# 數學 2 ---- 我之前用 slides.com 用到暴氣，所以我用 hackmd --- ## 微積分 ---- ## 極限 ~~不想好好定義，我又不是數學家~~ 物辯的內容用不到，我先溜，有興趣再看 hyc 的物讀的講義 --- ## 微分 可以理解成切線斜率，據說其實不只是這樣但我數學不好。 我們可以找一個很小的一段距離 $h$，那 $f(x)$ 在 $x_0$ 的切線斜率就是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的微分: $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x_0 + h) - f(x_0)} {h}$$ ---- 並定義函數f(x)的微分(導函數): $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x + h) - f(x)} {h}$$，也可以寫作 $\frac {d} {dx} f(x)$ ---- 例如 : 求 $y = f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 時的切線斜率。 $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac {(1 + h)^2 - 1^2} {h} = 2$$ ---- ### 基礎運算 $[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$ 痾因為分數加法 ---- $[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$ $$\lim_{h \to 0} \frac {f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)} {h}$$ $\lim_{h \to 0} \frac {f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x + h) + f(x)g(x + h) - f(x)g(x)} {h}$ $\lim_{h \to 0} \frac {(f(x + h) - f(x))g(x + h) - f(x)(g(x + h) - g(x))} {h}$ ---- $$[\frac {f(x)} {g(x)}]' = \frac {f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{[g(x)]^2}$$ $t = \frac {f} {g}$ $[tg]' = t'g + g't = f'$ $t' = \frac {f' - g't} g$ ---- ### 鏈鎖律 $$f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)$$ $$\frac {df} {dx} = \frac {df} {du} \frac {du} {dx}$$ ---- ### 反函數 $(f(g))' = 1, f'(g) = \frac 1 {g'}$ 或是說 $$\frac {dx} {dy} \frac {dy} {dx} = 1$$ ---- ### 多項式 & 三角函數 $$(x^n)' = nx^{n - 1}$$ $(\sin x)' = \cos x$ $(\cos x)' = \sin x$ (因為當$\theta \to 0$, $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta$) 蝦，剩下四個三角函數就用上面的推一推啊 ---- ### 指對數 $(e^x)' = e^x$ $(\ln x)' = \frac 1 x$ ---- 真的有聽懂嗎 $(x \ln x)' =$ :::spoiler Ans $1 + \ln x$ ::: $(\arcsin x)' =$ :::spoiler Ans $$\frac 1 {\sqrt{x^2 + 1}}$$ ::: --- ## 微分有啥用? 很常出現的就是對時間微分就是瞬時變化量，例如速度、加速度、功率等 喔然後對時間微分一般會用上面加個點，例如 $a = \ddot x$ --- ## 積分 可以理解成曲線下的面積，據說其實不只是這樣但我數學不好。 可以想成切很多個小塊的， $$\int_l^r f(x) dx = \lim_{n \to \inf} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$$ $$\Delta x = \frac {r - l} n, x_i = l + i \Delta x$$ ---- ### 有這等好事? $$F(x) = \int_a^x f(u) du \implies f(x) = F'(x)$$ $$f(x) = F'(x) \implies \int_l^r f(x) dx = F(l) - F(r)$$ 有欸 ---- ### 不定積分 $F'(x) = f(x)$ $$\int f(x)dx = F(x) + C$$ ---- 技巧很多，但大部分都是用微分的方法去推的，反正不會就查表。 --- ## 微分方程式 教練，我想簡諧! 黃石老人 : 聽到了 ---- ### 看個彈簧 我們知道 $F = ma = -kx$，但 $a = \frac {d^2 x} {dt^2}$，所以我們有 $$m \ddot x = -kx$$，這是一個有函數的導數的方程式，叫微分方程式。 ---- ### 要怎麼系統性的解? 用移項把變數分離，讓他便可以積分的，或是很聰明地對他做事。 ---- ### 猜猜樂 一階或二階的基本上都可以使出猜猜樂，猜什麼 $f(x) = e^{\gamma x}$ 這一類的，然後好好算數學。 ---- ### 查表 在這個世代的好處就是，我們不用背，我們可以查資料