# Exercice 12 khôlle 25

## 1.

Compte tenu de l'expérience modélisée, on peut affirmer que la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

$\mathbb{P}(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour tout $k\in [| 0; n|]$.

De plus, pour tout $k\in [| 0; n|]$, si l'événement $(X=k)$ est réalisé, il y a $n-k$ questions pour lesquelles l'étudiant répond au hasard avec une probabilité $\frac{1}{4}$ de réussir :

Ainsi, pour tout $j\in [| 0; n-k|]$, on a :

$\mathbb{P}(Y=j|X=k)=\dbinom{n-k}{j}\left(\dfrac{1}{4}\right)^j\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-k-j}$

La variable Z prend ses valeurs dans $[|0;n|]$.

Pour $k\in [|0;n|]$, l'événement $(Z=k)$ peut être décomposé en la réunion disjointe des événements $(X=j)\cap (Y=k-j)$ avec $j\in\left\{0,1,...,k\right\}$.

Ainsi

$\displaystyle\mathbb{P}(Z=k)=\sum_{j=0}^{k}\mathbb{P}((X=j)\cap (Y=k-j))$.

Or $\mathbb{P}((X=j)\cap (Y=k-j))=\mathbb{P}(X=j)\times \mathbb{P}((Y=k-j)|(X=j))$

Ainsi

$\displaystyle\mathcal{P}(Z=k)=\sum_{j=0}^{k}\dbinom{n-j}{k-j}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{k-j}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-k}\dbinom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}$

Or $\dbinom{n-j}{k-j}\dbinom{n}{j}=\dfrac{n!}{(k-j)!(n-k)!j!}=\dbinom{k}{j}\dbinom{n}{k}$

On en déduit :

$\displaystyle\mathcal{P}(Z=k)=\dbinom{n}{k}(1-p)^{n-k}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-k}\sum_{j=0}^{k}\dbinom{k}{j}\left(\dfrac{1}{4}(1-p)\right)^{k-j}p^j$

Par la formule du binôme, on obtient :

$\displaystyle\mathcal{P}(Z=k)=\dbinom{n}{k}(1-p)^{n-k}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-k}\left(\dfrac{1}{4}(1-p)+p\right)^k$

On simplifie :

$\displaystyle\mathcal{P}(Z=k)=\dbinom{n}{k}q^k(1-q)^{n-k}$ avec $q=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}p$.

Ainsi $Z\hookrightarrow \mathcal{B}(n;q)$ avec $q=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}p$.

## 2.

$E(Z)=\dfrac{(3p+1)n}{4}$
et $V(Z)=\dfrac{3n(3p+1)(1-p)}{16}$.