Rounding error, machine epsilon

• Te-Sheng Lin - 用電腦算極限
• Te-Sheng Lin - 用電腦算微分

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要在matlab顯示雙精度數值可用以下指令：

format long

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Assignment 1

試寫一matlab程式求 machine epsilon

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數值估計 Harmonic series

考慮調和級數(Harmonic series)

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$$
是否能以程式判斷其收斂或發散?

如果我們以電腦完全依照這級數一項一項做加法, 則一定會收斂到某個數字.

因為可以將此級數拆解為

$$\sum _{n=1}^{{10}^{16}}\frac{1}{n}+\sum _{n={10}^{16}+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$$
後面那個級數裡的每一項都小於 machine epsilon, 所以當他們被加進級數和時會沒有任何作用.

因此若以程式將此級數一項一項做加法, 一定會不大於前面那個級數和.

Remark:

$$\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}\approx {\int }_1^N\frac{1}{x}dx=\ln (N)$$

Rules

1. 絕對不可用程式判斷函數極限存在與否/數列或級數收斂與否
2. 可以用程式猜測函數極限存在與否/數列或級數收斂與否
   • 接著以數學證明
   • 若極限存在/數列或級數收斂 -> 以程式逼近此極限值

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Assignment 2 - Estimation of harmonic series

在 Matlab-03 我們寫過一個函數, input 為

$x$, output 為

$N$ 使得

$$S_N=\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}>x.$$

• 試計算出此程式所能運作最大的
  $x$, 以及最大的
  $N$, 使得使用者在 10 分鐘內可得知答案.
• 修改你的註解及程式碼.
  • 約略估計值即可, 不需完全準確.

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