# Exp of Formal Power Series

通常の Newton 法(漸化式は $f \leftarrow f (t+1- \log f)$ )を知っている前提とします
$\log$ を漸化式から除くやり方が記事を探しても見当たらなかったのでメモ

### やり方

$f$ の精度(次数)が $m$ 次まで保証されているときの漸化式を考えます
メインアイデアは、 $g \equiv \frac{1}{f} \bmod {x^m}$ を満たす $g$ を $f$ の更新と同時に計算することです
$fg \equiv 1 \bmod {x^m}$ かつ $f' \equiv t'f \bmod {x^m}$ より、 $f$ の漸化式は

$\begin{align}
f &\leftarrow f(t+1-\log f) \\
&= f - f(\int \frac{f'}{f} dx-t) \\
&\equiv f - f \{\int \{\frac{f'}{f}+(fg-1)(\frac{f'}{f}-t')\} dx - t \} \bmod x^{2m} \\ &(\because (fg-1)(\frac{f'}{f}-t') \equiv 0 )\\
&= f - f \{\int \{g(f'-f t')+t'\} dx - t \} \\
\end{align}$

と書き換えられます
また、 $g$ の精度(次数)を2倍に上げるには、 Inv of Formal Power Series と同様に $g \leftarrow g - (fg-1)g$ として更新できます

よって、 $f,g$ 各々の漸化式が閉じた形で書けたので、 $\log$ を使わずに計算することができます

### 実装例
https://judge.yosupo.jp/submission/7575