# Aide concernant le DM 1 de spé Maths

## Question 1 Partie A

Concernant la partie a, question 1, quand vous dîtes déterminer $f'(0)$ ou $f'\left(\dfrac{5}{2}\right)$ je ne comprends pas à quoi correspond $f'$.

### Ma réponse

De façon général, lorsque $f$ est une fonction dérivable en un réel $a$, $f'(a)$ est le **coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$**.

Ici, nous n'avons pas d'expression de $f(x)$.

On va donc utiliser la courbe et le rappel ci-dessus.

Par exemple $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.

## Question 2 Partie A

Je ne comprends pas comment on doit procéder pour la question 2 de la partie 1.

### Ma réponse

Vous connaissez le lien entre les variations d'une fonction et le signe de sa dérivée (cf théorème 1 du chapitre 1).

À ce stade, nous n'avons pas d'expression, mais la représentation graphique.

À partir de la représentation graphique, on peut déterminer les variations de la fonction et en déduire le signe de la dérivée.

On peut par exemple déterminer le signe de $f'(5)$...et également le signe de $f'(2)$.

En utilisant la propriété de 5ème sur la régle du signe d'un produit de deux expressions, on sait donc si l'affirmation "$f'(-5)\times f'(2)\leq 0$" est correcte.

## Question 1 Partie B

Pour la question 1 de la partie B, j'ai dérivé $u(x)$ et $v(x)$, cependant quand je calcule, j'obtiens des résultats étranges.

### Ma réponse

L'expression donnée de $f(x)$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$.

Or, si $u$ est dérivable, $v$ est dérivable et $v$ ne s'annule pas, alors $f$ est dérivable et $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Je pense que vous savez dériver les fonctions $u$ et $v$.

Le dénominateur de $f'(x)$ va directement ressembler à celui que l'on vous demande d'obtenir.

Pour le numérateur, c'est-à-dire $u'(x)v(x)-u(x)v'(x)$, je conseille de développer l'expression que vous allez écrire.

Vous devriez pour factoriser votre expression par $2x^2$ et obtenir le résultat attendu.

**Mise à jour du 09/09 pour cette question**

Certains semblent avoir des soucis pour déterminer une expression de $f'(x)$.

Voici donc une aide supplémentaire :

$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^3+x^2-4x+5$ et $v(x)=2x^2-8x+10$.

Donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=3x^2+2x-4$ et $v'(x)=4x-8$.

Ainsi, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\left( 3x^2+2x-4\right)\left( 2x^2-8x+10\right)-\left( x^3+x^2-4x+5\right)\left( 4x-8\right)}{\left( 2x^2-8x+10\right)^2}$

À partir de là, vous devez développer le numérateur.

Attention à deux points :

- lors d'un produit de deux parenthèse, vous devez distribuer chaque terme de la première parenthèse sur chaque terme de la deuxième
- lorsque vous aurez développé ce qui correspond à $u'(x)v(x)$ et également ce qui correspond à $u(x)v'(x)$, il faudra soustraire cette deuxième partie...et cela changera tous les signes

Le développement de $u'(x)v(x)$ doit vous donner :

$6x^4-24x^3+30x^2+4x^3-16x^2+20x-8x^2+32x-40$

Le numérateur entier doit être, une fois simplifié :

$2x^4-16x^3+30x^2$...ce qui est factorisable par $2x^2$.

**Petit rappel : le module de calcul formel de Geogebra peut vous permettre de vérifier tous vos calculs.**

## Partie C

Pour la partie C, je ne me rappelle plus comment répondre aux questions ...

### Ma réponse

Ne faites pas appel à votre mémoire pour essayer de faire ressembler une question à une autre.

Il faut comprendre ce qui est en jeu ici.

Vous ne le voyez peut-être pas directement (et ce n'est pas étonnant, pas de panique), mais si vous connaissez les variations de la fonction F, vous pouvez répondre aux questions.

Ici on a $F'=f$.

Or, il y a un lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction (Théorème 1 du chapitre 1).

Ici, cela donne :

- si $F'$ est positive sur un intervalle, alors $F$ est croissante sur cet intervalle

- si $F'$ est négative sur un intervalle, alors $F$ est décroissante sur cet intervalle

Autrement dit, puisque $F'=f$,

- si $f$ est positive sur un intervalle, alors $F$ est croissante sur cet intervalle

- si $f$ est négative sur un intervalle, alors $F$ est décroissante sur cet intervalle

Grâce aux parties précédentes, vous devriez obtenir le signe de $f(x)$ et donc connaître les variations de $F$...et pouvoir répondre aux questions.