Thì senpai của mình - [**flo**](https://codeforces.com/profile/Sayu-chan) mới phát hiện ra(thật ra có trên wiki) một cách để tính $a \div b \mod m$, mình sẽ gọi đó là $\text{Floorz theorem}$.
[**Đây**](https://lqdoj.edu.vn/problem/power01/editorial) đây là nguồn cảm hứng để mình viết bài này, chỉ có một phần nhỏ, nhưng blog đó và wiki không có phần chứng minh cho định lý phụ, nên là mình sẽ chia sẻ cho mn xd.
- $m$ có thể là bất kì số nguyên nào.
- Vấn đề là bạn không thể tính $a \div b \mod m$ nếu $m \times b$ nằm ngoài khoảng giá trị của kiểu dữ liệu của bạn.
- Python có thể giải quyết vấn đề trên xd.
- Xin lỗi các bạn vì mình mới tập dùng LaTeX, các bạn có thể comment để mình biết lỗi sửa :sob:
- Btw $\text{floorz}$
### 1. Bổ để
$a \mod m = b$
$\rightarrow a = x \times m + b \text{ với } x \text{ là thương}$
$\rightarrow a \times k = x \times m \times k + b \times k \text{ với } k \text{ là số nguyên bất kì}$
$\text{Vì } m > b \text{ nên } m \times k > b \times k$
$\rightarrow a \times k \mod (m \times k) = b \times k$
### 2. $\text{Định lý Floorz}$
$a \div b \mod m = c$
$\rightarrow (a \div b \times b) \mod (m \times b) = c \times b$
$\rightarrow a \mod (m \times b) = c \times b$
$\rightarrow a \mod (m \times b) \div b = c$
$\text{Vậy } a \div b \mod m = a \mod (m \times b) \div b$

Cảm ơn vì đã đọc, $\text{floorz}$ btw.