# Un exemple d'utilisation de la méthode d'Euler

Prenons l'exemple d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, solution de l'équation différentielle $y'=2y+1$ et telle que $f(0)=2$.

La **méthode d'Euler** permet de construire une courbe aprochée de la solution à un problème similaire à celui qui est présenté.

*Remarque : On sait résoudre ce type d'équation différentielle. On pourra donc comparer ce que donne la méthode d'Euler avec la solution exacte.*

On va construire au fur et à mesure des points qui, en les reliant, donneront un ensemble proche de la courbe de la solution exacte, sans chercher (ou connaître) cette solution exacte.

En tout cas, c'est l'objectif.

On peut déjà placer le point $M_0(0;2)$ dans le plan, car on sait que $f(0)=2$.

Ce point de départ est sur la courbe que nous la allons construire, mais également sur la courbe de la solution exacte.

On rappelle que pour tout réel $a$, la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ admet pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Et au voisinage du point d'abscisse $a$, la tangente et la courbe de la fonction $f$ sont proches. C'est cette idée que nous allons utiliser pour construire nos points.

Commençons avec $a=0$.

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ (c'est-à-dire le point $M_0$) admet pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$, soit $y=f'(0)x+2$.

Comme $f$ est solution de l'équation différentielle $y'=2y+1$, on sait que $f'(0)=2f(0)+1$, soit $f'(0)=2\times 2+1=5$.

Ainsi la tangente à la courbe de $f$ en $M_0$ admet pour équation $y=5x+2$.

Pour $x$ proche de $0$, on a donc $f(x)\approx 5x+2$, puisque la courbe de $f$ et la tangente sont proches.

Il faut ici fixer les choses et choisir ce que l'on considère comme "proche".

Choisissons par exemple un écart $h=0,1$ entre les abscisses des points que nous allons construire.

Si on considère que 0,1 est proche de 0, alors l'approcimation précédente nous donne :

$f(0,1)\approx 5\times 0,1+2$, soit $f(0,1)\approx 2,5$.

Contruisons le point $M_1$ de coordonnées $(0,1;2,5)$.

D'après ce qui précède, il doit se situer proche de la courbe de $f$.

On repart du point $M_1$.

En son point d'abscisse $0,1$, la courbe de $f$ admet une tangente d'équation $y=f'(0,1)(x-0,1)+f(0,1)$.

On ne connaît pas $f(0,1)$, mais ce qui précède nous donne :

$f(0,1)\approx 2,5$.

De plus, comme $f$ est solution de l'équation $y'=2y+1$, on a $f'(0,1)=2f(0,1)+1$, donc $f'(0,1)\approx 2\times 2,5+1=6$.

Une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $M_1$ est donc "proche" de $y=6(x-0,1)+2,5$.

En considérant que pour $x$ proche de $0,1$, on a $f(x)\approx 6(x-0,1)+2,5$, on va construire le nouveau point $M_2$ en choisissant $x=0,2$.

On obtient $f(0,2)\approx 6\times 0,1+2,5=3,1$.

On construit donc le point $M_2$ de coordonnées $(0,2;3,1)$.

On va généraliser.

Supposons que nous avons construit le point $M_n$ pour $n\in\mathbb{N}$. On va construire le point $M_{n+1}$ avec le même procédé.

En notant $(x_n;y_n)$ les coordonnées du point $M_n$, on a :

$x_{n+1}=x_n+h$ (ici, on a choisi $h=0,1$).

Au point d'abscisse $x_n$, la tangente à la courbe de $f$ admet pour équation $y=f'(x_n)(x-x_n)+f(x_n)$.

Or $f(x_n)\approx y_n$ et $f'(x_n)=2f(x_n)+1\approx 2y_n+1$ (puisque $f$ est solution de l'équation différentielle $y'=2y+1$).

On en déduit que la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_n$ admet une équation "proche" de $y=(2y_n+1)(x-x_n)+y_n$.

Pour $x$ proche de $x_n$, on a $f(x)\approx (2y_n+1)(x-x_n)+y_n$.

En prenant $x=x_{n+1}$, on a donc :

$f(x_{n+1})\approx (2y_n+1)(x_{n+1}-x_n)+y_n=(2y_n+1)\times h+y_n$.

On va donc construire le point $M_{n+1}$ de coordonnées $(x_{n+1};y_{n+1})$ avec

$\begin{cases}x_{n+1}=x_n+h\\y_{n+1}=(2y_n+1)\times h+y_n\end{cases}$.

On peut placer les points ainsi définis et en les reliant obtenir une courbe approchée de la courbe de $f$.