# Correction de l'automatisme n°10 (vendredi 26/03/21)

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## Question 1.

### Énoncé

Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ d'expression $f(x)=\dfrac{2x-1}{-2x^2+19x-35}$ ?

### Réponse

$f(x)$ existe si, et seulement si, $-2x^2+19x-35\neq 0$.

Résolvons l'équation (E) : $-2x^2+19x-35=0$.

C'est une équation du second degré du type $ax^2+bx+c=0$ avec $a=-2$, $b=19$ et $c=-35$.

Le discriminant est $\Delta=b^2-4ac=81$.

Comme $\Delta>0$, l'équation (E) admet deux solutions réelles distinctes :

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-19-9}{-4}=7$

et

$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-19+9}{-4}=\dfrac{5}{2}$

Par conséquent, l'ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathcal{D}_f=\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right[\cup\left]\dfrac{5}{2};7\right[\cup ]7;+\infty[$.

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## Question 2.

### Énoncé

Quelles expression correspond à la dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sqrt{5x^2+3}$ ?

### Réponse

$g=\sqrt{u}$ avec $u(x)=5x^2+3$.

La fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$.

Par conséquent, $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, avec $u'(x)=10x$ pour tout réel $x$.

Ainsi, pour tout réel $x$, on a :

$g'(x)=\dfrac{10x}{2\sqrt{5x^2+3}}=\dfrac{5x}{\sqrt{5x^2+3}}$.

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## Question 3.

### Énoncé

Quelle expression correspond à la dérivée de la fonction $h$ définie sur $[1;10]$ par $h(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\ln(t)\text{d}t$ ?

### Réponse

Comme la fonction ln est continue et positive sur $[1;10]$, la fonction $h$ est dérivable sur $[1;10]$ et pour tout réel $x\in [1;10]$, $h'(x)=\ln(x)$.

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## Question 4.

### Énoncé

Quelle expression correspond à une primitive de la fonction $\ell$ définie sur $]1;+\infty[$ par $\ell(x)=\dfrac{3x^2}{x^3-1}$ ?

### Réponse

$\ell$ ressemble à $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^3-1$.

La fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur $]1;+\infty[$.

De plus pour tout réel $x>1$, $u'(x)=3x^2$, donc $\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{3x^2}{x^3-1}$.

Ainsi $f=\dfrac{u'}{u}$.

Comme $u>0$ sur $]1;+\infty[$, une primitive de $f$ sur $]1;+\infty[$ est $F=\ln(u)$, soit $F(x)=\ln\left(x^3-1\right)$ pour tout réel $x>1$.

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## Question 5.

### Énoncé

Quelle expression correspond à la primitive qui s'annule en 2 de la fonction $m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $m(x)=\text{e}^{12-x}$ ?

### Réponse

$m$ ressemble $u'\text{e}^u$ avec $u(x)=12-x$.

La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $u'(x)=-1$.

Ainsi, pour tout réel $x$, $u'(x)\text{e}^{u(x)}=-\text{e}^{12-x}$.

Donc $m=-u'\text{u}$ et une primitive de $m$ sur $\mathbb{R}$ est $-\text{e}^u$.

Les primitives de $m$ sur $\mathbb{R}$ sont donc les fonctions du type $x\mapsto -\text{e}^{12-x}+k$ où $k$ est un réel quelconque.

Notons M la primitive cherchée.

$M(2)=-\text{e}^{10}+k$.

Donc $M(2)=0\Leftrightarrow k=\text{e}^{10}$.

Ainsi, la fonction cherchée est $M$ définie sur $\mathbb{R}$ par $M(x)=-\text{e}^{12-x}+\text{e}^{10}$.