# Correction de l'exercice 1 BAC S Amérique du Sud Novembre 2017

## 1.

### a)

$$\forall x>0,\, \varphi(x)=x^2-1+3\ln(x)$$

$\varphi(1)=1^2-1+3\ln(1)=1-1+3\times 0=0$

$\left.\begin{array}{r}\displaystyle \lim_{x\to 0^+}x^2=0^+\\\displaystyle \lim_{x\to 0^+}(-1)=-1\\\displaystyle \lim_{x\to 0^+}3\ln(x)=-\infty\end{array}\right\}$Par somme, $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\varphi(x)=-\infty$.

### b)

Comme somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$, $\varphi$ est dérivable sur $]0;+\infty[$,

et pour tout réel $x>0$,
$\varphi'(x)=2x-0+3\times \dfrac{1}{x}$.

$\varphi'(x)=2x-\dfrac{3}{x}$

$\varphi'(x)=\dfrac{2x^2}{x}-\dfrac{3}{x}$

$\varphi'(x)=\dfrac{2x^2-3}{x}$

$\varphi'(x)=\dfrac{2\left(x-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)\left(x+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)}{x}$

...

Une étude du signe de $\varphi'(x)$ donne :

$\star$ $\varphi'(x)>0$ sur $\left]\sqrt{\dfrac{3}{2}};+\infty\right[$

$\star$ $\varphi'(x)<0$ sur $\left]0;\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right[$

Ainsi,

$\varphi$ est strictement décroissante sur $\left]0;\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right[$ et strictement croissante sur $\left]\sqrt{\dfrac{3}{2}};+\infty\right[$.

Or $\varphi\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)=\dfrac{3}{2}-1+3\ln\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)>0$.

Le minimum de $\varphi$ est strictement positif, donc $\varphi(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.