# Aide pour le DM 5 (TMATHS 2)

## Exercice 1

1. J'ai une question à propos de la première question de l'exercice 1, est-ce qu'il faut montrer à l'aide d'inéquation et de limite que $1-\dfrac{2}{b}$ est compris entre 0 et 1 pour pouvoir l'ajouter dans le tableau de variation de la fonction? $1-\dfrac{2}{b}$ est la valeur de $x$ pour laquelle je trouve que $f(x)$ est maximal.

Nul besoin de limite ou d'inéquation (pas forcément le bon terme). La condition $b\geq 2$ suffit pour justifier que $1-\dfrac{2}{b}$ appartient bien à l'intervalle $[0;1]$...ce qu'il faut bien faire.

2. Il est possible que cette question vous gêne...

Si on essaye de résoudre l'inéquation $b - 2 + 2 \ln\left(\dfrac{2}{b}\right) \leq 1,6$, on se retrouve devant une équation que l'on ne sait pas résoudre de façon exacte.

On peut donc procéder à tâtons, par exploration à la calculatrice pour donner une réponse.

La méthode la plus complète serait la suivante :

Posons $m$ la fonction définie sur $[2;+\infty[$ par $m(b) = b - 2 + 2 \ln\left(\dfrac{2}{b}\right) = b - 2 + \ln(4) - 2\ln(b)$.

On va montrer que l'équation $m(b)=1,6$ admet une unique solution sur $[2;+\infty[$, montrer que cette valeur nous permettra de répondre à la question, et donner une estimation de la solution de l'équation $m(b)=1,6$ grâce à la calculatrice.

3.

## Exercice 2

### Partie A

1.

2.

### Partie B

1.

2.a)

2.b) Vous savez que $f(\alpha_n)=\dfrac{1}{n}$ et $f(\alpha_{n+1})=\dfrac{1}{n+1}$.
Vous pouvez donc comparer $f(\alpha_n)$ et $f(\alpha_{n+1})$.
En utilisant les variations de la fonction $f$...vous en déduirez une comparaison de $\alpha_n$ et $\alpha_{n+1}$...et donc le sens de variation de la suite $(\alpha_n)$.

2.c)

3.a) Pour montrer l'inégalité $\beta_n\geq n\dfrac{\beta_3}{3}$, on peut montrer l'inégalité équivalente $\dfrac{\beta_n}{n}\geq \dfrac{\beta_3}{3}$.
La définition de $\beta_n$...que je vous laisse écrire...donne : $\ln(\beta_n)=\dfrac{\beta_n}{n}$.
Comme la suite $(\beta_n)$ est croissante...et la fonction ln également...la suite $\left(\dfrac{\beta_n}{n}\right)$ l'est également.
Je vous laisse compléter et finir le raisonnement.

3.b) Limite et ordre...