電感
2022 / 12 / 20
- 自感
- 互感
差別在電動勢產生的對象。
電感
- 定義：產生電動勢，來抵抗電流變化的能力。
- 原理：電生磁，磁生電
變化的磁場產生電動勢，會去抑制電流的產生。
自感
只出現在自身迴路的電感現象
感應電動勢(法拉第電磁感應)
\begin{aligned} \varepsilon_{感應}=-N\frac{d\Phi}{dt}\propto\frac{dI}{dt}\ \ 與電流變化、匝&數呈正比關係\\ &單位：volt \end{aligned}
電感L
\begin{aligned} \varepsilon_{感應}=-L\frac{d\Phi}{dt}\\\\ 單位：henry \end{aligned}
例題1
一個4.0H電感器中的電流值為\(I(t)=3t^2+15t+8\)，
如果電感器上的電動勢(emf)為132V，求出時間t？
\begin{aligned} \varepsilon&=-L\frac{dI}{dt}\\\\ |132| &= -4(\frac{dI}{dt}) = -4(I'(t))對時間微分\\ 132 &= (3t+15)\\ \Longrightarrow t &= 3s \end{aligned}
例題2
一個線圈具有400匝，自感為4.80mH。
線圈中的電流隨時間變化，\(I(t)=(680mA)cos(\frac{\pi t}{0.0250s})\)。
求線圈中感應出的最大電動勢？
\begin{aligned} \varepsilon&=-L\frac{dI}{dt}\\\\ I(t)&=(680mA)cos(\frac{\pi t}{0.0250s})\\ I'(t)&=680\cdot 10^{-3}(-sin\frac{\pi t}{0.025})(\frac{\pi}{0.025})連鎖律\\ \end{aligned}
\begin{aligned} \varepsilon&=-L\frac{dI}{dt}\\\\ \varepsilon&=-4.8\cdot 10^{-3}\times -680\cdot 10^{-3}(-sin\frac{\pi t}{0.025})(\frac{\pi}{0.025})\\\\ &目標：找到時間t，能讓\varepsilon 數值最大化。\\ &所以觀察函數與t的關係。How？ \end{aligned}
\begin{aligned} \varepsilon&=-L\frac{dI}{dt}\\\\ \varepsilon&=4.8\cdot 10^{-3}\times 680\cdot 10^{-3}(-\color{red}{sin\frac{\pi t}{0.025}})(\frac{\pi}{0.025})\\\\ &讓\ sin\frac{\pi t}{0.025}=-1\\ &\Longrightarrow\ \varepsilon = 4.1\cdot 10^{-1}V \end{aligned}
電感器
符號：
- 透過磁通量儲存電能的電子元件
原理：利用交流電，產生不斷改變方向的電流。
讓電流無法順利通過，就能儲存電能。
互感
出現在另一迴路的電感現象。
線圈1有電流讓線圈2也產生電流的過程
\begin{aligned}
\varepsilon_{2}=-N_2\frac{d\Phi_2}{dt}=-M\frac{dI_1}{dt}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&線圈1有電流\rightarrow 產生磁場\\&\rightarrow磁場經過線圈2得到磁通量\rightarrow產生電流
\end{aligned}
補充上週：感應電場習題
有一個長直螺線管截面積\(5.0cm^2\)且線圈密度為25匝/cm。將其放置在10匝且半徑為25cm的線圈中間，若通過螺線管的電流以0.20A/s的速率減小，求外部線圈的感應電場？
\begin{aligned} |\oint\vec{E}\cdot d\vec{s}|&=|-\frac{d\Phi_m}{dt}|\\ E\cdot 2\pi(25\cdot 10^{-2})&=|-\mu_0n\Delta IA|\\=|-4\pi\cdot 10{-7}&\times 2500\times (-0.2)\times 5\cdot 10^{-4}|\\ \Longrightarrow E&=2\cdot 10^{-7}(V/m) \end{aligned}
公式
\begin{aligned} 感應電動勢：\varepsilon_{感應}&=-N\frac{d\Phi}{dt}\propto\frac{dI}{dt} \ 單位(volt)\\\\ 電感L：\varepsilon_{感應}&=-L\frac{d\Phi}{dt} \ 單位(henry)\\\\\\ 電感時間常數：\tau&=\frac{L}{R}\\\\ I(t)&=\frac{\varepsilon}{R} (1-e^{\frac{-tR}{L}}) \end{aligned}