2022 / 9 / 19
碰撞 | 正電荷在磁場中的運動 |
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向量 | 純量 |
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有大小 | 有大小 |
有方向性 | 沒有方向性 |
速度、力 | 質量、數量、溫度 |
作用力:\(\vec{F}=m\vec{a}\)
機械功:\({W=}\) \(\vec{F}\cdot\vec{d}=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{d}\vert\cos\theta\)
\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{u}\)
\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{v}\)
\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{u}\)
\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{u}\) |
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平行四邊形法 | 三角形法 |
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表示法:
\(\vec{a}=(1,2,3)\)
\(\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\frac{\vec{a}}{\vert \vec{a} \vert}\)
定義:每單位長度的向量,也可以代表為向量指向的方向。
\(\vert \vec{a} \vert\)
定義:向量的長度
物理意義:程度的大小,物理量的大小。
\(\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{v}\)
\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{v}\) |
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\(\vec{end}-\vec{start}=\vec{v}\) | \(\vec{a}+\vec{(-b)}=\vec{v}\) |
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\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(\vec{a}-\vec{b}\)
\(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\)
\(k\vec{a}\)
\(\hat{a}\) = \(\frac{\vec{a}}{\vert \vec{a} \vert}\)
\(\vert \vec{a} \vert = \sqrt{(x\vec{i})^2+(y\vec{j})^2+(z\vec{k})^2}\)
\(\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}\)
\(3\vec{a}-\vec{b}=\)
\begin{aligned}
3(&1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k})\\
-\ \ -&3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}\\
&\hline
\end{aligned}
\(3\vec{a}-\vec{b}=\)
\begin{aligned}
(&3\vec{i}+6\vec{j}+9\vec{k})\\
-\ \ -&3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}\\
&\hline\\
\ = \ &6\vec{i}+0\vec{j}+6\vec{k}\\
\end{aligned}
\begin{aligned} let \ \vec{u} \ &= \ 6\vec{i}+0\vec{j}+6\vec{k}\\ \vert \vec{u} \vert &= \sqrt{(6\vec{i})^2+(0\vec{j})^2+(6\vec{k})^2} \\ &=\sqrt{72} \\ &\approx 8.48528 \end{aligned}
\begin{aligned} let \ \vec{u} \ &= \ 6\vec{i}+0\vec{j}+6\vec{k}\\ \vert \vec{u} \vert &= \sqrt{(6\vec{i})^2+(0\vec{j})^2+(6\vec{k})^2} \\ &=\sqrt{72} \\ \\ \hat{u}&=\frac{\vec{u}}{\vert \vec{u} \vert} \\ &=\frac{6\vec{i}+0\vec{j}+6\vec{k}}{\sqrt{72}} \\ &\approx 0.707\vec{i}+0\vec{j}+0.707\vec{k} \end{aligned}
內積:純量
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta\)
外積:向量
\(\vec{a}\times\vec{b}\)
\(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta\)
\(\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\)
\begin{aligned}
&(1\times(-3))+(2\times6)+(3\times3) \\
&= \ (-3)+12+9 \\
&= \ 18
\end{aligned}
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=18\)
\(\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\vert \vec{a} \vert = \sqrt{14}\)
\(\vert \vec{b} \vert = \sqrt{54}\)
\begin{aligned} 18 &= \sqrt{14}\cdot\sqrt{54}\cos\theta\\ \cos\theta &= \frac{18}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{54}}\\ &\ \approx 0.6546\\ \theta &\ \approx49.106° \end{aligned}
\(\vec{a}\times\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta\)
\(\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}\)
\begin{matrix} ̶1̶ & 2 & 3 & 1 & 2 & ̶3̶ \\ ̶3̶& 6 & 3 & -3 & 6 & ̶3̶ \\ \end{matrix}
\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 3 \\ \end{vmatrix}\vec{i}+\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -3 \\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 6 \\ \end{vmatrix}\vec{k} \end{aligned}
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\((2\times3-3\times6)\vec{i}+(3\times(-3)-3\times1)\vec{j}+(1\times6-2\times(-3))\vec{k}\) |
\begin{aligned} \vec{a}\times\vec{b}=-12\vec{i}+(-12)\vec{j}+12\vec{k} \end{aligned}
\(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta\)
\(\vec{a}\times\vec{b}=-12\vec{i}+(-12)\vec{j}+12\vec{k}\)
\(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\sqrt{432}\)
\(\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}\)
\(\vert \vec{a} \vert = \sqrt{14}\)
\(\vert \vec{b} \vert = \sqrt{54}\)
\begin{aligned} \sqrt{432} &= \sqrt{14}\cdot\sqrt{54}\sin\theta\\ \sin\theta &= \frac{\sqrt{432}}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{54}}\\ &\ \approx 0.7559\\ \theta &\ \approx49.106° \end{aligned}
\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(\vec{a}-\vec{b}\)
\(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\)
\(k\vec{a}\)
\(\hat{a}\) = \(\frac{\vec{a}}{\vert \vec{a} \vert}\)
\(\vert \vec{a} \vert = \sqrt{(x\vec{i})^2+(y\vec{j})^2+(z\vec{k})^2}\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta\) (純量)
\(\vec{a}\times\vec{b}\) (向量)
\(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta\)