t)>0$ sur $[0;+\infty[$, alors $h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et $h'=\dfrac{-g'}{g^2}$.

Pour montrer que $h$ est solution de (E') sur $[0;+\infty[$, il faut montrer que pour tout $t\geq 0$,

$h'(t)=-\dfrac{1}{4}h(t)+\dfrac{1}{12}$.

Or pour tout réel $t\geq 0$, $h'(t)=\dfrac{-g'(t)}{g(t)^2}$.

Comme $g$ est solution de (E), on a, pour tout réel $t\geq 0$, $g'(t)=\dfrac{1}{4}g(t)-\dfrac{1}{12}g(t)^2$.

Donc $\dfrac{-g'(t)}{g(t)^2}=\dfrac{-\frac{1}{4}g(t)+\frac{1}{12}g(t)^2}{g(t)^2}=-\dfrac{-\frac{1}{4}g(t)}{g(t)^2}+\dfrac{\frac{1}{12}g(t)^2}{g(t)^2}=...$

Vous devriez pouvoir terminer ;)

## Exercice 70 p 233

Si la méthode d'Euler est trop obscure pour vous, vous avez un lien au début de votre cours sur les primitives et équations différentielles qui devrait vous aider.

Je vous le remets ici : [Equations différentielles](https://mybinder.org/v2/gh/tremulotmaths/notebooksterm/master)

Une fois le dossier ouvert dans votre navigateur, choisissez le fichier "Equations différentielles.ipynb".

Si vous voulez un autre exemple d'utilisation de la méthode d'Euler, je viens de rédiger ceci : [Un exemple d'utilisation de la méthode d'Euler](/dZIbAeLTS9ymXa5NnUUgBQ).

Revenons à l'exercice.

On choisit ici $h=0.1$.

La méthode d'Euler revient à créer la suite de points $M_n\left(x_n;y_n\right)$ tels que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$$\begin{cases}
x_{n+1}=x_n+0.1\\
y_{n+1}=y_n+0.1\times f'(x_n)
\end{cases}$$

Comme $f$ est solution de l'équation différentielle $y'+y^2=4$, on en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f'(x_n)=4-f(x_n)^2$.

On va donc remplacer $f'(x_n)$ par $4-y_n^2$

Je vous laisse finir.

Il faut transformer ces informations en formules pour tableur.

N'oubliez pas que les formules pour tableurs sont du type $\verb+=...+$