李威儀教授物理(二) 期中

李威儀教授物理(二) 期中 === > [!Note] > **本文為歷屆威儀老師的考古統整** > **113、111、110、101、100、99、98年考古** > `NCTU` `NYCU` `CS` `course` ## 期中 ### CHAPTER 17 The Beginning of the Quantum Story - **99年期中考題** **請儘量清楚且詳細的解釋在光電效應中，光電流立即產生且與入射的強度無關的現象為何在古典物理無法解釋。** :::spoiler ans 古典物理認為光是一種波動，其能量與振幅的平方成正比，也就是與光的強度有關。因此，古典理論預測： - 光的強度應該決定光電流的大小，以及逸出光電子的最大起始動能。 - 光電效應的產生應該與光的頻率無關，只要強度足夠，就應能釋出電子。 - 電子必須經過一段時間累積能量後，才能獲得足夠能量逸出金屬表面。然而，實驗結果卻完全違背這些預測： - 實驗發現：光電子的最大起始動能與光的頻率有關，而與光強度無關。 - 只要光的頻率高於某一臨界頻率（稱為「截止頻率」），即使光強度很弱，也會立即產生光電流。 - 相反地，若光的頻率低於這個臨界值，即使再強的光照射，也無法釋出任何電子。 - 此外，光電效應幾乎是瞬間發生的，沒有任何可觀察的時間延遲，這也否定了能量需「累積」的假設。這些實驗事實顯示，古典物理無法解釋光電效應中「立即產生光電流」及「與頻率有關」的特性，必須透過愛因斯坦的光子理論（即量子理論）來加以說明。 ::: - **99年期中考題** **請寫出量子力學中光子的動量 $p$ 與光的波長 $λ$ 之間的關係** :::spoiler ans $$ p= \dfrac{h}{λ} $$ ::: - **100、110、113年期中考題** **普朗克提出原子的簡諧振盪體有能量量子化的現象，但為何日常生活中的簡諧振盪體似乎觀察不出此種現象？請清楚解釋並舉例說明。** :::spoiler ans - Explain 因為我們生活中接觸的「簡諧振盪器」（如：鐘擺）其能量遠大於量子化的單位能量 ```hf``` - Example Assume ($m = 10 \ \text{kg}$) attached to a springspring constant ($k = 10^3 \ \text{N / m}$) initial amplitude ($A = 0.1 \ m$) $$ \to E = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}\times10^3 \times(0.1)^2 = 5\ \ \text{J} $$ $$ \to v = \dfrac{1}{2\pi} ( k/m )^{\dfrac{1}{2}}= 1.59\ \ \text{Hz} $$ separation between adjacent energy level : $$ E = hv = 6.63\times10^{-34}\times1.59 = 10^{-33} \ \ \text{J} $$ --- >[!tip]total >由於普朗克常數非常小，相鄰量子能級間的間隔 $Δ𝐸$ 也非常小，相較於量子簡諧振子（QHO）的總能量 $E$，這種量子化效應在日常生活中完全無法被察覺，這正是古典物理未發現量子效應的原因。 >[!note] > 這裡的計算基於 Planck 量子假設，但僅適用於量子簡諧振子，而非經典彈簧振子。 ::: - **100、110、113年期中考題** - **試繪出「光電效應」實驗設備的簡圖，並標明此實驗中的四個可變或量測參數並詳細說明之。** :::spoiler ans ![image](https://hackmd.io/_uploads/BJyQeZmp1l.png) --- - $I \to$ ```light Intensity```（光強度）: 單頻入射光的強度 - $ν \to$ ```light Frequency```（光頻率）: 單頻入射光的頻率 - $V \to$ ```Retarding Potential```（減速電壓）: 用來阻擋光電子前進的電壓。當減速電壓達到截止電壓 $V_0$ 時，光電子無法克服電位能，因此光電流 $i = 0$。 - $i \to$ ```photocurrent```（光電流）: 從金屬板射到集電板的光電子在迴圈中的電流（由安培計測得） ::: - **請以以上觀念儘量解釋以下實驗圖表的含意** ![image](https://hackmd.io/_uploads/B1jmHv6TJx.png) :::spoiler ans - 固定減速電壓 ```V``` 及光頻率 ```v``` - 實驗結果：在固定的減速電壓 ```V``` 及光頻率 ```v``` 下光強度與光電流成正比 ::: - **請以以上觀念儘量解釋以下實驗圖表的含意** ![image](https://hackmd.io/_uploads/HkHE8DpTkl.png) :::spoiler ans - 固定光頻率 ```v```，在不同光強度 ```I``` 下 - 實驗結果：固定光頻率 ```v``` ，調整光強度 ```I``` 並觀察減速電壓 ```V``` 對光電流 ```i``` 的影響結果顯示，光強度越大，光電流 ```i``` 越大，但截止電壓 ```V_0``` 與光強度無關。當減速電壓達到截止電壓 ```V_0``` 時，無論光強度大小，光電流均為零。 （另外有以上述描述畫圖的考法） ::: - **100、106、111、113年期中考題** - **請儘量清楚的說明量測取得原子（例如：氫原子）的發射光譜 ```emission spectrum```** :::spoiler ans 原子的發射光譜 ```emission spectrum``` 是當原子吸收能量後，電子被激發到高能階，再回到低能階時所釋放出的光。這些光具有特定的波長，形成具有特徵性的光譜線。量測方法簡單如下： 1. 把氫氣裝進放電管，接上高壓電。 2. 電流激發氫原子的電子跳到高能階。 3. 電子回到低能階時，釋放出光。 4. 用光譜儀（或光柵）把光分解，觀察光譜線。 5. 每條光譜線代表電子在不同能階間的跳躍。 ::: - **請儘量清楚的說明原子的發射光譜與黑體輻射的光譜有什麼重大不同？** :::spoiler ans 1. 原子光譜：原子光譜是電子吸收能量後產生的一條條不連續的光譜線 2. 黑體輻射：黑體輻射是隨溫度決定的連續光譜帶 ::: - **為何古典物理無法解釋原子的穩定性及其光譜特性？** :::spoiler ans 古典的原子行星模型中圍繞原子的電子因為帶電，所以會產生磁場、電場，進而產生電磁波，而有能量的損失。此時電子應該會螺旋墜到原子核上，而且產生的光譜應該各種頻率都有，為連續光譜。此結果與原子的變頻光譜不同，因此無法解釋，而且也不穩定。 ::: - **101、111年期中考題** - 請儘量解釋清楚而準確的定義怎樣才是一個理想的黑體(```Blackbody```) :::spoiler ans 黑體：電磁波的完全吸收體及放射體 ::: - **請儘量清楚的解釋為什麼留下一個小孔的空腔（```cavity```）可以被視為近似於一個理想的黑體。** :::spoiler ans 留下一個小孔的空腔（cavity）可以近似地模擬一個理想的黑體，這是因為：空腔內部的表面會多次反射進入的輻射。每一次反射都會消耗一部分能量，但反射後的輻射仍會繼續在空腔內傳播，並再次被牆壁部分吸收。由於小孔的尺寸非常小，這樣的空腔會使得任何從外部進入的輻射幾乎無法逃脫。進入小孔的輻射在空腔中經過多次反射後，最終大部分能量都會被內壁吸收，這使得小孔表現出近似於黑體的吸收特性。此外，當空腔處於熱平衡時，內部的熱輻射會遵循普朗克黑體輻射定律。透過小孔向外發出的輻射光譜就與理想黑體輻射一致，因此這種結構不僅在吸收方面近似黑體，在發射方面也能模擬黑體行為。因此，具有小孔的空腔在實驗上常被用來作為理想黑體的近似模型，用以研究熱輻射的性質與黑體輻射光譜。 ::: - **請儘量清楚及準確的解釋如何利用留有一個小孔的空腔來量測黑體輻射頻譜（```spectrum of a black body```）** :::spoiler ans 首先，將一個小孔空腔加熱到所需的溫度，這樣空腔內的表面就會發射出輻射，並且這些輻射的波長分布會接近黑體輻射的規律。通過在空腔的小孔外部安裝適當的測量設備（如光譜儀），可以捕獲這些從小孔漏出的輻射。由於小孔非常小，這些輻射幾乎來自於整個空腔的內部表面，這樣可以近似地測量到黑體的輻射頻譜。測量到的輻射頻譜反映了空腔內的溫度，並可以根據普朗克定律來分析。 ::: - **請儘量清楚清楚而準確地畫出黑體輻射頻譜在不同溫度時的變化。** :::spoiler ans ![image](https://hackmd.io/_uploads/HkRV0XH61g.png) ::: - **101年期中考題** **在浦朗克解釋黑體輻射的第二個假設中什麼東西被量子化了？** :::spoiler ans - 原子簡諧振蕩體收放的能量 ::: - **110年期中考題** **請儘量清楚清楚而準確地畫出拉賽福用α粒子撞擊薄金屬箔紙，並解釋實驗結果。** :::spoiler ans 在拉賽福的實驗中，將電子打在極薄的金箔上，發現多數電子穿過金箔打在後方的屏幕上，表示原子內部多數區域空無一物，質量聚集在極小的點上，只有少數電子與其作用而大角度散射。此帶正電荷且極小的區域即為原子核。 ::: - **111年期中考題** **根據普朗克的黑體輻射理論，原子的輻射能量是以不連續性的變化。如果這個理論也適用於一般的熱幅輻射，那麼什麼我們在日常生活中經驗的熱幅輻射卻沒有顯示到這種能量量子化的特徵呢？請儘量清楚地舉例並說明。** :::spoiler ans >[!Note] > $E=hf$ 因為 $h$ 很小，因此在巨觀粒子中上看不到量子化的現象。普朗克的黑體輻射理論確實指出輻射能量是量子化的，但這種量子化效應對於日常熱輻射而言並不明顯，原因在於： - 在日常生活中，我們接觸的輻射波長範圍廣泛，且單個光子的能量非常小，難以察覺。 - 宏觀尺度上的輻射是大量光子集體行為的結果，這使得熱輻射表現為連續的能量分佈。因此，我們所經歷的熱輻射大多表現為一個連續的過程，而沒有顯示出單個量子化光子的特徵。 ::: --- ### CHAPTER 18 Atomic Models - **99年期中考題** **請準確並清楚的解釋何謂 ```stimulated emission``` 並舉出並說明在 ```stimulated emission``` 過程中會發生的三個主要特徵?** :::spoiler ans - **stimulated emission** 電子在準穩態 ```metastable state```，接收到剛好滿足準穩態和低能階之間能量差的光子入射並撞擊該電子後，電子躍遷回低能階且放射出兩個方向相同且同步的光子，稱為受激發射 ```stimulated emission```。 - 三個主要特徵 - 放大作用（光子一進二出） - 同向性 - 同相性 ::: - **100、110、111、113年期中考題** **產生雷射必須要有 ```population inversion``` 和 ```metastable``` ，請清楚說明何謂```population inversion``` 及 ```metastable```，並解釋為何需要```population inversion``` 及 ```metastable```才能產生雷射？** :::spoiler ans 在自然狀況下電子會趨近於低能階，使低能階比高能階有更多電子 - ```population inversion``` : 在激發狀態的粒子數多於相較之下較低能量態的粒子數 (數量反轉) - ```meta-stable``` : 一個讓電子可以停留在激發態較久的高能量態，因此更容易受激輻射。 - 電子在準穩態 ```metastable state```，接收到剛好滿足準穩態和基態 ```ground state``` 之間能量差的光子入射並撞擊該電子後，電子躍遷回基態且放射出兩個方向相同且同步的光子，稱為受激發射 ```stimulated emission```，垂直於兩側鏡面的光子會來回反射，重複以上過程，直到累計一定數量後，從不是 100 % 反射的鏡子中射出。 ::: - **98、99年期中考題** **The emission spectrum of a given system consist of six different frequencies : $1.5\times10^{15}$ Hz , $2.7\times10^{15}$ Hz , $3.5\times10^{15}$ Hz , $4.2\times10^{15}$ Hz , $6.2\times10^{15}$ Hz , $7.7\times10^{15}$ Hz . Choose the ground-state energy to be $E_0 = 0$ .** - What are the energies of the excited states of the system ? :::spoiler ans $$E=hf$$ --- 1. $E_1 = f_1 \times h = (6.626 \times 10^{-34}) \times (1.5 \times 10^{15})\\ = 9.94 \times 10^{-19} \text{ J} ≈ 6.2 eV$ 2. $E_2 = f_2 \times h = (6.626 \times 10^{-34}) \times (2.7 \times 10^{15}) \\ = 1.79 \times 10^{-18} \text{ J} ≈ 11.2 eV$ 3. $E_3 = f_3 \times h = (6.626 \times 10^{-34}) \times (3.5 \times 10^{15}) \\ = 2.32 \times 10^{-18} \text{ J} ≈ 14.5 eV$ 4. $E_4 = f_4 \times h = (6.626 \times 10^{-34}) \times (4.2 \times 10^{15}) \\ = 2.78 \times 10^{-18} \text{ J} ≈ 17.3 eV$ 5. $E_5 = f_5 \times h = (6.626 \times 10^{-34}) \times (6.2 \times 10^{15}) \\ = 4.11 \times 10^{-18} \text{ J} ≈ 25.5 eV$ 6. $E_6 = f_6 \times h = (6.626 \times 10^{-34}) \times (7.7 \times 10^{15}) \\ = 5.10 \times 10^{-18} \text{ J} ≈ 31.7 eV$ --- - $n = 0 \to 0$ - $n = 1 \to 14.5eV$ - $n = 2 \to 25.5eV$ - $n = 3 \to 31.7eV$ ::: - Show which transitions give rise to each of the six frequencies. :::spoiler ans 1. $n_3 \to n_2 \equiv E_1$ 1. $n_2 \to n_1 \equiv E_2$ 1. $n_1 \to n_0 \equiv E_3$ 1. $n_3 \to n_1 \equiv E_4$ 1. $n_2 \to n_0 \equiv E_5$ 1. $n_3 \to n_0 \equiv E_6$ ::: - **101年期中考題** **請解釋雷射為何有很好的方向性** :::spoiler ans 激發後的原子會自發放出光子，方向各異。共振腔中，只有垂直兩面鏡子的光子能在腔內來回反射，其餘方向的光會逸出或干涉消失。這些來回反射的光子會引發受激輻射，產生更多方向、頻率、相位都一致的光子。當光子數量達到臨界值時，部分光會從半透明鏡射出，形成具有高度方向性的雷射光。 ::: --- ### CHAPTER 19 Fundamental Principles of Quantum Mechanics - **98、99、111年期中考題** **請說明何為```Heisenberg Uncertainty Principle```，並解釋為何在巨觀粒子中很難觀察到```Heisenberg Uncertainty Principle``` 所描述的現象？** :::spoiler ans $$Δp \cdot Δx ≧ \bar h$$ 約化普朗克常數 $\bar h$ 非常小，只有在原子或電子等微觀粒子的尺度下才會顯現出明顯的不確定性。巨觀物體的質量大，動量大，因此即使位置或動量有微小的不確定性，整體來說影響可以忽略不計。例如：一個棒球的位置差一奈米，對觀察者來說完全無感。 ::: - **99、100、101、110、111、113年期中考題** **請儘量清楚而準確的說明何謂```Copenhagen Interpretation```。** :::spoiler ans 物質波或粒子波所代表的是粒子出現機率的機率波。 ::: - **請儘量清楚的解釋連續發射單電子的雙狹縫干涉實驗 ```double-slit experiment with series of single electron emissions```如何證實了```Copenhagen Interpretation```** :::spoiler ans 當電子一顆一顆地通過雙狹縫時，雖然每次只看到一個點，但長時間累積下來會形成干涉條紋，表示電子具有波動性，可以自我干涉。這符合哥本哈根詮釋的說法：電子在未被觀測前以波的形式存在，具有機率性；一旦被觀測（如打在螢幕上），波函數就會坍縮，表現為一個確定的位置。因此，這個實驗證實了哥本哈根詮釋中「粒子具有波動性」和「觀測會影響結果」的觀點。 ::: - **99年期中考題** **請問何謂 ```de Broglie Hypothesis``` ? 並請標明所運用到的參數。** :::spoiler ans - $λ = \dfrac{h}{p}$ - λ = 德布羅伊波長、p = 粒子動量 - $ν = \dfrac{E}{h}$ - E = 粒子能量、h = 普朗克常數 The motion of a particle is governed by the wave propagation propertiesof a “pilot” wave called matter wave. ::: - **100年期中考題(19.1)** **The wavelength of one of the yellow emission lines of sodiwn is $5890 A$. What is the kinetic energy of an electron having the same de Broglie wavelength?** :::spoiler ans $$ p=\dfrac{h}{λ}=\dfrac{6.626\times10^{-34}}{5.890\times10^{−7}} $$ $$ K = \dfrac{p^2}{2m} \to K≈6.96\times10^{−25} $$ ::: - **100年期中考題(19.7)** **An $a$ particle is emitted from a nucleus with an energy of $5 \ \text{MeV}$. Calculate the wavelength of an $a$ particle with such energy and compare it with the size of the emitting nucleus that has a radius of $8\times10^{-15}\ \text{m}$.** :::spoiler ans $$λ = \dfrac{h}{p} = \dfrac{6.626\times10^{-34}}{\sqrt{2\times(6.644 \times 10^{-27})\times(5 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19})}} = 6.43×10^{−15}\ \text{m}$$ ::: - **111年期中考題** **Light of wavelength $1500 \ \text{Å}$ falls on an aluminum surface having a work function of $4.2\ \text{eV}$.** - **What is the kinetic energy of the fastest emitted photoelectrons?** :::spoiler ans $$E=hf=\dfrac{hc}{λ} \to \dfrac{(6.626\times10^{-34})(3\times10^8)}{1500\times10^{-10}}=8.28\ \text{eV}$$ $$K_{max} = 8.28 - 4.2 = 4.08\ \text{eV}$$ ::: - **What is the stopping potential?** :::spoiler ans $$eV_s = K_{max} \to 4.08\ \text{V}$$ ::: - **What is the cut-off frequency for aluminum?** :::spoiler ans $$f_c=\dfrac{E}{h} \to f_c = 1.01 \times 10^{15} \ \text{Hz}$$ ::: - **111年期中考題(19.5)** **The limit of resolution of an object is of the same order of magnitudeimde as the wavelength used to see the object. An electronmicroscope operates at $60,000 \ \text{V}$. What is the approximate size of the smallest object that can be seen with such a microscope?** :::spoiler ans $$E = eV \to E = (1.602\times10^{−19}\ C)×(60,000\ V)$$ --- $$p = \sqrt{2mE}$$ $$\to p =\sqrt{2(9.109 \times 10^{-31})(96.12 \times 10^{-15})} = 1.32×10 ^{−22}$$ --- $$\to λ = \dfrac{h}{p} = \dfrac{6.626\times10 ^{−34}}{1.32×10 ^{−22}} = 5\ \text{pm}$$ ::: --- ### CHAPTER 20 An Introduction to the Methods of QJ.tantum Mechanics - **98、99年期中考題** **The two-dimensional Schrodinger equation is** $$ -\dfrac{\bar h^2}{2m}(\dfrac{∂^2χ}{∂y^2} + \dfrac{∂^2χ}{∂x^2}) + E_p(χ) = E_χ $$ **Solve the Schrodinger equation for a particle confined in a two-dimensional infinite potential well of width and length a. In particular, show that the eigenfunctions X and the corresponding eigenvalues E are given by** $$ χ_{n_1,n_2} = A sin(\dfrac{n_1 \pi x}{a}) sin(\dfrac{n_2 \pi x}{a}) \ \ , \ \ E_{n_1,n_2} = \dfrac{\pi^2\bar h^2}{2ma^2}(n_1^2 + n_2^2) $$ **where $n_1 = 1, 2, 3, . ..$ and $n_2 = 1, 2, 3, ...$** :::spoiler ans #### 1. 設定勢能函數 - 在無限勢阱中，勢能 $E_p$ 為： $$ E_p(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \leq x \leq a \text{ and } 0 \leq y \leq a \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases} $$ - **邊界條件**：波函數在邊界 $x = 0 \ , \ a$ 和 $y = 0 \ , \ a$ 處必須為零。 --- #### 2. 分離變數法在阱內 $E_p = 0$，薛丁格方程簡化為： $$ -\dfrac{\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{\partial^2 \chi}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 \chi}{\partial y^2}\right) = E \chi $$ - **假設波函數可分離**： $$\chi(x, y) = X(x) Y(y)$$ - 代入方程後分離變數： $$ -\dfrac{\hbar^2}{2m} \left( \dfrac{1}{X} \dfrac{d^2 X}{dx^2} + \dfrac{1}{Y} \dfrac{d^2 Y}{dy^2} \right) = E $$ - 引入分離常數 $k_x^2$ 和 $k_y^2$： $$ \begin{cases} \dfrac{d^2 X}{dx^2} + k_x^2 X = 0 \\ \dfrac{d^2 Y}{dy^2} + k_y^2 Y = 0 \\ k_x^2 + k_y^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2} \end{cases} $$ --- #### 3. 解常微分方程 - **X(x) 的解**：通解為 $X(x) = A \sin(k_x x) + B \cos(k_x x)$，代入邊界條件： - $X(0) = 0 \Rightarrow B = 0$ - $X(a) = 0 \Rightarrow k_x = \dfrac{n_1 \pi}{a} \quad (n_1 = 1, 2, 3, \dots)$ - **Y(y) 的解**：同理得 $Y(y) = C \sin(k_y y)$，且 $k_y = \dfrac{n_2 \pi}{a} \quad (n_2 = 1, 2, 3, \dots)$ --- #### 4. 本徵函數與本徵值 - **波函數形式**： $$ \chi_{n_1, n_2}(x, y) = A \sin\left(\dfrac{n_1 \pi x}{a}\right) \sin\left(\dfrac{n_2 \pi y}{a}\right) $$ - **能量本徵值**：由 $k_x^2 + k_y^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2}$，得： $$ E_{n_1, n_2} = \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2 m a^2} (n_1^2 + n_2^2) $$ --- #### 5. 歸一化常數 - **歸一化條件**： $$ \int_0^a \int_0^a |\chi_{n_1, n_2}|^2 dx dy = 1 $$ - 計算積分後得： $$ A = \dfrac{2}{a} $$ --- ### 最終答案 #### 本徵函數 $$ \chi_{n_1, n_2}(x, y) = \dfrac{2}{a} \sin\left(\dfrac{n_1 \pi x}{a}\right) \sin\left(\dfrac{n_2 \pi y}{a}\right), \quad n_1, n_2 = 1, 2, 3, \dots $$ #### 本徵值 $$ E_{n_1, n_2} = \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2 m a^2} (n_1^2 + n_2^2), \quad n_1, n_2 = 1, 2, 3, \dots $$ ::: - **99、100、111年期中考題** **One-dimensional time-dependent Schrodinger equation has the following form** $$-\dfrac{\bar h^2}{2m}\dfrac{∂^2χ}{∂x^2} + E_p(χ)χ = E_χ$$ - 請列舉出 x 在公式中必須具備的三個條件 :::spoiler ans ![image](https://hackmd.io/_uploads/HyR0FY5Rkl.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/Bkxgct5Ake.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/rkzb9KcR1x.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/HyYX9FcAkl.png) ::: - 請儘量清楚而準確地闡述為何在解 ```One-dimensional time-dependent Schrodinger equation``` 時，會產生所謂量子化的效應及結果? :::spoiler ans ![image](https://hackmd.io/_uploads/S1Z2afBpyl.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/rJs5pMSaJg.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/BJ63pMSa1e.png) #### 3. 可歸一化與邊界條件 - 波函數必須平方可積分： $$ \int_{-\infty}^{\infty}|\phi(x)|^2\,dx < \infty. $$ - 若有明確邊界（如無限深方井 $0<x<L$），則 $$ \phi(0)=\phi(L)=0. $$ 這些條件只允許離散的一組 $E$ 值，使得對應的 $\phi(x)$ 不為零且可歸一化。 #### 4. 無限深方井範例 - 勢能： $$ V(x)= \begin{cases} 0, & 0<x<L,\\ \infty, & \text{otherwise}. \end{cases} $$ - 解為駐波模式： $$ \phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),\quad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2},\quad n=1,2,3,\dots $$ - 能量 $E_n$ 因此只能取離散值，出現量子化能階。 #### 5. 物理意義 - 每個 $\phi_n(x)$ 對應一種穩定的「駐波」模式。 - 系統從 $E_n$ 躍遷到 $E_m$ 時，會吸收或發射頻率 $$ \omega_{mn} = \frac{E_m - E_n}{\hbar} $$ 的光子，形成離散光譜線。 --- **結論**：在一維時依薛丁格方程中，經由「分離變數後的本徵值問題」以及「波函數可歸一化與邊界條件」的雙重限制，天然地只允許離散的一組能量本徵值與對應波函數，從而產生了能量量子化的現象。 ![image](https://hackmd.io/_uploads/HyR0FY5Rkl.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/Bkxgct5Ake.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/rkzb9KcR1x.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/HyYX9FcAkl.png) ::: - **99、100年期中考題** **請用變數分離法求出和時間無關的薛丁格方程式，並解釋為何推導過程及結果會有量子化的現象產生?** $$ -\dfrac{\bar h^2}{2m}\dfrac{d^2ψ}{dx^2} + E_pψ = i\bar h \dfrac{dψ}{dt} $$ :::spoiler ans ![image](https://hackmd.io/_uploads/S1Z2afBpyl.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/rJs5pMSaJg.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/BJ63pMSa1e.png) ::: - **100年期中考題(20.4)** **We saw that there are two solutions for the eigenfunction of a particle in an infinite potential well, $e^{ikx}$ and $e^{-ikx}$. Show that the sum $X = a e^{ikx} + b e^{-ikx} i$ s also a solution, where a and b are arbitrary constants.** :::spoiler ans To prove that: $$ X(x) = a e^{ikx} + b e^{-ikx} $$ is a solution of the **time-independent Schrödinger equation** for a particle in an **infinite potential well**, we need to verify that it satisfies the equation: $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{∂^2X}{∂^2x^2} = E X $$ #### **Step 1: Compute the Second Derivative** First, differentiate $X(x)$: $$ \frac{∂X}{∂x} = a (ik e^{ikx}) + b (-ik e^{-ikx}) $$ $$ = i k a e^{ikx} - i k b e^{-ikx} $$ Now, take the second derivative: $$ \frac{∂^2X}{∂x^2} = a (ik)^2 e^{ikx} + b (-ik)^2 e^{-ikx} $$ $$ = -k^2 a e^{ikx} - k^2 b e^{-ikx} $$ $$ = -k^2 X(x) $$ #### **Step 2: Compare with the Schrödinger Equation** Rewriting the Schrödinger equation: $$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2X}{dx^2} = E X $$ Substituting $\frac{d^2X}{dx^2} = -k^2 X$: $$ -\frac{\hbar^2}{2m} (-k^2 X) = E X $$ $$ \frac{\hbar^2 k^2}{2m} X = E X $$ Since this holds for all $X(x)$, we obtain the corresponding energy eigenvalue: $$ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$ Thus, **$X(x) = a e^{ikx} + b e^{-ikx}$ is a valid solution for a particle in an infinite potential well**. ::: - **100年期中考題(20.9)** **To show that: $\lim_{n \to \infty} \frac{E_{n+1} - E_n}{E_n} = 0$** :::spoiler ans To show that: $\lim_{n \to \infty} \frac{E_{n+1} - E_n}{E_n} = 0$ for a one-dimensional infinite potential well, we start with the energy levels: $$E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$$ where $h$ is Planck’s constant, $m$ is the mass of the particle, $L$ is the length of the box, and $n$ is the quantum number. $\lim_{n \to \infty} \frac{E_{n+1} - E_n}{E_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(2n + 1)h^2}{8mL^2}}{\frac{n^2 h^2}{8mL^2}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \right) = 0$ This means that at very high quantum numbers, the energy levels become nearly continuous, in agreement with classical physics (correspondence principle). ::: - **101年期中考題** **在infinite potential well 中，確認了量子力學的觀點** | | 古典力學觀點 | 量子力學觀點 | | ---- | ------------ | ------------ | | 能量 | continuous | (a)________ | |$T= 0 K$ 時|$E=0$|(b)________ | :::spoiler ans - a. quantized - b. $\text{E} \ != 0$ ::: - **106年期中考題(20.12)** **What is the probability of finding a particle in a well of width $a$ at a position $a/4$ from the wall if $n = 1$, if $n = 2$, if $n = 3$?** Use the normalized wavefunctions $$ \psi(x,t) = \sqrt{\frac{2}{a}}\;\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\;e^{-iEt/\hbar}\,. $$ :::spoiler ans $$ \psi(a/4,t) = \sqrt{\frac{2}{a}}\;\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr)\;e^{-iEt/\hbar}\,. $$ $$ \psi * \psi = 2 / a \\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}) $$ when $n = 2$ , $p = 2/a$ ::: - **106年期中考題** **請描繪出無限位能井```ground state```, ```1st excitedstate```,```2nd excited state``` 的波函數圖形** :::spoiler ans ![image](https://hackmd.io/_uploads/rkh3B7Sakx.png) ::: --- ### CHAPTER 21 量子力學用於原子結構 - **98、113年期中考題(21.15)** - **Calculate the ground-state energy of a system of 10 electrons in a one-dimensional infinite potential well of width $a = 1 \text{ Å}$?** :::spoiler ans For a single particle in a one-dimensional infinitepotential well of width 𝑎, the allowed energy levels are given by the formula: $$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}$$ The total energy of the system is the sum of the energies of the 10 electrons in the lowest 5 energy levels. The total energy is given by: $$E_{\text{total}} = \frac{\pi^2 \hbar^2}{ma^2} \times 55$$ $$E_{\text{total}} = \frac{(9.8)(1.055 \times 10^{-34})^2}{(9.11 \times 10^{-31}) \times (1 \times 10^{-10})^2} \times 55 \approx 4.1 \times 10^3 eV$$ ::: - What is the average energy per electron? :::spoiler ans $$4.1 \times 10^3 eV / 10 = 410 eV$$ ::: - 113年期中考題(21.20) **No two electrons in a subshell pair up with opposite spins until there is at least one electron in each state (each value of $ml$) of the subshell. This is known in spectroscopy as Hund's rule. In view of this, what combinations of four among the set of quantum numbers found in Problem 21.19 are acceptable for the four electrons in the 3p subshell of the sulfur atom?** :::spoiler ans - $(3,1,1,\dfrac{1}{2}) \ \ \ \ , \ \ (3,1,1,-\dfrac{1}{2}) \ \ , \ \ (3,1,-1,\dfrac{1}{2} \ or -\dfrac{1}{2}) \ \ , \ \ (3,1,0,\dfrac{1}{2} \ or -\dfrac{1}{2})$ - $(3,1,-1,\dfrac{1}{2}) \ \ , \ \ (3,1,-1,-\dfrac{1}{2}) \ \ , \ \ (3,1,1,\dfrac{1}{2} \ or -\dfrac{1}{2}) \ \ , \ \ (3,1,0,\dfrac{1}{2} \ or -\dfrac{1}{2})$ - $(3,1,0,\dfrac{1}{2}) \ \ \ \ , \ \ (3,1,0,-\dfrac{1}{2}) \ \ , \ \ (3,1,1,\dfrac{1}{2} or -\dfrac{1}{2}) \ \ , \ \ (3,1,-1,\dfrac{1}{2} \ or -\dfrac{1}{2})$ First three electrons: Occupy different orbitals with parallel spins, maximizing total spin as required by Hund’s rule. Fourth electron: Pairs with the electron in the $m=1,0,-1$ orbital, with opposite spin ::: - 111年期中考題(21.6) - How many atomic states are there in hydrogen with $n = 3$? :::spoiler ans $$atomic-states = 2\cdot n^2 \to 2\cdot3^2 = 18$$ ::: - How are they distribributed among the subshell?Label each state with the appropriate set of quantum numbers? :::spoiler ans There are in total $atomic‑states = 2·n² = 2·3² = 18$ for n = 3. They split among the subshells as - **3s** ($l = 0$): 2 states - **3p** ($l = 1$): 6 states - **3d** ($l = 2$): 10 states Each state is labeled by the quartet $(n, l, mₗ, mₛ)$ , with $mₛ = ±½$. --- - **3s (l=0)** 1. (3, 0, 0, +½) 2. (3, 0, 0, −½) - **3p (l=1)** 3. (3, 1, −1, +½) 4. (3, 1, −1, −½) 5. (3, 1,  0, +½) 6. (3, 1,  0, −½) 7. (3, 1,  1, +½) 8. (3, 1,  1, −½) - **3d (l=2)** 9. (3, 2, −2, +½) 10. (3, 2, −2, −½) 11. (3, 2, −1, +½) 12. (3, 2, −1, −½) 13. (3, 2,  0, +½) 14. (3, 2,  0, −½) 15. (3, 2,  1, +½) 16. (3, 2,  1, −½) 17. (3, 2,  2, +½) 18. (3, 2,  2, −½) ::: --- ### CHAPTER 22 鍵結與晶體結構 - 98、99、111年期中考題 **請以鍵結的角度解釋為何以 ```covalent bond``` 結合的分子都是絕緣體或半導體?** :::spoiler ans 以共價鍵結合的材料，電子被局部化在原子間形成穩定鍵結，造成能帶之間存在能隙，因此通常表現為絕緣體或半導體，除非提供足夠能量促使電子躍遷到導帶。 ::: - 98、99年期中考題 **為何在週期表中的過度金屬元素 ```3B-8B``` ( Sc 到 Zn ) 擁有類似的化學性質？** :::spoiler ans 元素的外圍電子分布決定了元素的化學性質,而 ```3B-8B``` 族金屬過渡元素的外圍電子分布是相似的 ( 均為 $4s^2$ 全滿狀態 )，彼此之間的差異在 $3d$ 的部分。 ::: - 100年期中考題 **共價鍵的形成原理為何?** :::spoiler ans 電子在鍵結中間出現的機率特別高電子會花更多時間出現在兩原子的中間電子就會把兩邊帶正電的原子和往中間拉攏所以中間的電子和和兩邊的原子核形成共價鍵 ::: - 100、101年期中考題 **請舉出一種共價鍵化合物並寫出共價鍵的特色與重要特性。** :::spoiler ans 1. $H_2$ 2. 共價鍵因缺乏自由電子故不導電，鍵結強度強。 ::: - 100、101、113年期中考題 **請說明何謂價電子並試著說明元素週期表中 A 族元素的化學性質和價電子的關係。** :::spoiler ans 1. 價電子是原子電子殼層最外層的電子 2. 價電子並未形成球形對稱的完整屏障，使得原子核的正電荷因為價電子數不同而有不同程度的露出。換句話說，價電子決定元素的化性。在元素週期表中 A 族元素，同族元素的價電子節類似，因此同族元素的化學形式相近。 ::: - 111年期中考題 **請利用圖示解釋，請儘量清準確地解釋金屬鍵是如何形成的及為何很多金屬都具有良好的延展性。** :::spoiler ans ``` • • • • • ← 自由電子海 + + + + + ← 金屬陽離子格點 • • • • • + + + + + • • • • • + + + + + ``` ### 金屬鍵如何形成 - 離域化電子每個金屬原子把外層的價電子「捐」出來，這些電子不再屬於單一原子，而是在整個晶體中自由移動，形成「電子海」。 - 靜電吸引電子海中的負電荷對四周的金屬陽離子產生強烈的靜電吸引，這種吸引力就是金屬鍵，將整個晶格「黏」在一起。 ### 為何金屬具有良好的延展性 - 陽離子層能滑動在外力作用下，陽離子層可以相對滑移，電子海會迅速重組、填補新的空隙，保持整體的吸引力不變。 ### 不易斷裂 - 因為電子海是整體性的「膠水」，只要電子海還在，陽離子即使移動也不會失去束縛，晶體不會沿著固定方向脆斷。 :::