# 数学序論A 第5回目講義動画の最後のPropについて

集合 $X$ に対し，
$\Phi: P(X)\to\{0, 1\}^X; A\mapsto \chi_A$
$\Psi: \{0, 1\}^X \to P(X); f\mapsto f^{-1}(1)$
とする．

任意の $f\in\{0, 1\}^X$ に対し，
$\Phi\circ\Psi(f)=\Phi(\Psi(f))= \Phi(f^{-1}(1))= \chi_{f^{-1}(1)}$
であり，
$x\in f^{-1}(1)$ のとき $\chi_{f^{-1}(1)}(x)=1, f(x)=1$，
$x\in X\setminus f^{-1}(1)$ のとき $\chi_{f^{-1}(1)}(x)=0, f(x)=0$
より，
$\forall x\in X$ に対し $\chi_{f^{-1}(1)}(x)= f(x)$ が成り立つので，$\chi_{f^{-1}(1)}=f$
となり，$\Phi\circ\Psi(f)=\chi_{f^{-1}(1)}=f$

また，任意の $A\in P(X)$ に対し，
$\Psi\circ\Phi(A)=\Psi(\Phi(A))=\Psi(\chi_A)=(\chi_A)^{-1}(1)=A$

従って，$\Psi$ は $\Phi$ の逆写像である