李威儀教授物理(一) 期中末

李威儀教授物理(一) 期中末 ==== > [!Note] > **本文為歷屆威儀老師的考古統整** > `NCTU` `NYCU` `CS` `course` # 期中 ## CHAPTER 1 物理發展與物理量簡介 - **Please list the four fundamental forces. Please compare the relative strength and force field range of the four fundamental forces.** :::spoiler ans 強弱：強力 > 電磁力 > 弱力 > 萬有引力作用範圍： * 電磁力、萬有引力：無限 * 強力：原子核內（約 $10^{-15}$ m） * 弱力：$10^{-17}$ m ::: - * **(a) 請盡可能詳細的說明托勒密的地⼼說如何解釋某些星體在天空上看起來忽進忽退。** :::spoiler ans 托勒密為了解釋行星乎近乎退的現象，創出了「大輪、小輪」之說。小輪之心環繞地球以等速圓周運動，而行星則在小輪上繞小輪之心。 ::: * **(b) 請問托勒密的行星運動理論是不是科學** :::spoiler ans 是，經過科學的演繹與推理而得來的知識就是科學，儘管其結果在今日看來不盡正確，仍然是科學的一種。 ::: * **If the radius of a carbon atom is about $2.5 \times 10^{-8}$ cm** - **(a) How many could fit in a row 1 cm long ?** :::spoiler ans (a) $\dfrac{1}{2\times 2.5\times 10^{-8}} = 2\times 10^7$ 個 ::: - **(b) How many could fit in a layer one atom deep and area 1 $cm^2$ ?** :::spoiler ans (b) $2\times 10^7\times 2\times 10^7 = 4\times 10^{14}$ 個 ::: ## CHAPTER 2 向量 * - **(a) 慣性座標的定義？** :::spoiler ans (a) 靜止或等速度運動的坐標系 ::: - **(b) 慣性座標為什麼重要？** :::spoiler ans (b) 在慣性座標中，牛頓第一定律恆成立，且無假想力 ::: - **(c\) 在非慣性座標系統，有哪些物理量不會改變大小** :::spoiler ans (c\) 質量、體積、溫度...... ::: * **The position of a particle moving in a straight line is given by $x = 5+2t+4t^2-t^3$ , where $x$ is in meters.** - (a) Find an expression for the instantaneous velocity as a function of time. :::spoiler ans $v=x'=2+8t-3t^3$ ::: - (b) Find the position of the particle at $t = 0, 1, 0.1$, and $0.01$ sec. :::spoiler ans 1.$t=0$ , ${x}_{1}=5$ 2.$t=1$ , ${x}_{2}=10$ 3.$t=0.1$ , ${x}_{3}=5.237$ 4.$t=0.01$ , ${x}_{4}=5.020397$ ::: - (c\) What is the average velocity between $t = 0$ sec and $t = 1$ sec, between $t = 0$ sec and $t = 0.1$ sec, and between $t = 0$ sec and $t = 0.01$ sec? :::spoiler ans 1.$t=0$ to $t=1$ , ${v}_{1}=5$ 2.$t=0$ to $t=0.1$ , ${v}_{2}=2.37$ 4.$t=0$ to $t=0.01$ , ${v}_{3}=2.0397$ ::: - (d) What is the instantaneous velocity at t = 0 sec? :::spoiler ans $$v=2$$ ::: - (e) What conclusion do you draw from the answers in (c\) and (d)?** :::spoiler ans When the dt is closer to 0,the v is closer to 2. ::: * **請問，一個原點固定於地球表面上的參考座標是不是一個慣性座標？如果不是，請問為什麼不是？** :::spoiler ans 不是，因地球在自轉，所以有向心加速度，因此非慣性座標。最顯而易見的例子即是颱風受到科氏力（一種假想力）的影響，北半球逆時針轉，南半球順時針轉 ::: ## CHAPTER 3 等加速度運動 * **等速度移動的物體，角動量是否一定為零？是否一定守恆** :::spoiler ans 1-1. 物體可能自行等速率旋轉並等速度向前進，此時物體的質心仍為等速度運動，但物體本身會有不為零的角動量。 1-2. 參考點隨便選，可能導致等速度直線移動的物體有角動量 ![](https://i.imgur.com/rwxQbSW.png) 2. 物體不受外力時，角動量維持守恆。 ::: ## CHAPTER 4 牛頓定律 * **為何地球自轉對使用牛頓定律影響不大？** :::spoiler ans ![image](https://hackmd.io/_uploads/S1aLIsny1e.png) ::: * **Three blocks of mass $m_1$ = 3 kg, $m_2$ = 4 kg, $m_3$ = 6 kg - resting on a frictionless table and connected by strings with tensions T1 and T2 are being pulled to the right by a force of 6 N. [4.11]** - **(a) What is the acceleration of the blocks?** :::spoiler ans $a = \frac{F}{m_1+m_2+m_3} = 0.46\ m/s^2$ ::: - **(b) What are the tensions in the strings?** ![](https://i.imgur.com/RPq0EA6.png) :::spoiler ans $T_1 = m_1a = 1.36\ N$ $T_2 = F - m_3a = 6 - 2.76 = 3.24\ N$ ::: * **Derive that the magnitude of the gravity is inversely proportional to the square of the object’s distance from Newton’s second law of motion and Kepler’s third law of planetary motion** >[color=red] hint: Kepler’s third law of planetary motion indicates $\frac{a^3}{T^2}$ that must be a constant. :::spoiler ans $F = ma\omega^2 = \dfrac{GMm}{a^n} \Rightarrow a(\dfrac{2\pi}{T})^2 = \dfrac{GM}{a^n} \Rightarrow \dfrac{a^{n+1}}{T^2} = \dfrac{GM}{4\pi^2}$ Also, from Kepler's 3rd law we can get $\dfrac{a^3}{T^2} = const.$ Thus $n+1 = 3 \Rightarrow n = 2$ ::: * **找出兩種作用力與反作用力，並解釋原因** ![](https://i.imgur.com/x409t9q.png) :::spoiler ans **~~This is a easy question, you shouldn't open it.-~~** ::: * **請以牛頓定律評估，在不危及生命安全的前提下，一個 100 公斤的人從靜止加速到光速，至少要多少時間，並請述明假設理由。** :::spoiler ans 人類可承受的最大加速度大約為 3g ~ 5g，折衷用 4g 算 $4\times 9.8 = \frac{3\times 10^8}{t} \Rightarrow t \approx 7653061\ s \approx 55.58\ days$ ::: ## CHAPTER 5 功，能量及功率 * **請盡可能的說明** - **(a) 能量守恆定律** :::spoiler ans 一個封閉系統內的能量總和不變 ::: - **(b) 為何⼀個東⻄的能量是「此物體能給其他物體做功的能⼒」** - :::spoiler ans 因為能量的作用體現在做功的過程中，通過功來實現能量的轉移或轉換。 ::: * **Da Vinci has understood some general principle of friction in the late 15 . He knew that the friction force between two sliding surfaces is related to the pressure strength of the contact surface, but not to the size of contact area. Please explain why the friction force is hardly related to the size of contact area between two objects.** :::spoiler ans 接觸面積變大，單位面積所受的力就變小，使得微觀來看兩物體的接觸點變小，兩者間的電磁力變小，摩擦力就變小，但再乘上面積的效應，雖然單位面積的摩擦力小，但總面積大，所以總摩擦力相同 ::: * **Please give an example of friction force doing negative work and explain why it does negative work. Then give an example of a frictional force doing positive work and explain why it does positive work.** :::spoiler ans 兩木塊上下疊合，拉動下木塊，地表對下木塊的摩擦力做負功，下木塊對上木塊的摩擦力做正功。 ::: ## CHAPTER 6 動量與碰撞 * **Premised on elastic collision, explain why the small ball in the picutre below will rebound to about nine times the original height. The collision is called “slingshot collision”.** ![](https://i.imgur.com/nDSNLOE.png) :::spoiler ans 也可直接用彈碰公式下去解：大球地面彈回時，$\vec{v_1} = \vec{v}$，$\vec{v_2} = -\vec{v}$，且 $m_1 \gg m_2$ 又 $\vec{v_{2,f}} = \dfrac{2m_1}{m_1+m_2}\ \vec{v_1} + \dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\ \vec{v_2} \Rightarrow \vec{v_{2, f}} = \dfrac{2m_1}{m_1}\vec{v} + \dfrac{-m_1}{m_1}(-\vec{v}) = 3\vec{v}$ ::: * **A 20-g bullet is shot into a ballistic pendulum with a velocity of 1000 m/sec (see Fig. 9-8). The mass of the wooden block is 2 kg. If the bullet remains embedded in the block and 80% of the energy lost in the collision is absorbed as heat by the bullet, what is the increase in the temperature of the bullet? The specific heat of the bullet is 0.1 cal/g℃.** [9.16] ![](https://i.imgur.com/7fFMfr6.png) :::spoiler ans ![image](https://hackmd.io/_uploads/rkfS1IAkJl.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/HynHJ8RJJx.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/BkiLk8CyJl.png) ![image](https://hackmd.io/_uploads/Sy4ukLR1ke.png) ::: * 6.21 **A 2 kg block rests on the ground. The coefficient of friction between the block and the ground is 0.4. A man fires a 0.01 kg bullet parallel to the ground. It lodges in the block, and the block and bullet are observed to slide 2 m before coming to rest. What was the velocity of the bullet? [** :::spoiler ans 假設子彈原本的速度為 $v_0$，則射入木塊後，兩者的速度 $v = \frac{0.01}{2.01}v_0$ 其動能被轉換成摩擦力所做的功 $\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = mg\mu S \Rightarrow \frac{1}{2}(\frac{0.01}{2.01}v_0)^2 = 9.8 \times 0.4 \times 2 \Rightarrow v_0 = 796\ m/s$ ::: ## CHAPTER 7 轉動與圓周運動 * **Below is a picture about a spinning wheel which axis is hung by a rope. Please redraw the picture on your answer sheets, on which mark the direction of $\tau$ , $L$ and $\Delta L$.** ![](https://i.imgur.com/ttHNFG8.png) :::spoiler ans ![](https://i.imgur.com/AvOvBRZ.png) ::: * **What is “centrifugal force”? Is centrifugal force a real force from a physical point of view? If centrifugal force doesn’t exist, please explain why lots of people believe in centrifugal force.** :::spoiler ans 在進行圓周運動的物體，因有向心加速度，故對該物體而言有一個向外的假想力，即為離心力，但其不是一個真正的力，不過因為我們在那當下都有向心加速度，故對我們而言會感受到假想力。 ::: ## CHAPTER 8 轉動動力學 * **A bug sits on a phonograph record 0.18 m from the center. If the record turns at 30 rev/min, what is the radial acceleration of the bug? If it has a mass of 0.5 mg, what is the centripetal force acting on it? [7.12]** :::spoiler ans $a_c = r\omega^2 = 0.18\times (\dfrac{30\cdot 2\pi}{60})^2 = 1.76$ $F_c=ma=0.5\times1.76=0.88$ ::: * * **(1) A children's merry-go-round of radius 4 m and mass 100 kg has an 80-kg man standing at the rim. The merry-go-round coasts on a frictionless bearing at 0.2 rev/sec. The man walks inward 2 m toward the center. What is the new rotational speed of the merry-go-round? What is the source of this energy? (The moment of inertia of a solid disk is $I = \frac12mr^2$ )** :::spoiler ans $$I_1 = 1/2 \times 100 \times 400^2 + 80 \times 4^2 = 2080$$ $$I_2 = 1/2 \times 100 \times 400^2 + 80 \times 2^2=1120$$ $$1120 \times ans = 2080 \times 0.2$$ $$ans=0.37$$ ::: * **(2) 為何角速度會改變？** :::spoiler ans ::: * 8.12 **The torque of the motor is turned at right angles to the wheels by the differential gear. Assume that in low gear the angular velocity of the rear wheels is 0.1 that of the motor. If the motor has 50 hp and is turning over at a rate of 500 rev/min, how much torque is delivered to the rear wheels?** :::spoiler ans $$P = \tau\omega \Rightarrow \tau = \dfrac{P}{\omega}$$ 又 $$\omega_{wheel} = \frac{1}{10}\omega_{motor}$$ 所以 $$\tau_{wheel} = \dfrac{50\times 746}{\frac{500\times 2\pi \times 0.1}{60}} = 7.13\times 10^3$$ ::: ## CHAPTER 9 熱力學與氣體動力學 * 9.11 **The temperature of a room 7m x 5m x 3m is 27° C.** - **(a) How much energy is contained in the air of that room?** :::spoiler ans $$E_k = \dfrac{3}{2}NkT = \dfrac{3}{2}PV = \dfrac{3}{2}\cdot 101300\ (N/m) \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 = 1.59\times 10^7\ J$$ ::: - **(b) If that energy could be converted to electrical energy, for how long could a 100-W bulb be lit? Assume the air behaves as an ideal gas.** :::spoiler ans $$\dfrac{1.59\times 10^7}{100} = 1.59\times 10^5\ (s) = 1.84\ (days)$$ ::: * 9.20 **A mole of an ideal gas is taken from state A to state C along the path ABC.** - **(a) If 1000 cal of heat flow into the gas and the gas does 2100 J of work, what is the change in the internal energy of the gas?** :::spoiler ans $1000\times4.18 - 2100 = 2080J$ ::: - **(b) When the gas is returned from C to A along the path CDA, 700 cal of heat flow out of the gas. How much work is done on the gas?** :::spoiler ans 2080-700 X 4.18 =843J ::: - **(c\) What is the change into temperature of the gas when it is brought back from C to A ?** :::spoiler ans ΔE = 3/2 R ΔT $2080 = 3/2 \times 8.314 \times ΔT$ ΔT = 167 K ::: - **(d) If the pressure of the gas in state A is 2 atm, what is the difference in the volume of the gas between states D and A ?** :::spoiler ans ΔW= PΔV $846 = ( 2\times1.01\times10^5 ) ΔV$ $ΔV = 4.19\times10^{-3} m^3$ ::: ![](https://i.imgur.com/JNNVITj.png) * **請⽤理想氣體公式解釋為何在深海潛⽔的⼈突然往海⾯上游是⼀件很危險的事情？** :::spoiler ans 由 $PV = nRT$，體積正比於壓力，由於在水下壓力變化較大，假設一個人在50 公尺深向上游，則他初始的壓力為 6 atm，水面上為 1 atm 為水下的六分之一倍，根據理想氣體方程式，體積會增為六倍，使得人的肺部爆炸 ::: * **請畫出當溫度 $T$ > $0K$ 時的⼀個封閉系統當中空氣粒⼦速率分佈圖，以及在同⼀張圖上分別標注「當溫度 T' > T 時的空氣粒⼦速率分佈圖」和「當溫度 T'' = 0K 時的分佈圖」** :::spoiler ans 想像一下這樣一個圖表，x 軸表示粒子速度，y 軸表示粒子數量。當溫度 $T>0K$ 時，空氣粒子的速度分佈會遵循 Maxwell-Boltzmann 分佈當 $T′>T$ 時，分佈變得更加平坦和寬廣，因為粒子獲得更多能量並且平均移動速度更快。反之，當 $T′′=0K$（絕對零度）時，理論上粒子將會靜止，因此分佈將會是一個在零速度處的尖峰。 ::: * **Please tell a story about thermodynamics related to the pictures below. What theory or law is expounded in your story?** ![](https://i.imgur.com/3Drpx7D.png) :::spoiler ans 左圖為帶有鐵鍊的染色冰塊，右圖的染色冰塊直接浮在水面上。冰塊在杯底融化時，因冰水密度較大，故繼續沉在杯底，不易產生對流。相反地，在水面上融化的冰塊，冰水會向下流動，導致杯中出現對流，使得整杯水都被染色 ::: * **絕對溫度代表何種物理量？潛熱為何不會影響溫度？** :::spoiler ans 組成粒子平均動能的大小，潛熱用來進行相變，使得粒子間的位能增減，不影響其動能，因此溫度不變。 ::: * **The temperature of a gas in a closed container at $27℃$ is raised to $327℃$. by what multiple has ${V}_{rms}$ changed?** :::spoiler ans $${V}{rms}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}}$$ $$\dfrac{{V}{rms}\times(327℃)}{{V}{rms}\times(27℃)}= \sqrt{\dfrac{327+273}{27+273}}=\sqrt{2}$$ ::: # 期末 ## CHAPTER 10 振盪 - **(10.15)** **A mass is oscillating with amplitude A. When the displacement is x = $\dfrac{1}{2}$A what fraction of the energy is potential energy what fraction is kinetic?** :::spoiler ans $$Ep = \dfrac{1}{2}kx^{2} = \dfrac{1}{2}k( \dfrac{1}{2}A)^2 = ( \dfrac{1}{4})(( \dfrac{1}{2})kA^2) = ( \dfrac{1}{4})Etotal$$ $$Ek = ( \dfrac{3}{4})Etotal$$ ::: - **(10.16)** **A wooden block of mass $1kg$ rests on a friction less table connected to a spring $k = 200 N/m$. A $20g$ bullet moving with a velocity $v = 500 m/sec$ is shot into the block and remains embedded in it. What is the amplitude of the ensuing oscillatory motion?** :::spoiler ans $$ 0.02 \times 500 = 1.02 \times v $$ $$ \dfrac{1}{2}(1.02)(9.8^2) = \dfrac{1}{2}(200)(A^2) $$ ::: ## CHAPTER 11 波動 - **(11.8)** **The equation of a transverse wave traveling along a very long string is given by $y = 6.0 sin(0.020 \pi x + 4.0 \pi t)$ where x and y are expressed in centimeters and t in seconds.** Find (a) the amplitude :::spoiler ans $6.0 cm$ ::: (b) the wavelength :::spoiler ans $\dfrac{2\pi}{0.02\pi} = 100$ ::: (c\) the frequency :::spoiler ans $2\pi f = 4\pi$ ::: (d) the speed of propagation :::spoiler ans $2\times100 = 200$ ::: (e) the direction of propagation of the wave :::spoiler ans From $(0.020 \pi x + 4.0 \pi t)$ we know that the direction of propagation of the wave is $-x$. ::: (f) the maximum transverse speed of aparticle in the string. :::spoiler ans $v = max(6.0\times\dfrac{d}{dt}sin(0.020πx+4.0πt))$ $v = 24 \pi = 75.4 cm/s$ ::: - **在 $x = 0$ , 原振源的波函數為 $y(x)=\dfrac{A}{B-x^3}$，波以$5 m/s$的速度往右方向 $propagates$，求 $t$ 秒時波形表示式 $y(x,t)$。** :::spoiler ans $$x = x - vt , \quad v = 5$$ $$y(x,t) = \dfrac{A}{B-(x-5t)^3}$$ ::: - **人耳能接收到最命敏感頻率為 $3000 Hz$，試求出人的耳道大約長度（$聲速=340 m/s$）。** :::spoiler ans 人的耳道可以視為一開一閉的管子,波長等於耳道長度的四倍。 $V = f \times L$ $340 = 3000 \times L$ $L/4 = 0.028m ( 2.8 cm )$ ::: - **已知耳腔深度 2.54 cm，解釋為何人耳對 3000 Hz 的聲音特別敏感。並畫出第⼀、第⼆、第三諧音的 displacement 和 pressure** :::spoiler ans $L = 2.54$ $L = \text{λ/4}$ $λ = 0.1016$ $v = 343 / 0.1016 = 3374$ ![image](https://hackmd.io/_uploads/H1GlJrcfkg.png) ::: - **請解釋為何聲波可以傳遞波動、能量，卻不能傳播質量？請解釋為何聲波是一種縱波？** :::spoiler ans #### 聲波是一種機械波，它是由介質中粒子的振動所產生的波動。 ##### 傳遞波動與能量：聲波傳遞的過程中，介質中的粒子在平衡位置附近來回振動，這種振動會造成壓力的周期性變化，形成波動。雖然粒子本身僅在局部移動，但它們的運動會相互影響，將能量以波的形式傳遞出去。因此，聲波能傳遞波動和能量。 ##### 不傳播質量：在聲波傳遞時，介質的粒子並不會隨著波的傳遞而永久移動到遠處。它們只是在平衡位置附近做簡單的振動運動。由於粒子的位置只是周期性地變化，整體質量並未隨著聲波移動，因此聲波不傳遞質量。 ::: - **請解釋為何聲波是一種縱波？** :::spoiler ans #### 聲波是一種縱波的原因是其振動方向與波的傳播方向平行。 ##### 縱波的特性：在縱波中，介質的振動方向和波的傳播方向一致。聲波在空氣或其他物質中傳播時，會引起介質的壓縮和稀疏。當空氣分子被擠壓到一起時，形成了壓縮區域；當它們遠離時，形成了稀疏區域。這些壓縮和稀疏區域沿著波的方向傳遞。 ##### 介質的特性：聲波需要介質來傳播，而這些介質通常是氣體、液體或固體。在這些介質中，分子的交互作用使得聲波的振動方向自然與波的傳播方向平行。 ::: ## CHAPTER 12 波的干涉 - **(12.9)** **Monochromatic (single wavelength) light is directed on a double slit. A light meter is placed to the right of the slits in the position shown in Fig. 12-23. When slit ${S}{1}$ is closed, the light intensity at the location of the meter is ${I}{2}$. When slit ${S}{2}$ is closed the light intensity is ${I}{1}$.** (a) What is the light intensity Iy when both slits are open if ${X}{1} - {X}{2} = A$? :::spoiler ans When $x_1 - x_2 = λ$ and I ~ $Λ^2 = (Λ_1 + Λ_2)^2 = Λ_1^2 + Λ_2^2 + 2Λ_1Λ_2$ $I_{\text{total}} = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2}$ ::: (b) What is Iy if $Xl - X2 = \dfrac{1}{2} A$? $I_1$ and $I_2$ are not necessarily equal. Assume that the size of the slits is smaller than the wavelength so that the slits can be considered to be point sources. :::spoiler ans $I_{\text{total}} = I_1 + I_2 - 2 \sqrt{I_1 I_2}$ ::: - **(12.14)** **NaCl has a crystal structure similar to that of AgBr. The atomic weight of NaCI is $58.44 g/mole$ and its density is $2.16 g/cm^3$.** (a) Calculate the spacing between the atoms in a NaCI crystal. :::spoiler ans $\dfrac{2.16}{58.44}\times2\times(6.02\times10^{23}) = 4.45 \times10^{22}$ $d = (4.45 \times10^{22})^{-1/3} = 2.82 \times 10^{-8}$ ::: (b) If X rays of wavelength 1.5 Å are incident on a NaCI crystal, at what angle will the first order diffraction maximum be observed? :::spoiler ans $$ sinθ = \dfrac{λ}{2d} = \dfrac{1.5}{2\times2.82} = 0.266 $$ $$ θ = 15.4 $$ ::: - **(a)單狹縫繞射成因？** :::spoiler ans ### 單狹縫繞射現象是波動光學中由**波的干涉**造成的 #### 光波的衍射當光波穿過單一狹縫時，狹縫內的光波會沿各方向散射，形成一個角度分布的衍射圖案。 #### 每一點是次波源（惠更斯原理）狹縫內部的每一個點都可以視為獨立的次波源，發出向外的球面波。 #### 波的干涉疊加在觀察屏上，不同次波源的波會根據路徑差疊加。 - 如果波相位差是偶數個半波長，則形成亮紋（**建設性干涉**）。 - 如果波相位差是奇數個半波長，則形成暗紋（**破壞性干涉**）。 #### 結果：中央亮斑及衍射條紋由於狹縫中心點的光波從左右對稱地抵達屏幕中央，其路徑差為零，因此屏幕中央形成最亮的衍射主極大值。隨著觀察角度變大，光波之間的路徑差增加，形成明暗交替的條紋。 ::: **(b)What is Rayleigh Criterion of the limit of resolution？** :::spoiler ans #### 定義 Rayleigh Criterion 是一種用於描述兩個光學點源何時可以被分辨的標準。根據此判據，兩個點源的**分辨極限**發生在它們的衍射圖樣**中央極大值（主峰）**之一與**另一個中央極大值的第一個暗紋**重合時。 --- #### 物理背景 1. **繞射與分辨率的關係** 光學系統中，光經過孔徑或透鏡會產生繞射，從而導致點光源的成像不再是一個理想點，而是一個由中央亮斑（Airy盤）及周圍同心暗環和亮環組成的圖樣。 2. **分辨率的限制** 當兩個點源靠得非常近時，繞射圖樣會重疊，從而使兩個點源無法被分辨。 ::: ## CHAPTER 13 - 15 靜電學 - **(14.17)** **In a given vacuum tube, an electron is released from the heated filament with zero velocity. It is attracted by the positive plate and arrives at the plate with a velocity of $4 \times 10^6 m/sec$. What is the voltage of the plate with respect to the filament? The mass of the electron is $9.1 \times 10^{-31}kg$.** :::spoiler ans $$\dfrac{1}{2}\times 9.1\times10^{-31}\times(4\times10^6)^2 = 1.6 \times 10^{-19} \times V$$ $$V = 45.5$$ ::: - **(15.3)** **A copper wire 15 m long has $8\times10^{26}$ mobile electrons. What is the drift velocity of the electrons if the current in the wire is 5 A?** :::spoiler ans $$ v_d = \dfrac{J}{Nq} $$ $$ \dfrac{5}{A} = \dfrac{(8\times10^{26})}{15\times A}\times(1.6 \times 10^{-19})\times v_d $$ $$ v_d = 5.86\times10^{-7} $$ ::: - **(15.6)** **In the earth , atmosphere positive charges move toward the earth and negative charges move away from it. The total current is approximately $1800A$. The average value of the electric field responsible for this current near the surface of the earth is $100N/C$. What is the resistivity of the air at the surface of the earth ? ( The radius of the earth is $6.37 \times 10^6 m$ )** :::spoiler ans $$ ρ = E/J = \dfrac {4 \pi \times ( 6.37 \times 10^6 )^2 \times 100 }{1800} = 2.83 \times 10^{13} Ω-m $$ ::: - **(15.15)** **The circuit of Fig. 15-27 is known as the Wheatstone Bridge. It is used to find the resistance of an unknown resistor $R_x$ in terms of three known resistors $R_1 R_2$, and $R_s$. The value of $R_s$ is adjusted until no current flows through the galvanometer G. Let $R_1 = 10 Ω$ and $R_2 = 100 Ω$. If no current flows through G when $R_s = 470 Ω$, what is the value of $R_x$?** ![螢幕擷取畫面 2024-12-12 153719](https://hackmd.io/_uploads/HyP7Lt5Byx.png) :::spoiler ans $$R_2 \times R_s = R_1 \times R_x$$ $$R_x = \dfrac{470 \times 100}{10} = 4700$$ ::: - **帶電量$3.2\times{10}^{-19}$的粒子通過$3V$的電壓所需的能量為多少電子伏特?** :::spoiler ans $\dfrac{3.2\times{10}^{-19}}{1.6\times{10}^{-19}}\times3 = 6(eV)$ ::: - **靜電平衡的狀態下** - **請盡可能詳細的解釋為何電場必定垂直於物體表面** :::spoiler ans 對於物體表面，如果電場線不是垂直的，則會有平行於表面的電場分量。這會導致表面的自由電荷移動，這與靜電平衡的假設矛盾。 ::: - **請盡可能詳細的解釋為何電力線必定垂直於等位線** :::spoiler ans 若電力線不垂直於等位線，則電力線必然在等位線上產生水平分量，這表示此電荷在等位線上會受力，但電荷受力即表示此線上各處的電位並不相同，和原假設矛盾。 ::: - **請比較萬有引力和靜電力的異同** :::spoiler ans 共同點：皆和兩物體的距離之平方成反比、運轉形式雷同(均需要向心力) 相異點：萬有引力必為吸引力，靜電力則有吸引、排斥兩種、靜電力遠大於萬有引力 ::: - **請定義電子伏特這個單位的來源** :::spoiler ans $$ U = qV $$ 電子伏特是單位能量，讓電子增加$1V$的電壓使電子增加$1eV$的能量 ::: - **請解釋為何帶電的導體具有屏蔽作用，使得導體內部的空間的電場為零？請解釋為何在外加電場中，導體對內具有屏蔽作用？** :::spoiler ans ### 導體的屏蔽作用與內部電場為零的原因 #### 基本概念 - **導體內部自由電子的特性**：在導體中，有大量自由電子，它們可以在整個導體內部自由移動。這些電子會受到外加電場的作用，從而產生移動，直到達到平衡狀態。 #### 導體內部電場為零的原因 1. **外加電場的影響**：當導體置於外加電場中，導體內的自由電子會受電場力作用移動。 - 自由電子會向外加電場的反方向移動。 - 導致電子在導體表面重新分佈，形成一個與外加電場方向相反的電場。 2. **內部電場的抵消**： - 自由電子的重新分佈產生的反向電場會逐漸增強，直到完全抵消外加電場的影響。 - 當導體內部的總電場為零時，自由電子停止移動，達到靜電平衡。 3. **靜電平衡的特性**： - 在靜電平衡狀態下，導體內部的電場必為零，否則自由電子仍會受力而移動，違反平衡狀態的假設。 --- ### 導體對內部的屏蔽作用 #### 外加電場對導體的影響 1. **電荷重新分佈**：外加電場作用於導體時，導體內的自由電子會移動，使得導體表面產生感應電荷分佈： - 靠近外加電場方向的一側積累負電荷。 - 遠離外加電場方向的一側積累正電荷。 2. **反向電場的形成**： - 感應電荷在導體表面產生的電場，方向與外加電場相反。 - 這個反向電場在導體內部完全抵消了外加電場。 #### 屏蔽效應的結論 1. **導體內部無電場**： - 在靜電平衡下，導體內部的總電場為零，因此導體內部的區域不受外加電場的影響。 2. **導體外部的屏蔽效應**： - 導體表面感應電荷產生的電場會調整，使得導體內部及其包圍的空腔區域（若有）都不受外加電場的影響。 - 這就是所謂的**靜電屏蔽**。 --- ### 相關應用 1. **法拉第籠**：法拉第籠利用導體的屏蔽效應，可以有效隔絕內外電場的影響，用於防止電磁干擾。 2. **屏蔽電纜**：電纜外層的導體屏蔽層，能隔離外界的電磁場對內部信號的干擾。 ::: - An electron is projected with an initial velocity $V_i = 3 \times 10^6 m/s$ in the x direction in the region between two oppositely charged plates. By the time the electron leaves the region between the plates, it has undergone a vertical deflection of 2cm. Assume that the electric field between the plates is uniform and perpendicular to the plates and that the electric field outside the region of the plates is zero ![螢幕擷取畫面 2024-12-10 165035](https://hackmd.io/_uploads/ryfrIYcSJx.png) (a) What is the strength of the electric field between the plates ? :::spoiler ans The acceleration in the y direction can be found from the equation $y = ½A_y {T_y}^{2}$ , Where $y = 2cm$ and $T_a$ is the time it takes the electron to across the plates.This time is found from the x motion. Because $A_x = 0$ $$ T_a = \dfrac{0.5}{3\times10^6} = 1.67 \times 10^{-7}s $$ $$ 0.02 = 0.5 \times {T_a}^2 \times A_y $$ $$ A_y = 1.44 \times 10^{12} $$ $$ E = \dfrac{MA}{|e|}= 8.19 $$ ::: (b)$y_f =$? :::spoiler ans $$ 1.44 \times 10^{12} \times 1.67 \times 10^{-7} = 2.4 \times 10^5 $$ $$ (2.4 \times 10^5) \times (\dfrac{1}{3\times{10^6}}) = 8cm $$ $$ 8 + 2 = 10 $$ ::: - **請詳細且清楚地解釋，為何加入介電質可以改變兩片水平電位板之間的電容？** :::spoiler ans ### 為何加入介電質會改變兩片平行電位板之間的電容？ #### 1. 電容的基本公式電容 $C$ 定義為電荷 $Q$ 和電壓 $V$ 之間的比值： $$ C = \frac{Q}{V} $$ 對於兩片平行電位板，電容可以表示為： $$ C = \varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d} $$ - $A$：兩片電位板的面積。 - $d$：兩片電位板之間的距離。 - $\varepsilon_0$：真空中的電容率（電場常數）。當電位板間放入介電質時，會影響電場和電容值。 --- #### 2. 介電質的性質介電質是一種電介材料，它在電場中會被極化，即內部的電荷分佈會產生微小的位移： - 正電荷向電場方向位移，負電荷向反方向位移。 - 這種極化會在介電質內部形成一個與外部電場方向相反的**感應電場**。 --- #### 3. 電場的影響 1. **無介電質時的電場**：當兩片電位板之間沒有介電質時，電場大小由電荷密度和真空電容率決定： $$ E_0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} $$ 其中$\sigma$是電荷密度。 2. **加入介電質後的電場**：介電質被極化後，感應電場 $E_{\text感應}$ 抵消了部分原始電場： $E = E_0 - E_{\text感應}$ 因此，介電質降低了總電場的強度。 --- #### 4. 電壓的影響電場與電壓的關係： $$ V = E \cdot d $$ 當電場 $E$ 被降低後，對應的電壓 $V$ 也會減小。 --- #### 5. 電容的增加根據電容公式 $C = \frac{Q}{V}$，當 $V$ 減小時，電容 $C$ 增大。此時，加入介電質的電容公式變為： $$ C = \varepsilon \cdot \frac{A}{d} $$ - $\varepsilon = \varepsilon_0 \cdot \kappa$：介電常數，$\kappa$ 為介電質的相對介電常數。 - 介電常數 $\kappa > 1$，因此加入介電質會使電容變大。 --- #### 6. 總結加入介電質會改變電容的原因可以歸納如下： 1. **介電質的極化效應**： - 介電質在電場作用下被極化，產生感應電場，削弱了原本的電場強度。 2. **電壓減小**： - 電場變弱後，板間的電壓減小，而電荷量不變，因此電容增加。 3. **相對介電常數的影響**： - 介電質的相對介電常數 $\kappa > 1$，使得新的電容 $\varepsilon = \varepsilon_0 \cdot \kappa$ 比原來的真空電容更大。因此，介電質的加入能有效提高電容器的儲能能力。 ::: - **給了一台洗衣機的圖，問如果沒接地可能發生什麼危險？要怎麼接地？** :::spoiler ans ### 如果洗衣機未接地可能發生的危險及接地方法 #### 危險 1. **觸電風險** 當洗衣機內部電線或元件絕緣損壞時，電流可能通過機器外殼流向地面。如果此時洗衣機未接地，外殼會帶電，人觸碰時容易造成觸電事故。 2. **設備損壞** 未接地可能導致靜電累積，長期可能損壞內部電子元件，縮短洗衣機的使用壽命。 3. **火災隱患** 漏電可能產生火花，特別是在潮濕環境中，增加火災的風險。 #### 如何正確接地 1. **檢查接地端子** 洗衣機通常在機身背面或底部有一個標記為「接地」或「GND」的端子，確認其存在並能用於接地。 2. **接地線連接** - 將洗衣機的接地端子用一根接地線（通常是綠黃雙色線）連接到家中配電系統的接地線上。 - 如果家中電源插座為三孔插座，其中的圓孔或特定腳位是接地孔，確認插座接地良好。 3. **外部接地棒**（若無合適接地系統） - 若建築物內無接地系統，可購買專用接地棒，將其插入戶外潮濕的土壤，並用接地線將其連接到洗衣機接地端子。 - 接地棒應埋入地面至少1.5公尺，並確保周圍土壤保持濕潤以降低接地電阻。 ::: ## CHAPTER 16 合作無間的電與磁 - **16.14** **A charged particle q is projected in the region between two parallel plates. In the region of the plates there is an electric field £ = 50,000 N/C and a magnetic field B = 0.1 T. The electric field is perpendicular to the magnetic field, and both are perpendicular to the direction of motion, as shown in Fig. 16-15. If the particle goes through the plates undefiected, what is the velocity of the particle?** :::spoiler ans $$ F_E = F_B $$ $$ qE = qvB $$ $$ v = 500000 m / s $$ ::: - **請寫出自然界中原子產生磁場的兩大主要原因** :::spoiler ans ![螢幕擷取畫面 2024-12-12 154459](https://hackmd.io/_uploads/HJYvIYqHye.png) ::: - **若電流和磁場有關，為何天然磁鐵不須通電就有磁性？** :::spoiler ans 天然磁鐵之所以能在不通電的情況下具有磁性，是因為： - 電子自旋和軌道運動在微觀層面上產生磁場。 - 鐵磁性材料內部的晶體結構和量子效應（如交換作用）使得電子磁矩對齊，形成宏觀磁場。 - 地球磁場和冷卻過程進一步鞏固了磁鐵的永久磁性。 ::: * **請盡可能詳細的解釋為何磁鐵會吸引鐵而不會吸引銅、鋁等物質？** :::spoiler ans #### 磁鐵吸引鐵而不吸引銅、鋁等物質的原因，主要涉及材料的**磁性分類**以及它們內部的電子結構與磁矩的排列特性 --- #### 1. 材料的磁性分類根據物質對外加磁場的反應，可將材料分為三大類： - **鐵磁性物質（如鐵、鎳、鈷）** 鐵磁性物質的特點是內部有強烈的磁性，且能夠被磁鐵強烈吸引。這是因為它們具有**自發磁化**的能力。 - **順磁性物質（如鋁、鉑）** 順磁性物質在外加磁場作用下，會產生微弱的磁化，但磁化強度極低，磁鐵幾乎無法感應到吸引力。 - **抗磁性物質（如銅、銀、金）** 抗磁性物質在外加磁場作用下，會產生微弱的反向磁化，導致它們被磁鐵輕微排斥。 --- #### 2. 鐵磁性物質的特殊性鐵磁性物質（如鐵）之所以能被磁鐵強烈吸引，是因為它們內部的電子結構與原子排列滿足以下條件： - **未配對電子** 鐵原子具有未配對的電子，這些電子的自旋方向相同，產生了小的磁矩。 - **磁畴結構** 鐵磁性物質內部分為許多微小的磁畴。在沒有外加磁場時，磁畴的方向隨機排列，整體磁性相互抵消。但在外加磁場（如磁鐵的磁場）作用下，磁畴會重新排列，使磁性加強，最終被磁鐵吸引。 --- #### 3. 銅、鋁等材料的特性 ##### 銅（抗磁性） - 銅的電子結構非常穩定，幾乎所有電子都是成對的，這導致整體磁矩為零。 - 在外加磁場中，銅會產生極弱的反向磁化，因此不會被磁鐵吸引，反而可能受到輕微排斥。 ##### 鋁（順磁性） - 鋁雖然也有未配對的電子，但這些電子無法形成持久的磁矩。 - 當鋁置於外加磁場中時，只能產生極弱且暫時的順磁反應，因此幾乎不受磁鐵影響。 --- #### 4. 磁場與材料相互作用的物理本質 - 磁場影響物質的程度取決於它們的**磁化率**。鐵磁性物質的磁化率遠高於順磁性與抗磁性物質，因此鐵容易被吸引，而銅與鋁幾乎不受影響。 - 同時，鐵磁性物質具有磁滯效應，這使得它們能保持磁性（如被磁化後成為磁鐵），而其他類型的材料則不具備這種特性。 --- #### 5. 實際應用中的影響由於磁鐵僅對鐵磁性材料有顯著吸引力，因此我們常在生活中看到磁鐵用於處理含鐵的物質，例如： - 分離鐵質廢料（如垃圾分類中的鐵質物品回收）。 - 吸附含鐵的工具或零件。 --- #### 總結磁鐵吸引鐵的原因源於鐵的鐵磁性，其內部的未配對電子和磁畴結構可以與磁場強烈交互；而銅、鋁等物質的電子結構穩定，缺乏鐵磁性特徵，導致它們幾乎不受磁場影響。 ::: - **問變壓器為何會變壓？原理是什麼？問變壓器中間為什麼一定要用鐵芯？** :::spoiler ans ### 變壓器為何會變壓？變壓器能夠變壓的原因與其運作原理密切相關，它基於**電磁感應**的原理，具體如下： #### 變壓器的運作原理 1. **電磁感應** - 當交流電流流過變壓器的初級線圈時，會在鐵芯周圍產生一個交變的磁場。 - 這個交變的磁場在鐵芯中傳遞，並在次級線圈中感應出一個交變電壓。 - 根據**法拉第電磁感應定律**，次級線圈感應的電壓與磁場的變化率及線圈匝數成正比。 2. **匝數比公式** 初級電壓與次級電壓的比值等於線圈匝數的比值： $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2}$$ - $V_1$、$V_2$ 分別為初級和次級的電壓。 - $N_1$、$N_2$ 分別為初級和次級的線圈匝數。 3. **能量守恆** 理想變壓器中，輸入功率與輸出功率相等： $$P_1 = P_2 \quad \text{即} \quad V_1 \cdot I_1 = V_2 \cdot I_2$$ - $I_1$、$I_2$ 分別為初級和次級的電流。 - 這意味著變壓器升高電壓的同時會降低電流，反之亦然。 --- ### 變壓器中鐵芯的作用鐵芯在變壓器中的作用主要是**增強磁場的傳遞效率**和**減少能量損耗**： 1. **增強磁通量** 鐵芯的高磁導率（比空氣高很多）使得磁通量集中在鐵芯內，而不會輻散到空氣中，這樣可以有效提高磁場的強度。 2. **減少漏磁** 如果沒有鐵芯，初級線圈產生的磁場會散射，只有少部分磁場能耦合到次級線圈，降低變壓效率。 3. **減少能量損耗** 鐵芯可以將更多的磁能轉化為次級線圈中的電能，提升轉換效率。 4. **控制磁路** 鐵芯提供了一個可控的磁路，磁場被限制在鐵芯內，有助於減少電磁干擾對外部環境的影響。 --- ### 鐵芯材料的選擇鐵芯通常使用軟磁材料（如矽鋼片或鐵氧體），這是因為： - 軟磁材料容易磁化和去磁化，適合交變磁場的快速變化。 - 矽鋼片可減少渦流損耗（交變磁場引起的環狀電流損耗）。若使用空氣或其他非磁性材料，變壓器的效率會大大降低，體積也會變得非常大，因此實際中一定會選用適當的鐵芯。 ::: - ![image](https://hackmd.io/_uploads/BkIlDYcSyx.png) - **請利用上圖，來說明在導體中移動的是正電荷還是負電荷** :::spoiler ans ![螢幕擷取畫面 2024-12-13 221340](https://hackmd.io/_uploads/HkZ98K5Hke.png) ::: - $V_h$ 是如何產生 :::spoiler ans 電子由左至右流過，磁場穿出紙面，依據右手開掌定則，受力向左電子將會累積於左方，右方將形成相對正電位，電位差便產生$V_h$ ::: - **(16.5)** **The wire loop of carries a current of $2A$. It’s placed in a region where there is a magnetic field $B = 0.5T$ parallel to the plane of the loop** ![螢幕擷取畫面 2024-12-12 205957](https://hackmd.io/_uploads/S1ijUY9SJg.png) (a) Calculate the force on each side of the wire loop. :::spoiler ans $$ F = I \times L \times B = 2 \times 0.6 \times 0.5 = 0.6 N $$ ::: (b) What is the torque on the wire loop :::spoiler ans $$ τ = F \times (w/2) \times 2 = 0.6 \times 0.15 \times 2 = 0.18 (N-m) $$ ::: - **(16.18)** A strip of copper 1 cm wide and 1 mm thick has 50 A of current passing through it. The strip is in a magnetic field of 0.5 T directed into the paper (see Fig. 16-17). The voltage difference $V_H = V_c - V_0 = 2 \times 10^{-6} V$ and the observation that Vc is larger that Vo indicates that the conduction is by electrons. What is the density of the electrons responsible for the current? :::spoiler ans #### 解題過程此題涉及霍爾效應的原理，根據霍爾效應的公式，我們可以計算導電電子的密度 $n$。 --- #### 1. 霍爾效應公式霍爾電壓 $V_H$ 的公式為： $$ V_H = \frac{B I}{n q t} $$ 其中： - $B = 0.5 \, \text{T}$ 是磁場強度， - $I = 50 \, \text{A}$ 是電流， - $n$ 是電子的密度（我們要求的量）， - $q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$ 是電子的電荷， - $t = 1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}$ 是銅條的厚度， - $V_H = 2 \times 10^{-6} \, \text{V}$ 是霍爾電壓。 --- #### 2. 解出電子密度 $n$ 將霍爾效應公式改寫以求 $n$： $$ n = \frac{B I}{q t V_H} $$ 代入已知數值： $$ n = \frac{(0.5)(50)}{(1.6 \times 10^{-19})(1 \times 10^{-3})(2 \times 10^{-6})} $$ 計算分子： $$ 0.5 \times 50 = 25 $$ 計算分母： $$ (1.6 \times 10^{-19})(1 \times 10^{-3})(2 \times 10^{-6}) = 3.2 \times 10^{-28} $$ 因此： $$ n = \frac{25}{3.2 \times 10^{-28}} = 7.8125 \times 10^{28} \, \text{m}^{-3} $$ --- #### 3. 結論導電電子的密度為： $$ n \approx 7.8 \times 10^{28} \, \text{m}^{-3} $$ :::