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title: "ANALYSE DE DONNEES"
date: "20-2-2019"
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# Analyse de données


## Description bidimensionelle et mesure de liaison entre variables

### Couples de variables aléatoires

Soit 2 variables aléatoires $X$ et $Y$ (dans le cas discret) définies sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathscr{C}, \mathbb{P})$

* $\Omega$ Univers (l'ensemble des éléments élémentaires)
* $\mathscr{C}$ attribu tel que $\mathscr{C}$ inclu dans $P(\Omega)$ (== "toutes les parties de Omega")
* $\mathbb{P}$ probabilité

**Exemple :**
> Un évènement $A$ = $\{ (i,j) / i\} + j \ge 10$,
> $\mathscr{C} \in P$

$X(\omega)= \{X_i ~/~ i \in I \}$ l'ensemble des valeurs de X
$Y(\omega)= \{ Y_j ~/~ j \in J \}$ l'ensemble des valeurs de Y

### Loi conjointe $(X,Y)$

:::success
Définition :
On appelle loi conjointe du couple $(X,Y)$ l'ensemble des couples $((X_i, Y_j), P_{i,j})$ avec $\forall x_i \in X_\omega$, $\forall y_i \in Y_{\omega}$
$$
P_{i,j}=\mathbb{P}((X=x_i)\cap(Y=y_j))
$$
$P_{i,j} \geqslant 0$ et $\displaystyle\sum_{i,j}P_{i,j}=1$
:::

:::info
Remarque :
$I=[\![1,r]\!]$, $J=[\![1,s]\!]$
$$
\begin{bmatrix}
& y_1 & \dots & y_j & \dots & y_s & \text{Loi de X}\\
x_1 & P_{1,1} & & \vdots & & P_{1,s} & P_{1,\cdot} \\
\vdots & & & \vdots & & & \vdots \\
x_i & \dots & \dots & \boxed{P_{i,j}} & & & P_{i,\cdot} \\
\vdots & & & & & & \vdots \\
x_r & P_{r,1} & & & & P_{r,s} & P_{r,\cdot} \\
\hline \\
\text{Loi de Y} & P_{\cdot,1} & \dots & P_{\cdot,j} & \dots & P_{\cdot,s} & 1\\
\end{bmatrix}
$$
:::

### Lois marginales

Les V.A. $X,Y$ sont appelees variables marginales des couples $(X,Y)$

Loi marginale de X :
$$
\boxed{\mathbb{P} [X = x_i] = P_{i.} = \sum_{j \in J} P_{i,j}}
$$

Loi marginale de Y :
$$
\boxed{\mathbb{P} [Y = y_j] = P_{.j} = \sum_{i \in I} P_{i,j}}
$$

**Exemple :**

$$
\begin{bmatrix}
& 1 & 2 & 3 & 4 & \text{Loi de X} \\
1 & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\
2 & 0 & \frac{2}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\
3 & 0 & 0 & \frac{3}{16} & \frac{1}{16} & \frac 1 4\\
4 & 0 & 0 & 0 & \frac{4}{16} & \frac 1 4\\
\text{Loi de Y} & \frac{1}{16} & \frac{3}{16} & \frac{5}{16} & \frac{7}{16} & 1\\
\end{bmatrix}
$$

### Lois conditionnelles

On appelle loi conditionnelle de $X = x_i$ sachant que $Y = y_j$ :

:::success
$$
\mathbb{P}(X = x_i | Y = y_j) = \frac{\mathbb{P}((X = x_i) \cap (Y = y_i))}{\mathbb{P}(Y = y_j)} = \frac{\mathbb{P_{ij}}}{\mathbb{P}_{.j}}
$$
avec $\mathbb{P}(Y = y_j) \ne 0$
:::

:::success
$$
\mathbb{P}(X=x_i | Y = y_j)=\frac{\mathbb{P}_{i,j}}{\mathbb{P}_{.j}}
$$
$$
\mathbb{P}(Y=y_j | X = x_i)=\frac{\mathbb{P}_{i,j}}{\mathbb{P}_{i.}}
$$
:::

**Exemple :** (matrice précédente)

$\mathbb{P}(X=x_i | Y=3)$

| $X_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---------------------: | ------------- | ------------- | ------------- | -- |
| $\mathbb{P}(X=x_i\|Y=3)$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | 0 |

$$
\mathbb{P}(X=1|Y=3)=\frac{\mathbb{P}((X=1) \cap (Y=3))}{\mathbb{P}(Y=3)}=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{5}{16}}=\frac{1}{5}
$$

:::success
Définition : [Indépendance]
$X$ et $Y$ sont indépendantes ssi
$$
\mathbb{P} ((X = x_i) \cap (Y = y_j)) = \mathbb{P}(X=x_i) \cdot \mathbb{P}(Y=y_j)
$$
$\forall x_i\in X(\omega)$, $\forall y_j \in Y(\omega)$

Equivalent à :
$$
\mathbb{P}_{i,j} = \mathbb{P}_{i.} \cdot \mathbb{P}_{.j}
$$
:::

### Loi d'une fonction de 2 variables

Soit $g : \mathbb{R}^2 \longmapsto \mathbb{R}$ et $Z$ la variable aléatoire $Z = g(X,Y)$ avec $(X,Y)$ couple de valeurs aléatoires,
$g$ est une fonction quelconque.

Les valeurs prises par $Z: g(x_i, y_j)$, $x_i\in X(\omega)$, $y_j\in Y(\omega)$

$$
Z(\omega) = \{ Z_k ~/~ k \in K \}_{K \subset \mathbb{N} \text{ ou } \mathbb{Z}}
$$

$$
\underbrace{[Z = z_k]}_{\text{événement }} = \bigcup_{(i,j)} ([X=x_i]\cap [Y=y_j])
$$

:::info
Evènements incompatibles : leur intersection est vide.
Soit $A_{i,j} \bigcap A_{i',j'} = \emptyset \\ (i,j) \ne (i',j')$
:::

:::success
$$
\mathbb{P}(Z=z_k)=\sum_{(i,j) ~/~ g(X)_{ij}=Z_k} \mathbb{P}((X=x_i)\cap (Y=y_j))
$$
:::

:::info
Remarque :
En particulier $Z=X+Y$
$$
\mathbb{P}(Z=x+y)=\sum_{x+y=Z}\mathbb{P}((X=x)\cap(Y=y))
$$
Si $Z = X \cdot Y$
$$
\mathbb{P}(Z=x\cdot y)=\sum_{xy=Z}\mathbb{P}((X=x)\cap(Y=y))
$$
:::

**Exemple :**

| X\Y | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---: | :------------: | :------------: | :------------: | :------------: |
| 1 | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |
| 2 | 0 | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |
| 3 | 0 | 0 | $\frac{3}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |
| 4 | 0 | 0 | 0 | $\frac{4}{16}$ |

1 Déterminer la loi de $S = X + Y$
2 Déterminer la loi de $P = X \cdot Y$

$S(\omega) = \{2, 3, 4,5,6,7,8 \}$

| $S_i$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :---: | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| $P_i=P(S=S_i)$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{2}{16}$ | $\frac{4}{16}$ | $\frac1{16}$ |$\frac4{16}$ |

$P= X \cdot Y$ (produits)

$p(\omega) = \{1,2,3,4,6,8,9,12,16\}$

| $P_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 12 | 16 |
| :---: | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| $\mathbb{P}(P=P_i)$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac1{16}$ |$\frac3{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{4}{16}$ |

:::success
**Definition :**
Soit $Z = g(X,Y)$
On appelle esperance de $Z$
$$
E(Z)=\sum_{i\in I \\ j \in J} (g(x_i, y_j) \cdot \mathbb{P}((X=x_i)\cap (Y=y_i)))
$$
:::

:::info
**Remarque :**
$$
E(XY) = \sum_i \sum_j x_iy_j \mathbb{P}_{i,j}
$$
Si 2 V.A. $X$ et $Y$ sont indépendantes alors
$$
E(XY)=E(X)E(Y)
$$

* Reciproque est fausse en général
* Condition suffisante non necessaire

**Contre-exemple :**
| X\Y | 0 | 1 | 2 | Loi de X |
| :------: | :-------------: | :-----------: | :-----------: | :------------: |
| 0 | $\frac{1}{20}$ | $\frac{1}{4}$ | 0 | $\frac{3}{10}$ |
| 1 | $\frac{17}{60}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{7}{10}$ |
| Loi de Y | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ | 1 |

$$
E(X \cdot Y) = \sum_{i = 0}^1\sum^2_{j = 0} x_i \cdot y_j ~ P_{i,j} = \frac{1}{4} \times 1 + \frac{1}{6} \times 2
$$

$E(X)=\displaystyle\sum_{i=0}^{1} x_i~P_i=\frac{7}{10}$
$E(Y)=\displaystyle\sum_{j=0}^{2}j~P_j=\frac 1 2 + \frac 2 6=\frac{5}{6}$

$E(X)E(Y)=\frac{35}{60}=\frac{7}{12}=E(XY)$
$E(X \cdot Y)=E(X)E(Y)$
Mais $X$ et $Y$ sont dépendantes car $\mathbb{P}((X=0)\cap(Y=2))=0\neq \mathbb{P}((X=0)\mathbb{P}(Y=2))=\frac{1}{20}$
:::

:::success
**Définition : [Covariance]**
Soit 2 V.A. $X$,$Y$ discrètes
On appelle covariance de x,y l'espérance de xy - le produit des espérances respectives.
$$
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
$$
$$
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(XY)
$$
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes $\Longrightarrow Cov(X,Y)=0$
$\boxed{V(X+Y) = V(X) + V(Y)}$
:::

### Corrélation linéaire

:::success
**Défintion :**
On appelle cœfficient de corrélation entre $X$ et $Y$,
\begin{align}
\rho(X,Y)&=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\\
\underbrace{\sigma_X}_{\text{écart-type}} &= \sqrt{V(X)}, \sigma_Y = \sqrt{V(Y)}
\end{align}
:::

:::info
**Remarque :**
* $\sigma_x = ||X-E(X)|| \text{ , } \sigma_y = ||Y-E(Y)||$
* $\underbrace{\langle X-E(X), Y-E(Y) \rangle}_{\text{produit scalaire}} = Cov(X,Y)$
* $\rho(X,Y)=\frac{\langle X-E(X), Y-E(Y)\rangle}{||X-E(X)||||Y-E(Y)||}$
* $\cos \theta = \frac{\langle u,v\rangle}{||u||||v||}$
* $|\rho(X,Y)| \leqslant 1$
* $|\rho(X,Y)| = 1 \longrightarrow X, V$ colinéaire
* $|\rho(X,Y)| = 0 \longrightarrow X, V$ perpendiculaire
:::

> **Exercice d'application :**
> "À préparer pour la prochaine fois" :
>
> | $X_i$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
> | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
> | $\mathbb P(X = X_i)$ | $\frac16$ | $\frac14$ | $\frac 1 6$ | $\frac14$ | $\frac16$ |
>
> Soit $Y = X^2$.
>
> 1. Donner la loi conjointe de $(X,Y)$
> 2. Loi marginale de Y
> 3. Indépendance?
> 3. Calculer $Cov(X,Y)$
> ---
> **La loi conjointe de $(X,Y)$**
> * $P_{i,j} = \mathbb P((X=i) \cap (Y=j)) = 0$ si $j \neq i^2$
> * $P_{i,j} = \mathbb P(\underbrace{(X=i) \cap (Y=i^2)}_{\{X=i\} \subset \{Y=i^ 2\}}) = \mathbb P(X=i)$ si $j = i^2$
>
> | $X \backslash Y$ | 0 | 1 | 4 | Loi de $X$ |
> | :-----: | :-------: | :-------: | :-------: | :----------: |
> | -2 | 0 | 0 | $\frac16$ | $\frac 16$ |
> | -1 | 0 | $\frac14$ | 0 | $\frac 14$ |
> | 0 | $\frac16$ | 0 | 0 | $\frac 16$ |
> | 1 | 0 | $\frac14$ | 0 | $\frac 14$ |
> | 2 | 0 | 0 | $\frac16$ | $\frac 16$ |
> | Loi de $Y$ | $\frac16$ | $\frac12$ | $\frac13$ | 1 |
>
> **Loi marginale de $Y$**
> D'aprés le tableau de la loi conjointe
>
> | $i$ | 0 | 1 | 4 |
> | :-----: | :-------: | :-------: | :-------: |
> | $\mathbb P(Y=Y_i)$| $\frac 16$| $\frac 12$| $\frac 13$ |
>
> **Indépendance**
> $P_{ij} = \mathbb P((X=x_i) \cap (Y=y_j)) =^? \mathbb P(X=x_i) \cdot \mathbb P(Y=y_j) ~\forall (i,j)$
> Or $P_{ij} = \mathbb P((X=0) \cap (Y=1)) = 0 \neq \mathbb P(X=0) \cdot \mathbb P(Y=1) = \frac16 \cdot \frac12 = \frac{1}{12}$
> $\Rightarrow$ $X$ et $Y$ ne sont pas indépendants
>
> **La covariance**
>
> $$Cov(X,Y) = E(X \cdot Y) - E(X)E(Y) \\
E(X \cdot Y) = \sum_{i,j} x_i y_j \mathbb P_{i,j} = \sum_{i} x_i \sum_{j} y_j \mathbb P_{i,j} \\
> \text{avec } P_{i,j}=\mathbb P((X=x_i)\cap (Y=y_j)) \\
E(XY) = -\frac 86 - \frac 14 + \frac 14 + \frac 86 = 0$$
> $$E(Y) = \sum y_i \mathbb P (Y=y_i)= \frac 12 + \frac 43 = \frac{11}{6}$$
> $$E(X) = \sum x_i \mathbb P (X=x_i)= -\frac 13 - \frac 14 + \frac 14 + \frac 13 = 0$$
> :::success
> $Cov(X, Y) = 0$
> On peut noter que lorsque **X** et **Y** sont indépendante la covariance est nulle. Cependant la réciproque n'est pas vrai.
> La preuve dans cet exercice **X** et **Y** sont dépendante et leur covariance est nulle.
> :::

> **Exercice 2**
> On a $n$ boîtes numérotées de $1$ à $n$
> La boîte n°$k$ contient $k$ boules numérotées de 1 à $k$.
> On choisit au hasard une boîte puis une boule dans cette boîte.
> $X$ V.A le numéro de la boîte
> $Y$ V.A le numéro de la boule
>
> 1) Déterminer la loi conjointe
> 2) Calculer $\mathbb P(X=Y)$
> 3) Déterminer la loi marginale de Y
> 4) Calculer $E(Y)$
> ---
> $X(\omega) = \{1 ,2 ,\ldots ,n\}$
> $Y(\omega) = \{1 ,2 ,\ldots ,n\}$
> Loi de couple $(X,Y)$ ?
> $\mathbb P((X=i)\cap(Y=j))$
>
> $\forall i \in [\![1, n]\!]$
> $\forall j \in [\![1, n]\!]$
>
> **Loi conjointe**
> Soit $j > i$
> $P_{ij} = \mathbb P((X=x_i) \cap (Y=y_j)) = 0$
>
> Soit $j <= i$
> $P_{ij} = \mathbb P((X=x_i) \cap (Y=y_j))$
> $= \mathbb P(Y=y_j|X=x_i) \cdot \mathbb P(X=x_i)$
> $= \frac{1}{i} \cdot \frac{1}{n}$
>
> **$\mathbb P(X=Y)$**
>
> $\mathbb (X=Y) = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} (X=x_i) \cap (Y=y_i)$
> évènements indépendants donc
> $\mathbb P(X=Y) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} P_{ii} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$
>
> **Loi marginale de Y**
> $\mathbb P(Y=j)=\displaystyle\sum_{i}^{n}\mathbb((X=x_i)\cap (Y=y_j))$
> $=\displaystyle\sum_{i = j}^{n}\frac{1}{i \cdot n}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i = j}^{n}\frac{1}{i}$
>
> **Espérance de Y**
> $E(Y) = \displaystyle\sum_{j=1}^{n} j \cdot \mathbb P(Y=y_j)$
> $E(Y) = \displaystyle\sum_{j=1}^{n} j \cdot \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=j}^{n} \frac{1}{i}$
> $E(Y) = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} j \displaystyle\sum_{i=j}^{n} \frac{1}{i}$
> $E(Y) = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \displaystyle\sum_{j=1}^{i}j$
> $E(Y) = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \cdot \frac{i(i + 1)}{2}$
> $E(Y) = \frac{1}{2n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} i+1$
> $E(Y) = \frac{1}{2n} (\frac{n(n+1)}{2} + n)$
> $E(Y) = \frac12 (\frac{n+1}{2} + 1)$
> $E(Y) = \frac{n+3}{4}$

> **Exercice 3**
> On dispose d'un dé équilibré à 6 faces
> et d'une pièce truquée telle que la probabilité d'obtenir pile vaut $p \in ]0,1[$
> Soit $N \in \mathbb N^{*}$ (fini). On effectue $N$ lancés de dé. Si $n$ est le nombre de six obtenu, on lance alors $n$ fois la pièce.
> $Z$ V.A nombre de six obtenus
> $X$ V.A nombre de pile
> $Y$ V.A nombre de face
> $Z = X + Y$
> $Z = 0$ si $X = Y = 0$
>
> 1) déterminer la loi de Z, E(Z), V(Z)
> 2) $\forall k \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}$ déterminer $\mathbb P(X=k|Z=n)$
> 3) $\forall 0 \leq k \leq n < N$ calculer $\mathbb P((X=k) \cap (Z=n))$
> 4) calculer $P(X = 0)$
> 5) Montrer que $\forall 0 \leq k \leq n \leq \mathbb{N}, \binom{n}{k} \binom{N}{n} = \binom{N}{k} \binom{N-k}{n-k}$
> Pour cette 5è question il s'agit de prouver une égalité de deux combinaisons de type k parmi n, cette égalité servira pour la question 6. Elle est facile à prouver car il suffit de développer LHS et RHS en utilisant la formule (k parmi n) = n!/k!(n-k)! puis de simplifier des deux côtés
> 6) En déduire $P(X=k)$
> Reconnaître la loi de $X$
> 7) Loi de $Y$ ?
> 8) Calculer $Cov(X, Y)$, $X$ et $Y$ sont-ils indépendants ?
> 9) Loi de $(X, Y)$ ?
>
> ---
>
> 1) $Z \hookrightarrow B(N,\frac16)$
> $E(Z) = \frac{N}{6}, V(Z) = N \cdot \frac16 \frac56 = \frac{5N}{36}$
>
> 2)
> Soit $k > n$
> $\mathbb P(X=k|Z=n) = 0$
> Soit $0 \leq k \leq n$
> $\mathbb P(X=k|Z=n) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$
>
> Donc $X|Z=n \hookrightarrow B(n,p)$
>
> 3) $\mathbb P((X=k) \cap (Z=n)) = \mathbb P(X=k|Z=n) \mathbb P(Z=n)$
> $\forall 0 \leq k \leq n \leq \mathbb{N}$
> $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \binom{N}{n} (\frac{1}{6})^n(\frac{5}{6})^{N-n}$
>
> 4) ** $P(X=k) = 0$ **
>
> $\mathbb P(x=0) = \displaystyle\bigcup_{n=0}^{N} (X=0) \cap (Z=n)$
> évènements incompatible donc
> $\mathbb P(x=0) = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} P((X=0) \cap (Z=n))$
> $\mathbb P(x=0) = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} (1-p)^n \binom{N}{n} \frac16^{n} \frac56^{N-n}$
> $\mathbb P(x=0) = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} (1-p)^n \binom{N}{n} \frac{5^{N-n}}{6^N}$
> $\mathbb P(x=0) = \frac{1}{6^N} \displaystyle\sum_{n=0}^{N} \binom{N}{n} (1-p)^n 5^{N-n}$
> $\mathbb P(x=0) = \frac{1}{6^N} (6 - p)^N$
> $\mathbb P(x=0) = (1 - \frac{p}{6})^N$
>
> :::info
> **Formule du binôme de Newton**
> $(a + b)^N = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} \binom{N}{n} a^n b^{N-n}$
> :::
>
> 5) $\binom{n}{k} \binom{N}{n} =? \binom{N}{k} \binom{N-k}{n-k}$
>
> $\frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{N!}{n!(N-n)!} = \frac{N!}{k!(N-k)!} \frac{(N-k)!}{(n-k)!(N-n)!}$
> les deux expressions se simplifient en
> $\frac{N!}{k!(n-k)!(N-n)!}$
>
> 6)$\mathbb P (X = k) = \binom N k \frac{p^k}{6^N} \displaystyle\sum^N_{n = k} \binom{N-k}{n-k} (1-p)^{n-k}5^{N-n}$
>
> Posons $i = n - k$
> $\mathcal P (X=k) = \binom{N}{k} \frac{p^k}{6^N} \displaystyle\sum^{N-k}_{i=0} \binom{N-k}{i} (1-p)^{i} 5^{N-k-i}$
> $= \binom{N}{k} \frac{p^k}{6^N}(1-p+5)^{N-k} = \binom{N}{k} (\frac{p}{6})^k (1 - \frac{p}{6})^{N-k}$
> $X \hookrightarrow \mathcal B(N, p/6)$
>
>7) Même raisonnement pour la loi de $Y$
> $Y \hookrightarrow \mathcal B(N, q/6)$ où $q = 1 - p$
>
> 8) $Cov(X,Y) = ?$
> Rappel : Covariance d'une somme dans le cas general
> $Var(Z) = Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$
>
> $Z \hookrightarrow \mathcal B(N, 1/6)$
> $X \hookrightarrow \mathcal B(N, p/6)$
> $Y \hookrightarrow \mathcal B(N, q/6)$
>
> :::info
> $X \hookrightarrow \mathcal B(n, p)$
> $E(X) = np$
> $V(X) = npq = np(1-p)$
> :::
> $Cov(X,Y) = \frac12 (V(Z) - V(X) - V(Y))$
> $Cov(X,Y) = \frac12 (\frac{5N}{36} - \frac{Np}{6}(1-\frac{p}{6}) - \frac{Nq}{6}(1-\frac{q}{6}))$
> $Cov(X,Y) = \frac12 \times \frac{1}{36} (5N - NP(6-p) - Nq (6-q))$
> $Cov(X,Y) = \frac12 \times \frac{1}{36} (5N - 6Np + Np^2 - 6Nq + Nq^2)$
> $Cov(X,Y) = \frac 12 \times \frac 1 {36} (5 N - 6Np +Np^2 -6N(1-p) + N(1 -2p + p^2))$
> $Cov(X,Y) = \frac12 \times \frac{1}{36} (2Np^2 - 2Np)$
> $Cov(X,Y) = \frac{1}{36} (Np(p - 1)) \ne 0$ car $p \ne 0, p \ne 1$
> $\Rightarrow X$ et $Y$ ne sont pas indépendants
>
> 9) Loi du couple $(X,Y)$
> $Z \in [\![0,N]\!]$
> $X = i$ et $Y =j$
> $Z = i+j$
> $\mathbb P ((X=i) \cap (Y = j)) = \mathbb P ((X=i) \cap (Z=i+j))$
> $= \binom{n}{i} \binom{N}{i+j} p^{i} (1-p)^{n-i} (\frac56)^{N-(i+j)} (\frac16)^{i+j}$

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**Exercice 4**

> Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée.
> On note sa couleur et on la remet dans l'urne, avec $C$ boules de la même couleur de la boule tirée. On repète cette épreuve $n$ fois. ($n \ge 2$)
>On définit:
> $X_i = \begin{cases}\text{1 si on obtient une boule blanche au i}^{ème} tirage \\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$
>
> $Z_p = \sum^p_{i=1} X_i$
>
> 1) Déterminer la loi du couple $(X_1,X_2)$ et en déduire la loi de $X_2$
> 2) Déterminer la loi de $Z_2$
> 3) Déterminer $\mathbb P(X_{p + 1} = 1 / Z_p = k)$
> 4) Montrer que $\mathbb P(X_{p + 1} = 1) = \frac{1 + C \mathbb E(Z_p)}{2 +pc}$
> 5) Montrer que $\forall p; 1 \le p \le n$
> $\mathbb P(X_p = 1) = \mathbb P(X_p = 0) = \frac 12$
> Récurrence sur p.

> 1) $\mathbb P (X_1 = 1) = \mathbb P(X_1 = 0) = \frac12$
> Donc $X_1 \hookrightarrow \mathcal B(p \frac 12)$ Bernoulli
> $\mathbb P((X_1 = i)\cap (X_2 = k)) = \mathbb P({X_2 = k}|{X_1 = i}) \overbrace{\mathbb P(X_1 = i)}^{\frac12}$
>$1^{er}$ cas $i \ne k$
> $\mathbb P({X_2 = k}|{X_1 = i}) = \frac{1}{2+C} \rightarrow \mathbb P((X_1=i) \cap (X_2=k)) = \frac{1}{2*(2+C)}$
> $2^{me}$ cas $i = k$
> $\mathbb P({X_2=i}|{x_1=i}) = \frac{1+C}{2+C}$
>
> | $X_1 \backslash X_2$| 0 | 1 | Loi de $X_1$ |
> | :---------: | :------: | :------: | :--------: |
> | 0 | $\frac{1+C}{2(2+C)}$ | $\frac{1}{2(2+C)}$ | $\frac12$ |
> | 1 | $\frac{1}{2(2+C)}$ | $\frac{1+C}{2(2+C)}$ | $\frac12$ |
> | Loi de $X_2$ | $\frac12$ | $\frac12$ | 1 |
> $X_2 \hookrightarrow \mathcal B(p=\frac12)$
> $2 \leq p \leq n$ et $Z_p = \sum^p_{i=1} X_i$
>
> 2) $Z_2 = X_1 + X_2$
> $Z_2(\omega) = \{ 0,1,2 \}$
> $\mathbb P(Z_2 = 0) = \mathbb P((X_1=0) \cap (X_2 = 0)) = \frac{1+C}{2(2+C)}$
> $\mathbb P(Z_2 = 1) = \mathbb P((X_1=1) \cap (X_2 = 0)) + \mathbb P((X_1=0) \cap (X_2 = 1)) = \frac{1}{2+C}$
> $\mathbb P(Z_2 = 2) = \mathbb P((X_1=1) \cap (X_2 = 1)) = \frac{1+C}{2(2+C)}$
>
> 3) $\mathbb P (X_{p+1} = 1|Z_p = k)$
> $Z_p(\omega)=[[0,p]]$
> $(Z_p=k) \Leftrightarrow$ au cours des $p$ tirages on a obtenu $k$ boules blanches et $(p-k)$ boules noires
> au $(p +1)^{ième}$ tirage l'urne contient: $2 +pc$ boules dont $1 + kc$ boules blanches
> Donc $\mathbb P(X_{p+1}=1|Z_p=k) = \frac{1+kc}{2+pc}$
>
> 4) $\mathbb P(X_{p+1} = 1) ?$
> $(X_{p + 1} = 1) = \displaystyle \bigcup_{k = 0}^p \underbrace{[(X_{p+1} = 1)\cap (Z_{p} = k)]}_{\text{événements incompatibles}}$
> $\mathbb P(X_{p+1} = 1) = \displaystyle \sum^{p}_{k=0} \mathbb P((X_{p+1} = 1) \cap (Z_p=k))$
> $\mathbb P(X_{p+1} = 1) = \displaystyle \sum^{p}_{k=0} \mathbb P(\frac{X_{p+1} = 1}{Z_p = k}) \mathbb P(Z_p=k)$
> $= \displaystyle\sum^p_{k = 0} (\frac{1 + kc}{2 + pc} \mathbb P(Z_p = k))$
> $= \frac{1}{2+pc} (\underbrace{\displaystyle \sum^{p}_{k=0} \mathbb P(Z_p=k)}_{=1} + c \underbrace{\displaystyle \sum^{p}_{k=0} k \mathbb P(Z_p=k)}_{E(Z_p)})$
>
> 5) Raisonnement par récurrence sur $p$
> si $p = 1 , \mathbb P(X_i = 1) = \mathbb P(X_i = 0) = \frac 12 X_1 \hookrightarrow \mathcal B(\frac 12)$
> $p = 2 ,\mathbb P(X_2 = 1) = \mathbb P (X_2 = 0) = \frac 12$
> $X_2 \hookrightarrow \mathcal B(\frac 12)$
> \underline{Hypothèse de récurrence} Supposons que cette propriété reste vraie jusqu'au rang $p$
> $Z_p = \displaystyle \sum^{p}_{i=1} X_i$
> $E(Z_p) = \displaystyle \sum^{p}_{i=1} E(X_i) = \displaystyle \sum^{p}_{i=1} \frac12 = \frac{p}{2}$
> $\Rightarrow \mathbb P(X_{p+1}=1) = \frac{1 + c p/2}{2 + pc} = \frac12 (\frac{2+pc}{2+pc}) = \frac12$
> $\mathbb P(X_{p+1} = 0) = 1 - \frac12 = \frac12$
>

**Exercice 5**

> $a \in \mathbb R$
> $X,Y$ 2 variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb N$
> $\mathbb P((X=k)\cap(Y=j)) = \frac{a}{2^{k+1}j!}$
> 1) Déterminer la constante $a$
> 2) Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$
> 3) Déterminer l'indépendance des variables $X$ et $Y$
> 4) Calculer la covariance $Cov(X,Y)$

> 1. Donc il faut que $a \geq 0$ et $\displaystyle \sum_{k=0,j=0} P_{kj} = 1$
> $\displaystyle\sum_{k,j} \mathbb{P((X=k)\cap(X=j))} = 1 \Rightarrow \displaystyle\sum_{k,j}\frac{a}{2^{k+1}j!}=1$
> $\Rightarrow a \displaystyle\sum_{k,j=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{k+1}j!}=1$
> $\Rightarrow a\underbrace{\displaystyle\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{j!}}_{e}\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{k+1}}}_{1}=1$
> $\Rightarrow a \cdot e=1 \Rightarrow a = \frac 1 e = e^{-1}$
>
> :::info
> *Rappel* :
> $e^x = \displaystyle\sum_{0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} \forall x \in \mathbb R$
> $e= \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} (x=1)$
> :::
> $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{k+1}} = 1/2$
> Forme géométrique $\displaystyle\sum_{0}^{+\infty} a^k = \frac{1}{1-a}$ avec $|a| < 1$
> $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = \frac12 \frac{1}{1- \frac12} = 1$
>
> 2. *Loi marginal de $X$*
> $\mathbb{P}(X=k)=\displaystyle\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{a}{2^{k+1}j!}$
> $\forall k \in \mathbb{N}$, a constant et $2^{k+1}$ aussi donc
> $\mathbb{P}(X=k)= \frac{a}{2^{k+1}}\displaystyle\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{j!} = \frac{a \cdot e}{2^{k+1}}=\frac{1}{2^{k+1}}$
>
> *Loi marginal de $Y$*
>
> $\mathbb{P}(Y=j) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a}{2^{k+1}j!} = \frac{a}{j!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k+1}}$
> $\mathbb{P}(Y=j) = \frac{a}{j!}\frac12\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(1/2)^k$
> $= \frac{a}{j!} \frac12 \frac{1}{1-\frac12} = \frac{a}{j!}=\frac{e^{-1}}{j!}$
> $\mathbb{P}(Y=j) = \frac{e^{-1}}{j!} \quad \forall j \in \mathbb{N}$
>
> 3. Indépendance ?
> $\forall (j,k)\in \mathbb{N}^2, \mathbb{P}((X=k)\cap(Y=j)) \overset{?}{=} \mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y=j)$
> $\mathbb{P}((X=k)\cap(Y=j)) = \frac{a}{2^{k+1}j!}=\frac{1}{2^{k+1}}\frac{a}{j!}$ avec $a=e^{-1}$ donc oui
>
> 4. $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$ car $X$ et $Y$ sont indépendants.
> *Rq* $\rho (X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = 0$
>

## 5) Statistique multidimensionnelle
### a) Tableau des données

Les observations de $p$ variables sur $n$ individus sont rassemblées en une matrice $X$ à $n$ lignes et $p$ colonnes

$$
X = \begin{pmatrix}
X^{(1)}_1 & \cdots & \vdots & \cdots \\
X^{(1)}_2 & \cdots & \vdots & \cdots \\
X^{(1)}_i & \cdots & X^{(j)}_i & \cdots \\
\vdots & \cdots & \vdots & \cdots \\
X^{(1)}_n & \cdots & X^{(j)}_n & \cdots \\
\end{pmatrix}
$$

$$
X^{(j)} = \begin{pmatrix}
X^{(j)}_1 \\
X^{(j)}_2 \\
\vdots \\
X^{(j)}_n \\
\end{pmatrix}
$$

$i^{ème}$ individu : $^te^i = (X_i^{(1)},X_i^{(2)},\ldots,X_i^{(p)})$

Ligne numéro $i$ de $X$ :
$l_i = \begin{pmatrix}
X_i^{(1)} \\
\vdots \\
X_i^{(p)}
\end{pmatrix}$

### b) Matrice des poids
On associe à chaque individu un poids $p_i \ge 0$ ($p_i$ : de choisir l'individu numero $i$)
$\sum_{i =1}^{n} p_i = 1$
$$
D=
\begin{pmatrix}
p_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & P_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & 0 & \ddots & \cdots & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & p_n \\
\end{pmatrix}
$$
matrice de poids

Si $P_i = \frac 1 n$
$D = \frac 1 n I_n$ (avec $I_n$ la matrice identite)

### c) Centre de gravité
Vecteur g de moyenne arithmétique de chaque variable :
$^tg = (\overline{X^{(1)}},\overline{X^{(2)}}, \dots, \overline{X^{(p)}})$

Moyenne de $X^{(j)}$ :
$\overline{X^{(j)}} = \sum_{i = 1}^n P_i X_i^{(j)}$

Le tableau des données centrées est Y:
$\forall(i,j), y_i^{(j)} = X_i^{(j)} - \overline{(X^{(j)})}$

### d) Matrice variance-covariance et matrice de corrélation

Déf. : On appelle matrice de variance-covariance la matrice $V$ tq:
$V_{ij} = Cov(X^{(i)},X^{(j)})$
$V_{ii} = V(X^{(i)})$ variance de $X^{(i)}$
$V(X^{(i)}) = \displaystyle\sum_{j=1}^{n} P_j(y_j^{(i)})^2$

Une matrice de variance-covariance est toujours symétrique, ie. $^tV = V$.

$\sigma(X^{(i)}) = \sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} P_j(y_j^{(i)})^2}$ écart-type de $X^{(i)}$

On note $D_{1/S}$ la matrice diagonale des inverses des écarts-types
$$
D_{1/S} =
\begin{pmatrix}
1/S_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \ddots & 0 & \vdots \\
\vdots & 0 & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 1/S_p \\
\end{pmatrix}
$$

$S_j = \sigma(X^{(j)})$
$Z = YD_{1/S}$

$Z$ : matrice des données __centrées__ et __réduites__
$$
Z_i^{(j)} = \frac{X_i^{j} - \bar{X}^{(j)}}{S_j} = \frac{y_i^{(j)}}{S_j}
$$

La matrice de corrélation
$R = D_{1/S} V D_{1/S}$
$= \underbrace{D_{1/S} \,^{t}Y}_{Z}D\underbrace{D_{1/S} Y}_{Z}$
$R = \,^{t}ZDZ$ symétrique

## 6) Espace des individus et espace des variables

Chaque individu etant un vecteur defini par $p$ coordonnees.
On note $F$ l'espace des individus de dimension $p$. Les $n$ individus forment un nuage de points dans $F$ et $g$ en est le centre de gravite.

La distance entre 2 individus $l_i$ et $l_j$ est définie par:
$\langle e_i, e_j \rangle = \,^te_iMe_j$
où $M$ : matrice symétrique definie positive.

$(\,^tM = M \langle M_u,u \rangle >0, \forall u \ne 0)$
$||u|| = \sqrt{\langle u,u \rangle} = \sqrt{\,^t_uM_u}$
$d^2(e_i,e_j) = || e_i - e_j||^2 = \,^t(e_i - e_j) M (e_i - e_j)$
$d(e_i,e_j) = \sqrt{\,^t(e_i - e_j)M(e_i - e_j)}$
Si $M = I$ on retrouve le produit scalaire canonique
Si $M = D_{1/S^2}$ ce qui revient à diviser chaque caractère par son écart-type

::: success
**Définition :**
On appelle $\color{red}{\text{inertie totale}}$ du nuage de points la __moyenne__ __pondérée__ des __carrés__ des __distances des points__ au __centre de gravité__.
$I_g = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i \,^t(e_i - g)M(e_i - g)$
$I_g = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i ||e_i - g||^2$
:::

## 7) Espace des variables

$$
X^{(j)}=
\begin{pmatrix}
X_1^{(j)} \\
\vdots \\
X_n^{(j)} \\
\end{pmatrix}
\text{Variable numéro } j
$$
Soit $E$ l'espace des variables dim $E = n$

Pour étudier la proximité des variables il faut ?préciser? cet espace d'une métrique $M$
ici $M=D$ (matrice des poids)
$\langle Y^{(j)}, Y^{(k)} \rangle = \,^tY^{(j)}DY^{(k)}$

$Cov(X^{(j)}, X^{(k)}) = \langle Y^{(j)}, Y^{(k)} \rangle$
$|| Y^{(j)} || = \sqrt{\,^tY^{(j)}DY^{(j)}} = S_j$

$$
\rho(X^{(j)}, X^{(k)}) =
\frac{Cov(X^{(j)}, X^{(k)})}{S_j S_k}
= \frac{\langle Y^{(j)}, Y^{(k)} \rangle}{|| Y^{(j)} || || Y^{(k)} ||}
$$

$\rho(X^{(j)}, X^{(k)}) = \frac{\langle Y^{(j)}, Y^{(k)} \rangle}{|| Y^{(j)} || || Y^{(k)} ||} = \text{Cos} \Theta_{j,k}$
$| \rho(X^{(j)}, X^{(k)}) | \leq 1$

$A$ une variable $X^{(j)}$ on peut associer un axe de l'espace des individus $F$
et un vecteur de l'espace des variables.
On peut également déduire de $X^{(1)}, X^{(2)}, \cdots, X^{(p)}$ de nouvelles variables par combinaison linéaire,
ce qui revient à projeter les individus sur de nouveaux axes de $F$.
Soit $\Delta$ un axe de l'espace des individus, engendré par un vecteur unitaire $a$ ($M$ normé à 1; $||a|| = \,^taMa=1$ M métrique).

cf : projection des individus sur un axe (Projection M_orthogonale)


La liste des coordonnées $C_i$ des individus sur $\Delta$ forme une nouvelle variable (variable artificielle)
$$
C =
\begin{pmatrix}
C_1 \\
C_2 \\
\vdots \\
C_i \\
\vdots \\
C_n
\end{pmatrix}
$$
$C_i = \langle l_i, a \rangle = \,^te_iMa$
$C = XMa$

$$
C=^te_i
\underbrace{
\begin{pmatrix}
X^{(1)} & ... & X^{p} \\
\vdots \\
X^{(1)} & ... & X^{p} \\
\end{pmatrix}}_{X}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
x & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \ddots & 0 & \vdots \\
\vdots & 0 & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & x \\
\end{pmatrix}}_{M}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
a_i \\
\vdots \\
\end{pmatrix}}_a
$$

Mat S.D.P (on suppose que les variables $X^{(j)}$ sont centrés $Y=X$)

$C = X\underbrace{Ma}_{u} = Xu = \displaystyle\sum_{j=1}^{p} u_j X^{(j)}$
$u = Ma$

$u = Ma$ (Si $M=I \Rightarrow u=a$)
$\,^ta Ma = 1$
$\,^tuMu = \,^ta\,^tMM^{-1}Ma$
$=\,^ta\underbrace{MM^{-1}}_{I}Ma$
$= \,^taMa = 1$
$\Rightarrow \,\boxed{^tuM^{-1}u=1}$ on dit que $u$ et $M^{-1}$ normé à 1

$u$ : facteur
$V(C) = \,^t CDC$
$= \,^t (Xu)D(Xu)$
$= \,^t u \underbrace{\,^tXDX}_{V}u$
$V(C) = \,^t uVu$

:::info
**Remarque :**
si $u$ est un vecteur propre de $V$
$Vu=\lambda u$ ($\lambda$ valeure propre de $V$)
$V(c) = \,^t u\lambda u = \lambda \,^tuu = \lambda$
si $(M=I \Rightarrow ||u|| = 1)$
$\boxed{V(c)=\lambda}$
:::

:::info
$\,^tu M u$ correspond à la norme $M$ de $U$, au carré
en effet, $\langle u, v\rangle = \,^t u M v$
:::

## 8) Analyse des Composantes principales

Le principe de la méthode est d'obtenir une **représentation approchée** du **nuage** des $n$ individus dans un **S.E.V de dimension faible**. Ceci s'effectue par projection.

:::info
$\langle u,v \rangle = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = \alpha$
(produit scalaire canonique)
$M$ symétrique définie positif
$\langle u,v \rangle = \,^t u M v$
$$||u|| = \sqrt{$\langle u,u \rangle} = \sqrt{\,^t u M u}$$
:::

Le choix de l'espace de projection s'effectue selon le critère suivant qui revient à déformer le moins possible les distances en projections.
Il faut que l'inertie du nuage projeté sur le S.E.V $F_k \underbrace{(dim F_k=k)}_{\text{h faible par rapport à p}}$ soit maximale

$P$: Projection M_orthogonale sur $F_k$
$P^2 = P$ et $\,^tPM = MP$ ($M$ métrique)


Le nuage projeté sur $F_k$ est associé au tableau $X\,^tP$
Matrice de Var-Cov de nuage projeté

:::info
On applique $P$ à la transposée de X: $X\,^tP = \,^t(P\,^tX)$
:::

$\,^t(X\,^tP)D(X\,^tP)$
$P \underbrace{\,^tXdX}_{V} \,^tP = \boxed{PV\,^tP}$

:::info
**Remarque**
$(1) \text{Trace}(A) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ii} = \displaystyle\sum_{i=1}\lambda_i$ ($\lambda_i$ valeurs propres de $A$)
$(2) \text{Trace}(AB) = \text{Trace}(BA)$
$(3) I$(inertie) $=\text{Trace}(VM) = \text{Trace}(MV)$
:::

L'inertie du nuage projeté d'après (3) :
$I_{NP} = Tr(PV\,^tPM)$
$Tr(\underbrace{P}_{A}\underbrace{VMP}_{B})$ car $\,^tPM = MP$
$Tr(XMP^2) = Tr(VMP)$

L'inertie du nuage projeté est : $\boxed{I_{NP}=Tr(VMP)}$

Le problème est donc de trouver $P$ projection M_orhtogonale de rang $k$ maximisant la trace de $VMP$
ce qui déterminera $F_k$

**Th**: Soit $F_k$ un S.E.V portant l'inertie maximale, alors le S.E.V de dimension $k+1$ portant l'inertie maximale est la somme directe de $F_k$ et des S.E.V de dimension 1 $M$ orthogonal à $F_k$ portant l'inertie maximale

$F_{k+1} = F_k \oplus \vec{b} \mathbb{R}$ (Somme directe)
$F_k \cap \vec{b}\mathbb{R} = \{\vec{0}\}$ \\
et \\
dim $F_{k} +$ dim $\vec{b}\mathbb{R}=k+1$ \\

:::info
$\vec{b}\mathbb{R} = \{\lambda \vec{b}, \lambda \in \mathbb{R}\}$
:::

:::info
**Rappels** (Formes quadratiques et projection sur une droite)

$g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$
$$
\frac{dg}{du} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial g}{\partial u_1} \\
\vdots \\
\frac{\partial g}{\partial u_p} \\
\end{pmatrix}
\text{gradient de }g
$$
$$
u=
\begin{pmatrix}
u_1 \\
\vdots \\
u_p
\end{pmatrix}
$$

$\,^tau = \displaystyle\sum_{i=1}^{p}a_i u_i = g(u) (a_i \in \mathbb{R})$
$\frac{\partial g}{\partial u_i} = a_i V_i$
$$
\frac{\partial (\,^t au)}{\partial u} =
\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_p
\end{pmatrix}
$$

$A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$
$\boxed{\frac{d}{du} (\underbrace{\,^tuAu}_{\text{forme quadratique si A est symétrique: }\, ^tA=A})=Au+\,^tAu}$
$\frac{d}{du} (\,^tuAu)=2Au$

Projecteur M_orthogonale sur la droite $\Delta$ engendrée par $a$
$$
\boxed{P = \frac{a \,^ta M}{\,^ta M a}}
$$
$$
a \,^ta =
\begin{pmatrix}
a_1 \\
\vdots \\
a_p \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1 & \cdots & a_p
\end{pmatrix}
$$

Inertie du nuage projeté :

$I_{NP}=Tr(VMP)$
$=Tr(VM \frac{a\,^taM}{\,^taMa})$
$=\frac{1}{\,^taMa}Tr(VMa \,^taM)$ avec $Tr(AB)=Tr(BA)$
$=\frac{1}{\,^taMa}Tr(\,^taMVMa)$

$$
\boxed{I_{NP} = \frac{\,^ta MVMa}{\,^taMa}}
\frac{d}{da}(\frac{\,^ta MVMa}{\,^taMa}) = 0
$$

$\frac{(\,^taMa) 2MVMa - (\,^ta MVMa) 2Ma}{(\,^taMa)^2}$
$(\,^taMa) MVMa = (\,^ta MVMa) Ma$
$MVMa = (\frac{(\,^ta MVMa)}{(\,^taMa)}) Ma$
En multipliant par $M^{-1}$
$$
\rightarrow \boxed{VMa = (\frac{(\,^ta MVMa)}{(\,^taMa)}) a}
$$
$$
\boxed{
\begin{aligned}
VMa = \lambda a \\
\text{avec} \\
\lambda = \frac{(\,^ta MVMa)}{(\,^taMa)}
\end{aligned}
}
$$
$a$ est un vecteur propre de $VM$ associé à $\lambda$
:::

Le S.E.V $F_k$ de dimension $k$ est engendré par les $k$ valeurs propres de $VM$ associés aux $k$ plus grandes valeurs propres

$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_k \geq \cdots$

$\boxed{\% \text{ d'inertie}: \frac{\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_k}{\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_p}\geq 80\%}$

#### Composantes principales
$$
\boxed{C^{(i)} = Y u^{(i)}} i = 1 --- k
$$
$u^{(i)} = M a^{(i)}$ facteur axes factoriels si $M = I => u^{(i)} = a^{(i)} \forall i$

#### Corrélations entre $C^{(i)}$ et $X^{(i)}$

$$
\boxed{
\rho(X^{(i)}, C^{(j)}) = \frac{Cov(X^{(i)}, C^{(j)})}{\sigma(X^{(i)})\sigma(C^{(j)})}
}
$$

> **Exercice 1 (ACP)**
>
> $$
> \text{Soit } X=
> \begin{pmatrix}
> 3 & 8/5 & 5 \\
> 4 & 2 & 6 \\
> 3 & 9/5 & 6 \\
> \end{pmatrix}
> $$
> $p_i = \frac13 \forall i$
> $M = I_3$ (Métrique de l'espace des individus)
>
> 1. Déterminer le centre de gravité
> 2. Calculer $Y$ (données centrées)
> 3. Calculer la matrice $V$
> 4. Diagonaliser $V$ $(M=I_3)$
> 5. Déterminer les facteurs primitives
> 6. calculer les cœfficients de corrélation
>
> 1) Déterminer le centre de gravité de ce nuage:
>
>$$\bar{X^{(j)}} = \sum^{3}_{i=1} p_i x_i^{(j)} = \frac13 \sum^{3}_{i=1} x_i^{(j)}$$
>
>$$\,^tg = \begin{pmatrix} \bar{X^{(1)}} & \bar{X^{(2)}} & \bar{X^{(3)}}\end{pmatrix}$$
>
> $\bar{X^{(1)}} = \frac{10}{3}, \bar{X^{(2)}} = \frac{9}{5}, \bar{X^{(3)}} = \frac{17}{3}$
> $\,^tg = (\frac{10}{3}, \frac{9}{5}, \frac{17}{3})$
>
> $\bar{X^{(j)}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{3}p_i x_i^{j} = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3}X_i^{j}$
> 2) La matrice de données centrées
> $Y : y_i^{(j)} = X_i^{(j)} - \bar{X^{(j)}}$
>
> $Y = \begin{pmatrix}
> -\frac{1}{3} & -\frac{1}{5} & -\frac{2}{3}\\
> \frac{2}{3} & \frac{1}{5} & \frac{1}{3}\\
> -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3}
> \end{pmatrix}$
>
> 3) Matrice de Var-Covariance
> $V = \,^tYDY$
> $D = \frac13 I_3$
> $$
> D =
> \begin{pmatrix}
> \frac13 & 0 & 0 \\
> 0 & \frac13 & 0 \\
> 0 & 0 & \frac13 \\
> \end{pmatrix}
> \text{matrice de poids}
> $$
> $V = \frac13 \,^tYY$
> $V_{ii} = \text{Var}(X^{(i)}) => \sigma(X^{(i)})=\sqrt{\text{Var}(X^{(i)})} \forall i$
> $$
> V = \frac13
> \begin{pmatrix}
> -\frac13 & \frac23 & -\frac13 \\
> -\frac15 & \frac15 & 0 \\
> -\frac23 & \frac13 & \frac13 \\
> \end{pmatrix}
> \begin{pmatrix}
> -\frac13 & -\frac15 & -\frac23 \\
> \frac23 & \frac15 & \frac13 \\
> -\frac13 & 0 & \frac13 \\
> \end{pmatrix}
> =
> \begin{pmatrix}
> \frac29 & \frac{1}{15} & \frac19 \\
> \frac{1}{15} & \frac{2}{75} & \frac{1}{15} \\
> \frac19 & \frac{1}{15} & \frac29 \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> 4) On doit diagonaliser $MV$ $M = I_3$ donc on va diagonaliser $V$
> Le polynôme caractéristique de $V$
> $P_V(\lambda) = det(V-\lambda I_3)$
> $P_V(\lambda) = 0 \implies$ les racines de cette équation sont les valeurs propres de cette matrice
>
> $$
> P_V(\lambda) =
> \begin{vmatrix}
> \frac29 - \lambda & \frac{1}{15} & \frac19 \\
> \frac{1}{15} & \frac{2}{75} - \lambda & \frac{1}{15} \\
> \frac19 & \frac{1}{15} & \frac29 - \lambda \\
> \end{vmatrix}
> $$
> $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$
> $$
> P_V(\lambda) =
> \begin{vmatrix}
> \frac19 - \lambda & 0 & \lambda - \frac19 \\
> \frac{1}{15} & \frac{2}{75} - \lambda & \frac{1}{15} \\
> \frac19 & \frac{1}{15} & \frac29 - \lambda \\
> \end{vmatrix}
> $$
> $C_3 \leftarrow C_3 + C_1$
> $$
> P_V(\lambda) =
> \begin{vmatrix}
> \frac19 - \lambda & 0 & 0 \\
> \frac{1}{15} & \frac{2}{75} - \lambda & \frac{2}{15} \\
> \frac19 & \frac{1}{15} & \frac13 - \lambda \\
> \end{vmatrix}
> = (\frac19 - \lambda)((\frac{2}{75} - \lambda)(\frac13 - \lambda) - \frac{2}{15^2})
> $$
> $= (\frac19 - \lambda) (\lambda^2 -(\frac{2}{75} + \frac13) \lambda)$
> $= (\frac19 - \lambda)(\lambda^2 - \frac{27}{75}\lambda) = 0$
> $= (\frac19 - \lambda)\lambda(\lambda - \frac{9}{25}) = 0$
> $=> \lambda_1 = \frac{9}{25}, \lambda_2 = \frac19, \lambda_3 = 0$
>
:::info
**Remarque** : $\boxed{\text{Trace}(V) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}$
:::
> | Valeur propre | $\lambda_1 = 0.36$ | $\lambda_2 = 0.11$ | $\lambda_3 = 0$ |
> | ------------- | --------- | --------- | --------- |
> | % d'inertie | $\frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3} = 76\%$ | $\frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3} = 24\%$ | 0 |
> Le pourcentage d'inertie apporté par le plan factoriel $\frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3} = 100\%$
>
> :::info
> On ordonne les valeurs propres dans l'ordre décroissant, et on en prend tant que l'on a pas atteint 80%.
> par exemple, dans notre cas, 76% < 80% donc on rajoute $\lambda_2$, puis comme 100% > 80%, on s'arrete ici.
> :::
>
> **Sous-espace propre :**
> $E_{\lambda_1} = E_{\frac{9}{25}} = Ker(V - \frac{9}{25}I_3)$
> $$
> \forall w =
> \begin{pmatrix}
> x \\
> y \\
> z \\
> \end{pmatrix}
> \in E_{\frac{9}{25}} \Leftrightarrow (V - {\frac{9}{25}} I_3)
> \begin{pmatrix}
> x \\
> y \\
> z \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> \begin{cases}
> (1) : (\frac29 - \frac{9}{25})x + \frac{1}{15}y + \frac19z = 0 \\
> (2) : \frac{1}{15}x + (\frac{2}{75} - \frac{9}{25})y + \frac{1}{15}z = 0 \\
> (3) : \frac19x + \frac{1}{15}y + (\frac29 - \frac{9}{25})z = 0 \\
> \end{cases}
>
> $(1) - (3) : (\frac19 - \frac9{25})x + (\frac9{25} - \frac19)z = 0$
> $x = z$ et $y = \frac25x$
> $$
> E_{\frac{9}{25}}= \text{Vect}
> \begin{pmatrix}
> 5 \\
> 2 \\
> 5 \\
> \end{pmatrix}
> droite
> $$
> $$
> ||w_1|| = \sqrt{(5)^2 + (2)^2 + 5^2} = \sqrt{54}
> $$
> $$
> \boxed{
> u^{(1)} = \frac{1}{\sqrt{54}}
> \begin{pmatrix}
> 5 \\
> 2 \\
> 5 \\
> \end{pmatrix}
> \text{normé } 1^{\text{er}} \text{ facteur}
> }
> $$
>
> $$
> E_{1/9} = Ker(V - \frac19 I_3)
> $$
> \begin{cases}
> (1) : \frac19 x + \frac1{15} y + \frac19 z = 0\\
> (2) : \frac1{15} x + (\frac2{75} - \frac19) y + \frac1{15} z = 0\\
> (3) : \text{identique à } (1)
> \end{cases}
>
> (1) $-$ (2) $\Rightarrow y = 0$
> (1) $\Rightarrow x = -z$
> $$
> \boxed{
> E_{\frac19} = \text{Vect}
> \begin{pmatrix}
> 1 \\
> 0 \\
> -1 \\
> \end{pmatrix}
> }
> $$
> $$
> \boxed{
> u^{(2)} = \frac{1}{\sqrt{2}}
> \begin{pmatrix}
> 1 \\
> 0 \\
> -1 \\
> \end{pmatrix}
> } 2^{e} \text{ facteur}
> $$
> $(u^{(1)}, u^{(2)})$ base orthonormées
>
> 5) Composantes principales
> $\boxed{C^{(i)} = Yu^{(i)}} i = 1,2$
> $$
> u^{(1)} =
> \begin{pmatrix}
> 0,68 \\
> 0,27 \\
> 0,68 \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> $$
> u^{(2)} =
> \begin{pmatrix}
> 0,71 \\
> 0 \\
> -0,71 \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> $$
> C^{(1)} =
> \begin{pmatrix}
> -0,73 \\
> 0,73 \\
> 0 \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> $$
> C^{(2)} =
> \begin{pmatrix}
> 0,24 \\
> 0,24 \\
> -0,47 \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> 6) Cœfficient de corrélation
> $\rho (X^{(i)}, C^{(j)}) = \frac{\text{Cov}(X^{(i)}, C^{(j)})}{\sigma(X^{(i)}) \sigma(C^{(j)})}$
> $Cov(X^{(i)}, C^{(j)}) = \langle y^{(i)}, C^{(j)} \rangle$
> $Cov(X^{(1)}, C^{(1)}) = \langle y^{(1)}, C^{(1)} \rangle$
> $= \,^ty^{(1)} D C^{(1)}$
> $M = D = \frac13I$
> $= \frac13 ((-\frac13)(-0,73) + (\frac23)(0,73) )$
>
> $\sigma(X^{(1)}) = \sqrt{\text{Var}X^{(1)}} = 0,47$
> $\sigma(C^{(1)}) = ||C^{(1)}|| = \sqrt{(\frac13)((-0,73)^2 + (0,73)^2)} = 0.59 \simeq 0.60$
> $\rho (X^{(1)}, C^{(1)}) = \frac{\text{Cov}(X^{(1)}, C^{(1)})}{\sigma(X^{(1)}) \sigma(C^{(1)})} = \boxed{0,87}$
>
> | | $C^{(1)}$ | $C^{(2)}$ |
> |-----------|-----------|-----------|
> | $X^{(1)}$ | 0,87 | 0,5 |
> | $X^{(2)}$ | 1 | 0 |
> | $X^{(3)}$ | 0,87 | -0,5 |

> **Exercice 2 (ACP)**
> Même questions que l'exercice 1
>
> $$
> X = \begin{pmatrix}
> 16 & 2 & 0 \\
> 8 & 12 & 10 \\
> 12 & 16 & 14 \\
> 20 & 8 & 14 \\
> 16 & 4 & 10 \\
> 0 & 6 & 12 \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> $p_i = \frac16 \forall i$
>
> $M = I_3$ dans l'espace des individus
>
> 1) $\bar{X^{(1)}} = \frac{72}6 = 12$
> $\bar{X^{(2)}} = \frac{48}{6} = 8$
> $\bar{X^{(3)}} = \frac{60}{6} = 10$
> $^tg = (12, 8, 10)$
> 2)
> $$
> Y = \begin{pmatrix}
> 4 & -6 & -10 \\
> -4 & 4 & 0 \\
> 0 & 8 & 4 \\
> 8 & 0 & 4 \\
> 4 & -4 & 0 \\
> -12 & -2 & 2 \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> 3) $V = \frac16 \,^tYY$
> $$
> V = \frac{1}{6}\
> \begin{pmatrix}
> 4 & -4 & 0 & 8 & 4 & -12 \\
> -6 & 4 & 8 & 0 & -4 & -2 \\
> -10 & 0 & 4 & 4 & 0 & 2 \\
> \end{pmatrix}
> \begin{pmatrix}
> 4 & -6 & -10 \\
> -4 & 4 & 0 \\
> 0 & 8 & 4 \\
> 8 & 0 & 4 \\
> 4 & -4 & 0 \\
> -12 & -2 & 2 \\
> \end{pmatrix}
> =
> \begin{pmatrix}
> \frac{128}{3} & -\frac{16}{3} & -\frac{16}{3} \\
> -\frac{16}{3} & \frac{68}{3} & \frac{44}{3} \\
> -\frac{16}{3} & \frac{44}{3} & \frac{68}{3} \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> 4) Diago de V
> $$
> P_V(\lambda)=
> \begin{vmatrix}
> \frac{128}{3} - \lambda & -\frac{16}{3} & -\frac{16}{3} \\
> -\frac{16}{3} & \frac{68}{3} - \lambda & \frac{44}{3} \\
> -\frac{16}{3} & \frac{44}{3} & \frac{68}{3} - \lambda \\
> \end{vmatrix}
> $$
> $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$
> $$
> P_V(\lambda)=
> \begin{vmatrix}
> 32 - \lambda & -\frac{16}{3} & -\frac{16}{3} \\
> 32 - \lambda & \frac{68}{3} - \lambda & \frac{44}{3} \\
> 32 - \lambda & \frac{44}{3} & \frac{68}{3} - \lambda \\
> \end{vmatrix} = (32 - \lambda)
> $$
> $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$
> $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$
> $$
> = (32 - \lambda)
> \begin{vmatrix}
> 28 - \lambda & 20 \\
> 20 & 28 - \lambda \\
> \end{vmatrix}
> $$
> $P_V(\lambda) = (32 - \lambda)((28 - \lambda)^2 - 20^2)$
> $= (32 - \lambda)(28 - \lambda - 20)(28 - \lambda + 20)$
> $\boxed{P_V(\lambda) = (32 - \lambda)(8 - \lambda)(48 - \lambda)}$
> $\boxed{\lambda_1 = 48 > \lambda_2 = 32 > \lambda_3 = 8}$
>
> | Valeur propres | $\lambda_1$ | $\lambda_2$ | $\lambda_3$ |
> | --- | --- | --- | --- |
> | pourcentage d'inertie | $\frac{48}{88} = 0,54$ | $\frac{32}{88} = 0,36$ | $\frac{8}{88} = 0,09$ |
>
> $\boxed{\frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3} = \frac{80}{88} = 90 \%}$
>
>
> Axes factoriels :
> $$
> u^{(1)} = \begin{pmatrix}
> \frac{\sqrt6}3\\
> -\frac{\sqrt6}6\\
> -\frac{\sqrt6}6\\
> \end{pmatrix}
> ,
> u^{(2)} =
> \begin{pmatrix}
> \frac{\sqrt{3}}{3} \\
> \frac{\sqrt{3}}{3} \\
> \frac{\sqrt{3}}{3} \\
> \end{pmatrix}
> \text{base orthonormée}
> $$
>
> Composantes principales :
> $$
> C^{(1)} = Yu^{(1)} =
> \begin{pmatrix}
> 4\sqrt{6} \\
> -2\sqrt{6} \\
> -2\sqrt{6} \\
> 2\sqrt{6} \\
> 2\sqrt{6} \\
> -4\sqrt{6} \\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> $$
> C^{(2)} = Yu^{(2)} =
> \begin{pmatrix}
> -4 \sqrt3\\
> 0\\
> 4\sqrt3\\
> 4\sqrt3\\
> 0\\
> -4\sqrt3\\
> \end{pmatrix}
> $$
>
> 6) cœfficient de covariance
>
> | | $C^{(1)}$ | $C^{(2)}$ |
> |-----------|-----------|-----------|
> | $X^{(1)}$ | 0,87 | 0,5 |
> | $X^{(2)}$ | -0,59 | 0,69 |
> | $X^{(3)}$ | -0,59 | 0,69 |
>
> $\rho(X^{(i)}, C^{(j)}) = \frac{Cov(X^{(i)}, C^{(j)})}{\sigma(x^{(i)}) \sigma(C^{(j)})}$

### Méthode ACP

:::info
Méthode ACP = Analyse Composante Principale
On a une matrice
$P$ variables (colonnes)
$n$ Individus (lignes) : population de pressions, vitesses, objets, habitants...
Un élément de la matrice $i,j =$ valeur de $P_j$ pour l'individu $i$
:::

:::info
[**Inertie**](http://jybaudot.fr/Stats/inertie.html) : moyenne des distances au carré des points au [**barycentre**](https://fr.wikipedia.org/wiki/Barycentre).
:::