# Automorfismos de campos.

## Definición:

> Sean $\alpha,\beta\in \mathbb {E/F}$, $\alpha$ y $\beta$ se dicen conjugados si $\text{irr}(\alpha,\mathbb F)=\text{irr}(\beta,\mathbb F)$.

## Teorema de conjungación de isomorfismos:

> Sean $\alpha,\beta\in\mathbb {E/F}$ algebraicos sobre $\mathbb F$ y $n=\partial(\text{irr}(\alpha,\mathbb F))$. Se define
> $$\begin{align*}\Psi_{\alpha,\beta}:\mathbb F(\alpha)&\to\mathbb F(\beta)\\p(\alpha)&\to p(\beta)\end{align*}$$
>
> Y se dice que $\Psi_{\alpha,\beta}$ es un isomorfismo de campos si y sólo si $\alpha$ y $\beta$ son conjungados.
>
>
> _Demostración:_
>
> - $(\implies)$: Sea $f=\text{irr}(\alpha,\mathbb F)=c_0+c_1x+\dots+c_{n-1}x^{n-1}+x^n$. Es claro que $\Psi_{\alpha,\beta}(\alpha^k)=\beta^{k}$ para $0\leq k< n$ y $\Psi_{\alpha,\beta}(0)=0=\Psi_{\alpha,\beta}(f(\alpha))$. Luego
> $$\begin{align*}
0&=\Psi_{\alpha,\beta}(p(\alpha))\\
&=\Psi_{\alpha,\beta}(c_0+c_1\alpha+\dots+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\alpha^n)\\
&=c_0+c_1\beta+\dots+c_{n-1}\beta^{n-1}+\Psi_{\alpha,\beta}(\alpha^n)\\
&=c_0+c_1\beta+\dots+c_{n-1}\beta^{n-1}+\Psi_{\alpha,\beta}(\alpha)^n\\
&=c_0+c_1\beta+\dots+c_{n-1}\beta^{n-1}+\beta^n
\end{align*}$$
> Así, $\beta$ es conjugado de $\alpha$.
>
> - $(\Longleftarrow)$: Tenemos que $\text{irr}(\alpha,\mathbb{F})=\text{irr}(\beta,\mathbb{F})=p(x)$, por lo que el siguiente diagrama conmuta:
>
> <!-- https://q.uiver.app/#q=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 -->
> <iframe class="quiver-embed" src="https://q.uiver.app/#q=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&embed" width="600" height="200" style="border-radius: 8px; border: none;"></iframe>
> Luego $\Psi_{\alpha,\beta}=\Psi_\beta\circ\Psi_\alpha$ es un isomorfismo.

### Corolario:

> Si $\alpha$ es algebraico sobre $\mathbb F$ y $\Psi:\mathbb F(\alpha)\to\overline{\mathbb F}$ es un monomorfismo tal que $\Psi(x)=x$ para todo $x\in\mathbb F$, entonces $\Psi(\alpha)$ es un conjugado de $\alpha$.
>
> Recíprocamente, si $\beta$ es conjugado de $\alpha$, existe un único isomorfismo $\Psi_{\alpha,\beta}:\mathbb F(\alpha)\to\mathbb F(\beta)$ tal que $\mathbb F$ es invariante sobre $\Psi_{\alpha,\beta}$ y $\Psi_{\alpha,\beta}(\alpha)=\beta$.
>
> _Demostración:_
>
> En el primero, basta con evaluar $\Psi(\text{irr}(\alpha,\mathbb F))$ y ver que $\Psi(\alpha)$ también es raíz.
>
> El segundo se tiene por las condiciones $\Psi_{\alpha,\beta}(\alpha)=\beta$ y $\Psi_{\alpha,\beta}(1)=1$ ($1\in\mathbb F$). Dado que la base de $\mathbb F(\beta)$ es $\{1,\beta,\dots,\beta^{n-1}\}$, el isomorfismo está totalmente determinado.

#### Ejemplo:

> La función
>
> $$\begin{align*}\sigma:\mathbb C&\to\mathbb C\\z&\mapsto\overline z\end{align*}$$
> Es un isomorfismo que deja invariente a $\mathbb R$ y si $\alpha$ es raíz de un polinomio en $\mathbb R[x]$, $\overline\alpha$ también lo es. De hecho, $\sigma=\Psi_{i,-i}$.

## Definición:

> Sea $\text{Aut}(\mathbb E)$ el conjunto de **todos los automorfismos** de un campo $\mathbb E$.
>
> Además, recordar que $(\text{Aut}(\mathbb E),\circ)$ es un grupo.

### Teorema:

> Sea $S\subseteq \text{Aut}(\mathbb E)$, y sea $\mathbb E_S=\{\alpha\in \mathbb E:\sigma(\alpha)=\alpha,\forall \sigma\in S\}$. Se tiene que $\mathbb E_S$ es un subcampo de $\mathbb S$.

## Definición:

> Sean $\mathbb F$ y $\mathbb E$ campos tales que $\mathbb{E/F}$. Se define $\text{Gal}(\mathbb {E/F})=\mathbb {E_{F}}$ como el conjunto de todos los automorfismos que dejan invariante a $\mathbb F$.

### Teorema:

> $\text{Gal}(\mathbb{E/F})$ es un subgrupo de $\text{Aut}(\mathbb E)$.

### Lemas:

> $\mathbb E_{\text{Aut}(\mathbb E)}$ se denota el cuerpo fijo de todos los automorfismos de $\mathbb E$.

### Ejercicios:

- Determine los $\mathbb Q$-automorfismos de
- $\mathbb Q(\sqrt3)$.
- $\mathbb Q(\sqrt[3]{15})$.
- $\mathbb Q(\sqrt[6]3)$.

- Considere un cuerpo $\mathbb F$ con $|\mathbb F|<\infty$ y característica $p$. Pruebe que
$$\begin{align*}
\sigma_p:\mathbb F&\to\mathbb F\\
x&\mapsto x^p
\end{align*}$$
Es un automorfismo que fija a $\mathbb Z_p$ y además, $\mathbb F_{\{\sigma_p\}}=\mathbb Z_p$.