Direct-current circuits

基本電學

• 串聯：「串聯」負載元件的「電流相同」。

• 並聯：「並聯」負載元件的「電壓相同」。

• 歐姆定律：\(R=\frac{V}{I}\)

串聯

等效電阻：\(R_{eq}=R_1+R_2+...+R_n\)

並聯

等效電阻：\(\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+...+\frac{1}{R_{n}}\)

節點定則 (電流定律)

電流定律（節點定則）：進來的＝出去的

任意節點：\(\sum I=0\)

• 原理：電荷量守恆，電流(電荷)不會憑空出現與消失。

• \(I_1+I_2=I_3+I_4+I_5\)

迴路定則 (電壓定律)

迴路定則 (電壓定律)：任何迴路中的電位變化為0。

任意迴路：\(\sum V=0\)

• 原理：能量守恆，能量不會憑空消失。

• \(V=IR\\E_1-I_1R_1+I_2R_2=0\)

• 正向電流經過電阻時，電壓會降低。

步驟 (應用)

1. 假設電流
2. 假設出發點，使用節點定則
3. 迴路定則
4. 解方程式

練習1

1. 假設\(I_1, I_2,I_3\)的電流方向
   

2. 假設出發點，使用節點定則
   　
   \(I_1=I_2+I_3\)

3. 迴路定則(找迴路)

\(V=IR\)
\begin{aligned} E_1+(-I_1R_1)+(-I_2R_2)&=0V\\ 10I_1+40I_2&=100V\\ \end{aligned}

3. 迴路定則(找迴路)

\(V=IR\)
\begin{aligned} E_1+(-I_1R_1)+(-I_3R_3)&=0V\\ 10I_1+20I_3&=100V\\ \end{aligned}

3. 迴路定則(找迴路)

\(V=IR\)
\begin{aligned} (I_2R_2)+(-I_3R_3)&=0V\\ 40I_2=20I_3&\\ 2I_2=I_3&\\ \end{aligned}

4. 解方程式

\begin{aligned} &\begin{cases} I_1=I_2+I_3\\ 2I_2=I_3&\\ 10I_1+20I_3=100V\\ 10I_1+40I_2=100V\\ \end{cases}\\\\ &\because I_1=I_2+I_3\\ &\begin{cases} 10I_2+30I_3=100V(\times5)\\ 50I_2+10I_3=100V\\ \end{cases}\\ \end{aligned}
\begin{aligned} \Longrightarrow 140I_3&=400V\\ I_3&=\frac{20}{7}(A) \end{aligned}

特別感謝：洪銘均學長的迷因支援

4. 解方程式
   \begin{aligned} &\begin{cases} I_1=I_2+I_3\\ I_3=\frac{20}{7}\\ 2I_2=I_3&\\ \end{cases}\\\\ &\begin{cases} I_1=\frac{30}{7}\\ I_2=\frac{10}{7}\\ I_3=\frac{20}{7}\\ \end{cases} \end{aligned}

練習2

求\(R_K與R_M\)

練習1

檢流計的轉軸線圈為 9.99\(\Omega\) ，0.03A的電流使線圈偏轉到滿刻度。

我們想將此檢流計的讀數為30A的電流表。

唯一可用的分流電阻為0.01\(\Omega\)

試問線圈上必須串流什麼電阻R？

利用並聯等電壓

\(V=IR\)
\(V_{up}=V_{down}\)
\(0.03\times (9.99+R)=0.01\times\)\((30-0.03)\)\(\longleftarrow\)節點定則(電流分流)

\(R=0\)

練習2

利用並聯等電壓

\(V=IR\)
\(V_{up}=V_{down}\)
\(0.025\times (9.99+R)=0.03\times\)\((20-0.025)\)\(\longleftarrow\)節點定則(電流分流)

\(R=13.98\Omega\)

練習

\(10\Omega\)電阻 與 \(5F\)電容 相串聯，突有48V的電位差加在其兩端。

1. 試問電路之時間常數

\begin{aligned} \tau&=RC\\ 50&= 10\times 5\\ \tau&= 50(s) \end{aligned}

2. 要多久時間才能充到一半的最終電容

\begin{aligned} Q&=\varepsilon C\\ Q(t)&=\varepsilon C(1-e^{\frac{-t}{\tau}})\\\\ 充一半&：Q_{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\varepsilon C　(Q=\varepsilon C)\\ \frac{1}{2}\varepsilon C &= \varepsilon C(1-e^{\frac{-t}{\tau}})\\ e^{\frac{-t}{\tau}}&=\frac{1}{2}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} e^{\frac{-t}{\tau}}&=\frac{1}{2}\\ 兩邊取log\longrightarrow log_ee^{\frac{-t}{\tau}} &= log_e{\frac{1}{2}}\\ \frac{-t}{\tau}&=log_e\frac{1}{2}\\ \tau=50\longrightarrow t&=-log_e\frac{1}{2}RC\\ t&=-log_e\frac{1}{2}50\\ t&=34.65(s) \end{aligned}

RC電路：
\begin{aligned} \tau&=RC\\ Q&=\varepsilon C\\ Q(t)&=\varepsilon C(1-e^{\frac{-t}{\tau}}) \end{aligned}