<style> .reveal .slides { text-align: left; font-size:30px; } </style> # Math 2022 / 9 / 19 - 三角函數 - 向量 --- ## 三角函數 ----  * 用途：描述角度關係 * 物理：描述運動、力、場、波的狀態 * 應用：作用力、磁力、電力、運動、碰撞 ---- | 碰撞 | 正電荷在磁場中的運動 | | -------- | -------- | | |  |  --- ## 向量與純量 * 向量(vector)：具有方向性的物理量 * 純量(scalar )：只有量值的物理量 ---- | 向量 | 純量 | | -------- | -------- | | 有大小 | 有大小 | | 有方向性 | 沒有方向性 | | 速度、力 | 質量、數量、溫度 | ---- 作用力：$\vec{F}=m\vec{a}$ 機械功：${W=}$ $\vec{F}\cdot\vec{d}=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{d}\vert\cos\theta$ --- ## 向量的運算 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{u}$ $\vec{a}-\vec{b}=\vec{v}$ ---- ### 向量的加法 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{u}$  ---- | $\vec{a}+\vec{b}=\vec{u}$ | | -------- | || <br> | 平行四邊形法 | 三角形法 | | -------- | -------- | | || ---- 表示法： $\vec{a}=(1,2,3)$ $\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$  ---- <iframe src="https://www.geogebra.org/3d/nwcdxzwn?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe> ---- #### 單位向量 $\frac{\vec{a}}{\vert \vec{a} \vert}$ 定義：每單位長度的向量，也可以代表為向量指向的方向。 $\vert \vec{a} \vert$ 定義：向量的長度 物理意義：程度的大小，物理量的大小。 ---- $\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$  ---- ### 向量的減法 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{v}$  ---- | $\vec{a}-\vec{b}=\vec{v}$ | | -------- | || <br> | $\vec{end}-\vec{start}=\vec{v}$ | $\vec{a}+\vec{(-b)}=\vec{v}$ | | -------- | -------- | | || ---- ### Example <iframe src="https://www.geogebra.org/graphing/zbvu9wyr?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe> ---- ### 向量的基本運算 $\vec{a}+\vec{b}$ $\vec{a}-\vec{b}$ $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$ $k\vec{a}$ $\hat{a}$ = $\frac{\vec{a}}{\vert \vec{a} \vert}$ $\vert \vec{a} \vert = \sqrt{(x\vec{i})^2+(y\vec{j})^2+(z\vec{k})^2}$ ---- $\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ $\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}$ $3\vec{a}-\vec{b}=$ \begin{aligned} 3(&1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k})\\ -\ \ -&3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}\\ &\hline \end{aligned} ---- $3\vec{a}-\vec{b}=$ \begin{aligned} (&3\vec{i}+6\vec{j}+9\vec{k})\\ -\ \ -&3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}\\ &\hline\\ \ = \ &6\vec{i}+0\vec{j}+6\vec{k}\\ \end{aligned} ---- \begin{aligned} let \ \vec{u} \ &= \ 6\vec{i}+0\vec{j}+6\vec{k}\\ \vert \vec{u} \vert &= \sqrt{(6\vec{i})^2+(0\vec{j})^2+(6\vec{k})^2} \\ &=\sqrt{72} \\ &\approx 8.48528 \end{aligned} ---- \begin{aligned} let \ \vec{u} \ &= \ 6\vec{i}+0\vec{j}+6\vec{k}\\ \vert \vec{u} \vert &= \sqrt{(6\vec{i})^2+(0\vec{j})^2+(6\vec{k})^2} \\ &=\sqrt{72} \\ \\ \hat{u}&=\frac{\vec{u}}{\vert \vec{u} \vert} \\ &=\frac{6\vec{i}+0\vec{j}+6\vec{k}}{\sqrt{72}} \\ &\approx 0.707\vec{i}+0\vec{j}+0.707\vec{k} \end{aligned} --- ## 內積與外積 ---- 內積：<font color="red">純量</font> $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta$ 外積：<font color="red">向量</font> $\vec{a}\times\vec{b}$ $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta$ ---- ### 內積 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta$ ---- $\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ $\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=$ \begin{aligned} &(1\times(-3))+(2\times6)+(3\times3) \\ &= \ (-3)+12+9 \\ &= \ 18 \end{aligned} ---- $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=18$ $\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ $\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}$ $\vert \vec{a} \vert = \sqrt{14}$ $\vert \vec{b} \vert = \sqrt{54}$ \begin{aligned} 18 &= \sqrt{14}\cdot\sqrt{54}\cos\theta\\ \cos\theta &= \frac{18}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{54}}\\ &\ \approx 0.6546\\ \theta &\ \approx49.106° \end{aligned} ---- ### 外積 $\vec{a}\times\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta$ ---- $\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ $\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}$ \begin{matrix} ̶1̶ & 2 & 3 & 1 & 2 & ̶3̶ \\ ̶3̶& 6 & 3 & -3 & 6 & ̶3̶ \\ \end{matrix} \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 3 \\ \end{vmatrix}\vec{i}+\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -3 \\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 6 \\ \end{vmatrix}\vec{k} \end{aligned} |  | |:----------------------------------------------------------------------------------------:| | $(2\times3-3\times6)\vec{i}+(3\times(-3)-3\times1)\vec{j}+(1\times6-2\times(-3))\vec{k}$ | \begin{aligned} \vec{a}\times\vec{b}=-12\vec{i}+(-12)\vec{j}+12\vec{k} \end{aligned} ---- $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta$ $\vec{a}\times\vec{b}=-12\vec{i}+(-12)\vec{j}+12\vec{k}$ $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\sqrt{432}$ $\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ $\vec{b}=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}$ $\vert \vec{a} \vert = \sqrt{14}$ $\vert \vec{b} \vert = \sqrt{54}$ \begin{aligned} \sqrt{432} &= \sqrt{14}\cdot\sqrt{54}\sin\theta\\ \sin\theta &= \frac{\sqrt{432}}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{54}}\\ &\ \approx 0.7559\\ \theta &\ \approx49.106° \end{aligned} ---- ### 後記 $\vec{a}+\vec{b}$ $\vec{a}-\vec{b}$ $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$ $k\vec{a}$ $\hat{a}$ = $\frac{\vec{a}}{\vert \vec{a} \vert}$ $\vert \vec{a} \vert = \sqrt{(x\vec{i})^2+(y\vec{j})^2+(z\vec{k})^2}$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta$ <font color="red">(純量)</font> $\vec{a}\times\vec{b}$ <font color="red">(向量)</font> $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta$ ---- --- https://zh.wikipedia.org/zh-hant/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0 http://203.72.57.15/blog_nature/uploads/2014/09/%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%89%A9%E7%90%86%E4%BA%8CB%E4%B8%8B%E5%86%8A-%E8%AA%B2%E6%9C%ACword%E6%AA%94_%E7%AC%AC9%E7%AB%A0-%E7%A2%B0%E6%92%9E.pdf