# 13. Понятие квадрируемой плоской фигуры, площади квадрируемой плоской фигуры. Критерии квадрируемости. Свойства площади плоской фигуры.

###### tags: `Матан-колоквиум`

## Общая функция площади:
В первом приближении назовём площадью функцию $s: P \rightarrow \mathbb{R}$, обладающую следующими свойствами:
#### Положительность.
Площадь - неотрицательная функция.
#### Аддитивность.
Сумма площадей фигур в некотором разбиении равна площади изначальной фигуры. (если всякая из этих площадей определена)
#### Инвариантность.
Если одна фигура может быть переведена в другую за конечное количество поворотов и отражений, такие фигуры имеют равную площадь.
#### Нормированность.
Площадь квадрата со стороной 1 -- равна 1.
## Понятие многоугольника:

Многоугольником будем называть произвольную конечную плоскую фигуру, ограниченную одной или несколькими замкнутыми ломанными.

Далее предполагается, что мы умеем находить площадь всякого конечного многоугольника.

## Площадь квадрируемой фигуры.

Возьмём теперь произвольную фигуру $P$ на плоскости, представляющую из себя область, ограниченную замкнутой кривой.

Рассмотрим теперь множество $A$ площадей всех многоугольников, полностью лежащих внутри фигуры, и множество $B$ площадей всех многоугольников, в которых полностью лежит фигура.

$A \leq B$, что довольно очевидно, ведь $A \leq S(P) \leq B$.

Отсюда видно, что множество $A$ ограничено сверху всяким числом из множества $B$. Верхнюю точную грань множества $A$ обозначим за $P_*$. Аналогично нижнюю точную грань множества $B$ обозначим за $P^*$.

Ясно, что:
$A \leq P_* \leq P^* \leq B$

Теперь, если $\sup{S(A)} = \inf{S(B)}$, фигура называется квадрируемой и для неё определена функция площади: $S(P)=P_*=P^*$.

## Критерий квадрируемости.

Имеет смысл теперь сказать о критерии квадрируемости.

Фигура является квадрируемой тогда и только тогда, когда: $\forall \varepsilon >0$ можно указать два такие внешних и внутренних многоугольника фигуры $P$: $a, b$, что $S(b)-S(a) < \varepsilon$.

#### Необходимость:

Выпишем вторые пункты определений супремумов внешних и внутренних многоугольников:

$$\forall \varepsilon >0: \exists a' \subset P: P_*-{\varepsilon \over 2} < S(a')$$
$$\forall \varepsilon >0: \exists a'' \supset P: P^*+{\varepsilon \over 2} > S(a'')$$

Сложим выполняемые условия:
$$-P_* + {\varepsilon \over 2} > -S(a')$$
$$P^* + {\varepsilon \over 2} > S(a'')$$
$$P^*-P_*+\varepsilon>S(a'')-S(a')$$

Но, как мы знаем, фигура квадрируема: $P^* = P_*$
Итого:
$$S(a'')-S(a')< \varepsilon$$

#### Достаточность:

По определению верхней и нижней площади:
$$A \leq S_* \leq S^* \leq B$$

Поэтому, два многоугольника, расстояние между которыми будет бесконечно уменьшаться, заставят бесконечно уменьшаться расстояние между верхней и нижней площадами. Фигура будет квадрируемой.

## Свойства полученной функции.

Покажем теперь, что полученная функция удовлетворяет свойствам общей функции площади.

#### Положительность:
Ясное дело, что площадь всякого многоугольника, который апроксимирует площадь произвольной фигуры -- неотрицательная величина.

Ни точная, ни верхняя грань никакого неотрицательного множества -- не может быть отрицательной. Иначе по отделимости от нуля нашёлся бы отрицательный элемент такого множества.

#### Аддитивность:

Покажем, что, если мы разобъем фигуру $P$ на фигуры $P_1, P_2$, то: $S(P) = S(P_1)+S(P_2)$. Причём квадрируемость фигур $P_1$ и $P_2$ влечёт квадрируемость области $P$
.
Для доказательства введём следующие множества:
$A_1$ -- площади внутренних многоугольников для фигуры $P_1$
$B_1$ -- площади внешних многоугольников для фигуры $P_1$
$A_2$ -- площади внутренних многоугольников для фигуры $P_2$
$B_2$ -- площади внешних многоугольников для фигуры $P_2$

Ясно теперь, что никакие многоугольники из $A_1$ и $A_2$ не имеют точек пересечения, а из $B_1$ и $B_2$ вообще говоря могут иметь.

Так, $A_1 + A_2 = A$
$B_1 + B_2 \geq B$

То есть:
$$A_1 + A_2 = A \leq S(P) \leq B \leq B_1+B_2$$
В то же время:
$$A_1+A_2 \leq S(P_1)+S(P_2) \leq B_1 + B_2$$

Квадрируемость фигур $P_1$ и $P_2$ влечёт то, что правая и левая часть неравенств становится бесконечно близки.

Так, во-первых из первого неравенства следует квадрируемость фигуры $P$, а во-вторых из комбинации первого и второго неравенства следует равенство соответствующих площадей.

#### Инвариантность:

Пользуясь критерием квадрируемости, зафиксируем произвольный $\varepsilon$, найдём для изначальной фигуры два многоугольника, площади которых удалены менее чем на $\varepsilon$.

Совершим произвольный поворот или отражение. Площади многоугольников не изменятся, они всё ещё удовлетворяют неравенству. Остаётся показать, что внутренний многоугольник не покинет фигуру, а внешний не попадёт внутрь.

Вообще -- примем за очевидное тот факт, что ни поворот, ни отражение не способны поместить изначально внешнюю фигуру внутрь другой.

Тогда, очевидно, выполняется критерий квадрируемости и для фигуры, полученной путём движения изначальной.

#### Квадрируемость.
Квадрат сам по себе является многоугольником, поэтому его площадь не требует экзотического доопределения.