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# 微積分筆記

## 定積分

積分：目的是算出函數下的面積
定積分：使用微積分第二基本定理，算出函數在區間[a,b]間的面積（如上圖）。

### 範例

$對f(x)做積分後，得到新函數F(x)，將F(上界)-F(下界)即可算出面積。$

$\newcommand\rsx[1]{\left.{#1}\vphantom{\Big|}\right|}$
\begin{split}
\int_{0}^{3}(6x^2+4x+5)\,dx&=(\frac{6x^3}{3}+\frac{4x^2}{2}+5x)\bigg|_0^3\\
&=(2x^3+2x^2+5x)\bigg|_0^3\\
&=[{2(3)^3}+2(3)^2+5(3)]-[{2(0)^3}+2(0)^2+5(0)]\\
&=[54+18+15]-[0+0+0]\\
&=87
\end{split}

#### 補充：
$其意義是：區間[0,b]-區間[0,a]的面積得到[a,b]的面積。$
這種概念也可用於程式上：如DP前綴和。
<br>

## 微分

$f(x)對x$做微分有兩種表示方式：
1. $f'(x)$
2. $\frac{d}{dx}(f(x))$

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

### 範例

\begin{split}
f(x)&=6x^5+4x^2+x+5\\
f'(x)&=30x^4+8x+1\\
\\when& \ \ x=2,\\
f'(2)&=30(16)+16+1\\
&=497\\
\end{split}
<br>

## 總結

### 微積分的物理關係

\begin{aligned}
&\begin{cases}
x'(t)=v(t)\\
\int{v(t)dt} = x(t)
\end{cases}\\\\
&\begin{cases}
v'(t)=a(t)\\
\int{a(t)dt} = v(t) 　
\end{cases}
\end{aligned}

<br>

| 位移x(t) | 微分→ | 速度v(t) | 微分→ | 加速度 a(t) |
| -------- | ----- | -------- | ----- | ----------- |
| -------- | ----- | -------- | ----- | ----------- |
| **位移x(t)** | **←積分** | **速度v(t)** | **←積分** | **加速度 a(t)**|
<hr>

### 定積分

<hr>

### 微分

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

<br>

## 參考資料

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
https://home.gamer.com.tw/artwork.php?sn=4978861
https://zs.symbolab.com/